3.4 乘法公式(一)
A组
1．计算(2x－5)(－2x－5)的结果是(C)
A. 4x2－5 B. 4x2－25
C. 25－4x2 D. 4x2＋25
2．下列能用平方差公式计算的是(B)
A. (－x＋y)(x－y) B. (y－1)(－1－y)
C. (x－2)(x＋1) D. (2x＋y)(2y－x)
3．下列计算正确的是(B)
A. (1－x)(1＋x)＝x2－1
B. (x＋3y)(x－3y)＝x2－9y2
C. (2x－y)(－2x－y)＝4x2－y2
D. (2b＋3a)(2b－3a)＝4b2－3a2
4．用平方差公式计算199×201正确的是(A)
A. (200－1)(200＋1) B. (200－1)(199＋2)
C. (201－2)(200＋1) D. (198＋1)(198＋3)
5．填空：
(1)(a＋3)(a－3)＝a2－9．
(2)(－a－3b)(－3b＋a)＝9b2－a2．
(3)(3x－y)(3x＋y)＝9x2－y2.
6．利用平方差公式计算：
(1)5×6.
【解】 原式＝
＝36－＝35.
(2)30.8×29.2.
【解】 原式＝(30＋0.8)(30－0.8)
＝302－0.82
＝900－0.64＝899.36.
(3).
【解】 原式＝
＝＝2017.
7．利用平方差公式计算：
(1)(3m－4)(3m＋4)．
【解】 原式＝(3m)2－42＝9m2－16.
(2).
5
【解】 原式＝－
＝a2－b2.
(3)(m＋n)(m－n)．
【解】 原式＝(m)2－(n)2
＝2m2－3n2.
(4)(ab－c)(－ab－c)．
【解】 原式＝(－c＋ab)(－c－ab)
＝(－c)2－(ab)2
＝c2－a2b2.
(5)(2x＋1)(2x－1)－1.
【解】 原式＝4x2－1－1＝4x2－2.
8．计算：
(1)(5x＋2y)(5x－2y)－(3x＋2y)(3x－2y)．
【解】 原式＝25x2－4y2－(9x2－4y2)
＝25x2－4y2－9x2＋4y2
＝16x2.
(2)(2x－7)(x＋7)－(2x－3)(2x＋3)．
【解】 原式＝2x2＋14x－7x－49－(4x2－9)
＝2x2＋7x－49－4x2＋9
＝－2x2＋7x－40.
9．先化简，再求值：
(x＋1)(x－1)－x(x－1)，其中x＝.
【解】 原式＝x2－1－(x2－x)
＝x2－1－x2＋x
＝x－1.
当x＝时，原式＝－1＝－.
B组
10．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图①)，把余下的部分拼成一个梯形(如图②)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证(A)
A. a2－b2＝(a＋b)(a－b)
B. (a－b)2＝a2－2ab＋b2
C. (a－b)2＝a2＋2ab＋b2
D. (a－2b)(a－b)＝a2＋ab－2b2
5
(第10题)
【解】 由图①可知阴影部分的面积为a2－b2，
由图②可得梯形的上底为2b，下底为2a，高AB为(a－b)，
根据梯形的面积公式可得＝＝(a＋b)(a－b)．
∵两个图形中阴影部分面积相等，
∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
11．某村正在进行绿地改造，原有一正方形绿地，若将它的每边都加长3 m，则面积增加63 m2.原绿地的边长为__9__m.
【解】 设原绿地的边长为x(m)，
根据题意，得(x＋3)2－x2＝63，
即3(2x＋3)＝63，解得x＝9.
12．计算下列各题．
(1)若a＋b＝5，a2－b2＝5，求a与b的值．
【解】 ∵a＋b＝5，a2－b2＝5，(a＋b)(a－b)＝a2－b2，
∴a－b＝1.
联立解得
(2)已知x－y＝2，y－z＝2，x＋z＝14，求x2－z2的值．
【解】 ∵(x－y)＋(y－z)＝4，
∴x－z＝4.
∵(x＋z)(x－z)＝x2－z2，
∴x2－z2＝14×4＝56.
(3)已知(a＋2016)(a＋2018)＝2017，求(a＋2017)2的值．
【解】 ∵(a＋2016)(a＋2018)
＝(a＋2017－1)(a＋2017＋1)
＝(a＋2017)2－12＝2017，
∴(a＋2017)2＝2018.
(4)若(2a＋2b－1)(2a＋2b＋1)＝63，求a＋b的值．
【解】 ∵(2a＋2b－1)(2a＋2b＋1)＝63，
∴[2(a＋b)－1][2(a＋b)＋1]＝63，
4(a＋b)2－1＝63，
4(a＋b)2＝64，(a＋b)2＝16，
∴a＋b＝±4.
13．有两个正方形的边长之和为20 cm，面积之差为40 cm2，求这两个正方形的面积．
【解】 设这两个正方形的边长分别为x(cm)，y(cm)(x>y)，
则
由②，得(x＋y)(x－y)＝40，
∴x－y＝2.③
联立①③，解得
∴x2＝121，y2＝81.
5
答：这两个正方形的面积分别为121 cm2，81 cm2.
14．阅读材料：
我们在计算(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)(232＋1)时，发现直接运算很麻烦，如果在算式前乘(2－1)，即1，原算式的值不变，而且还使整个算式能运用平方差公式计算．解答过程如下：
原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)(232＋1)
＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)(232＋1)
＝(24－1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)(232＋1)
＝…＝264－1.
你能用上述方法算出下面式子的值吗？请试试看．
(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)(316＋1)．
【解】 原式＝(3－1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)(316＋1)
＝(32－1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)(316＋1)
＝(34－1)(34＋1)(38＋1)(316＋1)
＝(38－1)(38＋1)(316＋1)
＝(316－1)(316＋1)＝.
数学乐园
15．公式的探究与应用：
(第15题)
(1)如图①所示，可以求出阴影部分的面积是a2－b2(写成两数平方差的形式)．
(2)若将图①中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图②所示的长方形，则此长方形的面积是(a＋b)(a－b)(写成多项式乘法的形式)．
(3)比较两图阴影部分的面积，可以得到一个公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
(4)运用公式计算：
(1－)(1－)(1－)…(1－)(1－)．
【解】 (4)原式＝(1－)(1＋)(1－)(1＋)(1－)(1＋)…(1－)(1＋)(1－)(1＋
5
eq \f(1,100))
＝××××××…××××
＝×＝.
5
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