22.2 第5课时 直角三角形相似的判定方法
一、选择题
1．在Rt△ABC和Rt△DEF中，若∠A＝30°，∠D＝60°，则( )
A．Rt△ABC和Rt△DEF不相似
B．Rt△ABC∽Rt△DEF
C．Rt△ABC∽Rt△DFE
D．Rt△ABC和Rt△DEF相似
2．［2016·淮北市期末］如图24－K－1，已知∠ACB＝∠ADC＝90°，AD＝2，CD＝2，当△ACB∽△ADC时，AB的长为( )
A．4 B．2 C．3 D．6
图24－K－1
3．如图24－K－2所示，四边形ABCD为正方形，E为AD的中点，F在边AB上，如果∠CEF是直角，那么下列结论错误的是( )
A．△AEF∽△DCE B．△AEF∽△ECF
C．△DCE∽△ECF D．△BCF∽△ECF
图24－K－2
二、填空题
4．在图24－K－3中，Rt△ABC与Rt△DEF________(填“相似”或“不相似”)．
图24－K－3
5．如图24－K－4，∠C＝∠E＝90°，AC＝3，BC＝4，AE＝2，则AD＝________．
图24－K－4
6. ［2017·含山县期末］如图24－K－5，点C在线段BD上，AB⊥BD，PD⊥BD，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝6，CD＝2，则当DE＝________时，△ABC与△CDE相似.
4
图24－K－5
三、解答题
7．如图24－K－6，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于点E.
求证：△ABD∽△CBE.
图24－K－6
8．［2016·安庆市太湖期末］如图24－K－7，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH⊥BM于点H，且与AC的延长线交于点E，与BC交于点F.
求证：(1)△AED∽△CBM；
(2)AE·CM＝AC·CD.
图24－K－7
9分类讨论思想如图24－K－8，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米．点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P，Q同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0≤t≤6)，那么，当t为何值时，△POQ与△AOB相似？
图24－K－8
4
1．D
2．[解析] A 当△ACB∽△ADC时，＝，故AB＝＝＝4.
3．[解析] D 根据题意可知∠A＝∠D，∠AEF＝∠DCE，所以△AEF∽△DCE，由此得到FE∶EC＝AE∶DC＝DE∶DC，又因为∠CEF＝∠D＝90°，所以△DCE∽△ECF，再根据相似三角形的传递性得到△AEF∽△ECF，因此只有D选项错误．
4．相似 5.
6．[答案] 1或4
[解析] 分两种情况考虑：①△ABC∽△CDE，则＝，即＝，解得DE＝4；②△ABC∽△EDC，则＝，即＝，解得DE＝1.综上所述，DE的长为1或4.
7．[解析] 观察题图，已知∠B是公共角，判定两个三角形相似，再找到一组角相等即可．根据等腰三角形“三线合一”的性质可得AD⊥BC，然后求出∠ADB＝∠CEB＝90°，再根据两角分别相等的两个三角形相似证明．
证明：∵在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.∵CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE.
8．证明：(1)∵CD是Rt△ABC斜边AB上的高，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴∠A＋∠ACD＝90°，∠BCM＋∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCM.同理可得∠MDH＝∠MBD.
∵∠CMB＝∠CDB＋∠MBD＝90°＋∠MBD，
∠ADE＝∠ADC＋∠MDH＝90°＋∠MDH，
∴∠ADE＝∠CMB.又∠A＝∠BCM，
∴△AED∽△CBM.
(2)由(1)可知△AED∽△CBM，
∴＝，即AE·CM＝AD·CB.
∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，即AC·CD＝AD·BC，
∴AE·CM＝AC·CD.
9 [解析] 本题要分△OPQ∽△OAB和△OPQ∽△OBA两种情况求解，可根据各自得出的对应边成比例求出t的值．
解：①当△OPQ∽△OAB时，＝，
即＝，
整理得12－2t＝t，解得t＝4.
②当△OPQ∽△OBA时，＝，即＝，整理得6－t＝2t，解得t＝2.
4
∵0≤t≤6，∴t＝4和t＝2均符合题意，
∴当t＝4秒或t＝2秒时，△POQ与△AOB相似．
4
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