3.4 乘法公式(二)
A组
1．运用乘法公式计算(x＋3)2的结果是(C)
A. x2＋9 B. x2－6x＋9
C. x2＋6x＋9 D. x2＋3x＋9
2．已知a－b＝3，ab＝2，则a2＋b2的值是(C)
A. 4 B. 9
C. 13 D. 15
3．计算(2x－1)(1－2x)的结果是(C)
A. 4x2－1 B. 1－4x2
C. －4x2＋4x－1 D. 4x2－4x＋1
4．填空：
(1)(5－m)2＝25－10m＋m2．
(2)(2x－5y)2＝4x2－20xy＋25y2．
(3)(a－2)2＝3a2－4a＋4．
(4)(－a－3)2＝a2＋6a＋9．
(5)＝m2＋mn＋n2．
(6)已知x＋＝2，则x2＋＝__2__．
5．计算：
(1)(2＋m)2.
【解】 原式＝4＋4m＋m2.
(2)(m－3n2)2.
【解】 原式＝m2－2·m·3n2＋(3n2)2
＝m2－6mn2＋9n4.
(3)(－4a＋3b)2.
【解】 原式＝(－4a)2＋2·(－4a)·3b＋(3b)2
＝16a2－24ab＋9b2.
(4)(3＋y)2－(3－y)2.
【解】 原式＝(9＋6y＋y2)－(9－6y＋y2)
＝12y.
(5)(a－b＋c)2.
【解】 原式＝[(a＋c)－b]2
＝(a＋c)2－2b(a＋c)＋b2
＝a2＋2ac＋c2－2ab－2bc＋b2.
＝a2＋b2＋c2＋2ac－2ab－2bc.
6．先化简，再求值：
(a＋b)(a－b)－(a－2b)2，其中a＝2，b＝－1.
【解】 原式＝a2－b2－(a2－4ab＋4b2)
＝a2－b2－a2＋4ab－4b2
＝4ab－5b2.
当a＝2，b＝－1时，
5
原式＝4×2×(－1)－5×(－1)2
＝－8－5＝－13.
7．选择适当的公式计算：
(1)(2a－1)(－1＋2a)．
【解】 原式＝(2a－1)(2a－1)
＝(2a－1)2
＝4a2－4a＋1.
(2)(3x－y)(－y－3x)．
【解】 原式＝(－y)2－(3x)2
＝y2－9x2.
(3)(m＋3)(－m－3)．
【解】 原式＝－(m＋3)2
＝－(m2＋6m＋9)
＝－m2－6m－9.
(4)(y－1)(1－y)．
【解】 原式＝－(y－1)2
＝－(y2－2y＋1)
＝－y2＋2y－1.
8．运用完全平方公式计算：
(1)2022.
【解】 2022＝(200＋2)2
＝2002＋2×200×2＋22
＝40000＋800＋4
＝40804.
(2)79.82.
【解】 79.82＝(80－0.2)2
＝802－2×80×0.2＋0.22
＝6400－32＋0.04
＝6368.04.
(3)97×103－992.
【解】 97×103－992＝(100－3)(100＋3)－(100－1)2
＝1002－9－1002＋200－1
＝200－10
＝190.
9．一个正方形的边长增加了2 cm，面积相应增加了32 cm2，求这个正方形原来的边长．
【解】 设这个正方形原来的边长为x(cm)，
由题意，得
(x＋2)2－x2＝32，即4x＋4＝32，
解得x＝7.
答：这个正方形原来的边长为7 cm.
B组
10．利用图形中阴影部分的面积与边长a，b之间的关系，可以验证某些数学公式．例如，根据图①，可以验证两数和的平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
5
根据图②能验证的数学公式是(B)
,(第10题))
A. (a－2b)2＝a2－4ab＋4b2
B. (a－b)2＝a2－2ab＋b2
C. a2－b2＝(a＋b)(a－b)
D. (a＋2b)2＝a2＋4ab＋4b2
11．若(a－2b)2＝8，2ab＝2，则a2＋4b2的值为__12__．
【解】 ∵(a－2b)2＝a2－4ab＋4b2＝8，
ab＝1，
∴a2＋4b2＝8＋4ab＝12.
12．计算：
(1)(3x＋1)2(3x－1)2.
【解】 原式＝[(3x＋1)(3x－1)]2＝(9x2－1)2
＝81x4－18x2＋1.
(2)(2x－y－3)(2x－y＋3)．
【解】 原式＝[(2x－y)－3][(2x－y)＋3]
＝(2x－y)2－32
＝4x2－4xy＋y2－9.
13．(1)已知x＋y＝，x－y＝，求xy的值．
【解】 ∵(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy＝6，
(x－y)2＝x2＋y2－2xy＝5，
∴(x＋y)2－(x－y)2＝4xy＝1，
∴xy＝.
(2)已知ab＝9，a－b＝－3，求a2＋3ab＋b2的值．
【解】 ∵(a－b)2＝a2－2ab＋b2，
∴a2＋b2＝(a－b)2＋2ab
＝(－3)2＋2×9
＝9＋18＝27，
∴a2＋3ab＋b2＝27＋3×9
＝54.
14．如图，图①是一个长为2m，宽为2n的长方形．沿图中虚线把它分割成四块完全相同的小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
5
,(第14题))
(1)求图②中阴影部分的面积．
(2)观察图②，发现三个代数式(m＋n)2，(m－n)2，mn之间的等量关系是(m－n)2＝(m＋n)2－4mn．
(3)若x＋y＝－6，xy＝2.75，求x－y的值．
(4)观察图③，你能得到怎样的代数恒等式？
(5)试画出一个几何图形，使它的面积能表示代数恒等式(m＋n)(m＋3n)＝m2＋4mn＋3n2.
【解】 (1)(m－n)2或(m＋n)2－4mn.
(3)(x－y)2＝(x＋y)2－4xy
＝(－6)2－4×2.75
＝36－11
＝25.
∴x－y＝±＝±5.
(4)(m＋n)(2m＋n)＝2m2＋3mn＋n2.
(5)如解图所示(答案不唯一)．
,(第14题解))
数学乐园
15．请你解决以下与数的表示和运算相关的问题：
(1)写出奇数a用整数n表示的式子．
(2)写出有理数b用整数m和整数n表示的式子．
(3)以后我们学习函数时，应关注y随x的变化而变化的数值规律，下面对函数y＝x2的某种数值变化规律进行初步研究：
xi
0
1
2
3
4
5
…
yi
0
1
4
9
16
25
…
yi＋1－yi
1
3
5
7
9
11
…
由表看出，当x的取值从0开始每增加1个单位时，y的值依次增加1，3，5，….
请回答：
5
①当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值的变化规律是什么？
②当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值的变化规律是什么？
【解】 (1)a＝2n＋1或a＝2n－1.
(2)b＝或b＝.
(3)①当x＝0时，y＝0；
当x＝时，y＝；
当x＝1时，y＝1；
……
当x＝(n为自然数)时，y＝；
当x＝＋时，y＝＝＋＋.
∴＋＋－＝.
∴当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值的变化规律是依次增加，，，…，(n为自然数)个单位．
②当x＝0时，y＝0；
当x＝时，y＝；
当x＝时，y＝；
……
当x＝(m，n为自然数)时，y＝；
当x＝＋时，y＝.
∴－＝.
∴当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值的变化规律是依次增加，，，…，(m，n为自然数)个单位．
5
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