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第 1 章 一元二次方程
1．2 第 6 课时 用因式分解法解一元二次方程
知识点 用因式分解法解一元二次方程
1．用因式分解法解方程 5(x＋3)－2 x(x＋3)＝0，可将其化为两个一元一次方程：
____________、____________求解，其解为 x1＝________，x2＝________．
2．我们解一元二次方程 3x2－6x＝0 时，可以运用因式分解法，将此方程化为 3x(x－2)＝
0，从而得到两个一元一次方程：3x＝0 或 x－2＝0，进而得到原方程的解为 x1＝0，x2＝2.这
种解法体现的数学思想是( )
A．转化思想 B．函数思想
C．数形结合思想 D．公理化思想
3．方程(y－1)2＝y－1 的解是( )
A．y＝1 B．y1＝1，y2＝2
C．y＝2 D．y1＝0，y2＝1
4．一元二次方程 x(x－3)＝3－x 的解是( )
A．x＝－1 B．x＝3
C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝－1，x2＝3
5．方程(x＋1)(x－2)＝x＋1 的解是( )
A．x＝2 B．x＝3
C．x1＝－1，x2＝2 D．x1＝－1，x2＝3
6．一元二次方程 4x2－12x＝0 的解是____________．
7．方程 x(x－2)＝x 的解是______________．
8．方程 2(x－2)2＝x2－4 的解是____________．
9．已知数轴上 A，B 两点对应的数分别是一元二次方程(x＋1)(x－2)＝0 的两个根，则
A，B 两点间的距离是________．
10．用因式分解法解下列方程：
(1)x2＋16x＝0；
(2)(3x＋2)2－4x2＝0；
(3)2x(x＋3)－3(x＋3)＝0；
(4)x(2x－5)＝4x－10；2
(5)(x－1)2＋2x(x－1)＝0；
(6)(x－5)2－2(x－5)＋1＝0.
11．教材例 8(2)变式当 x 为何值时，代数式 x－3 的值与 x(x－3)的值的差为 0.
12．下列四个方程：(1)x2－25＝0；(2)y2＝ 3y；(3)(x＋1)2－4(x＋1)＋4＝0；(4)x2＋
2x＋1＝0.其中能用因式分解法求解的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
13．定义一种新运算：a♣b＝a(a－b)．例如，4♣3＝4×(4－3)＝4.若 x♣2＝3，则 x 的
值是( )
A．x＝3 B．x＝－1
C．x1＝3，x2＝1 D．x1＝3，x2＝－1
14．若关于 x 的一元二次方程 x2＋bx＋c＝0 的两根为 x1＝－1，x2＝2，则将多项式 x2＋
bx＋c 分解因式的结果为________．
15．用合适的方法解方程：
(1)(2x－1)2＝9； (2)(x－5)(3x－2)＝10；
(3)x2＋6x＝1; (4)(2x－3)(x＋1)＝x＋1.3
16．小红、小亮两名同学一起解方程 x(2x－5)＋4(5－2x)＝0.
小红是这样解的：先将方程变形为 x(2x－5)－4(2x－5)＝0，移项，得 x(2x－5)＝4(2x－
5)，方程两边同除以(2x－5)，得 x＝4.
小亮看后说小红的解法不对，请你判断小红的解法是否正确，若不正确，请说明理由，
并给出正确的解法．
17．[2017·湘潭] 由多项式乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左
使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：
x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．
示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．
(1)尝试：分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋________)·(x＋________)；
(2)应用：请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.
18．阅读题例，解答后面的问题：
解方程：x2－|x－1|－1＝0.
解：①当 x－1≥0，即 x≥1 时，
原方程化为 x2－(x－1)－1＝0，则 x2－x＝0，
解得 x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝1；
②当 x－1＜0，即 x＜1 时，
原方程化为 x2＋(x－1)－1＝0，则 x2＋x－2＝0，
解得 x1＝1(不合题意，舍去)，x2＝－2.
综上所述，原方程的解是 x＝1 或 x＝－2.
依照上面的解法，解方程：x2＋2|x＋2|－4＝0.4
详解详析
1．5－2x＝0 x＋3＝0
5
2 －3 [解析] 把方程 5(x＋3)－2x(x＋3)＝0 化为(5－2x)(x
＋3)＝0，则 5－2x＝0 或 x＋3＝0.
2．A
3．B [解析] 把 y－1 看成一个整体，移项、提取公因式，得(y－1)(y－2)＝0，
∴y1＝1，y2＝2.
4．D [解析] 原方程可化为 x(x－3)＋(x－3)＝0，
∴(x－3)(x＋1)＝0，
∴x－3＝0 或 x＋1＝0，
∴x1＝3，x2＝－1.
5．D [解析] 原方程可化为(x＋1)(x－2)－(x＋1)＝0，∴(x＋1)(x－2－1)＝0，即(x＋
1)(x－3)＝0，∴x＋1＝0 或 x－3＝0，∴x1＝－1，x2＝3.故选 D.
6．x1＝0，x2＝3
7．x1＝0，x2＝3 [解析] 原方程可化为 x(x－2)－x＝0，x(x－2－1)＝0，∴x＝0 或 x－
3＝0，解得 x1＝0，x2＝3.
8．x1＝2，x2＝6
9．3 [解析] 因为(x＋1)(x－2)＝0，所以 x＋1＝0 或 x－2＝0，解得 x1＝－1，x2＝2，
所以 A，B 两点间的距离是|2－(－1)|＝3.故答案是 3.
10．解：(1)原方程可变形为 x(x＋16)＝0，
∴x＝0 或 x＋16＝0，
∴x1＝0，x2＝－16.
(2)原方程可变形为(3x＋2－2x)(3x＋2＋2x)＝0，
即(x＋2)(5x＋2)＝0，
∴x＋2＝0 或 5x＋2＝0，
∴x1＝－2，x2＝－
2
5.
(3)原方程可化为(x＋3)(2x－3)＝0，
∴x＋3＝0 或 2x－3＝0，
∴x1＝－3，x2＝
3
2.
(4)原方程可变形为
x(2x－5)－2(2x－5)＝0，
即(2x－5)(x－2)＝0，
∴2x－5＝0 或 x－2＝0，
∴x1＝
5
2，x2＝2.
(5)分解因式，得(x－1)(x－1＋2x)＝0，
∴x－1＝0，x－1＋2x＝0，
∴x1＝1，x2＝
1
3.
(6)分解因式，得[(x－5)－1]2＝0，
∴x1＝x2＝6.
11．解：根据题意，得 x－3－x(x－3)＝0，5
方程变形为(x－3)(1－x)＝0.
∴x－3＝0 或 1－x＝0，
∴x1＝3，x2＝1，
即当 x 为 3 或 1 时，代数式 x－3 的值与 x(x－3)的值的差为 0.
12．D
13．D [解析] ∵x♣2＝3，∴x(x－2)＝3，整理，得 x2－2x－3＝0，(x－3)(x＋1)＝0，
x－3＝0 或 x＋1＝0，∴x1＝3，x2＝－1.故选 D.
14．(x＋1)(x－2)
15．解：(1)开平方，得 2x－1＝3 或 2x－1＝－3，
解得 x1＝2，x2＝－1.
(2)整理，得 3x2－17x＝0，
∴x(3x－17)＝0.
∴x＝0 或 3x－17＝0，
解得 x1＝0，x2＝
17
3 .
(3)∵x2＋6x＝1，∴x2＋6x＋9＝1＋9，
即(x＋3)2＝10，则 x＋3＝± 10，
∴x＝－3± 10，
即 x1＝－3＋ 10，x2＝－3－ 10.
(4)原方程变形为(x＋1)(2x－3－1)＝0，
即 2(x＋1)(x－2)＝0，
∴x＋1＝0 或 x－2＝0，
解得 x1＝－1，x2＝2.
16．解：小红的解法不正确．理由：方程两边同除以(2x－5)时，她认为 2x－5≠0，事
实上，2x－5 可以为零，这样做，会导致丢根．
正确解法如下：
x(2x－5)＋4(5－2x)＝0，
x(2x－5)－4(2x－5)＝0，
(2x－5)(x－4)＝0，
∴2x－5＝0 或 x－4＝0，
∴x1＝
5
2，x2＝4.
17．解：(1)∵8 可以分解为 2 与 4 的积，且 2 与 4 的和为 6，满足十字相乘的形式，故
填 2，4.
(2)x2－3x－4＝0，
(x－4)(x＋1)＝0，
即 x－4＝0 或 x＋1＝0，
∴x1＝4，x2＝－1.
18．[解析]根据题中所给的材料把绝对值符号内的 x＋2 分两种情况讨论(x＋2≥0 和 x＋
2＜0)，去掉绝对值符号后再解方程．
解：①当 x＋2≥0，即 x≥－2 时，
原方程化为 x2＋2(x＋2)－4＝0，
则 x2＋2x＝0，x(x＋2)＝0，
解得 x1＝0，x2＝－2；6
②当 x＋2＜0，即 x＜－2 时，
原方程化为 x2－2(x＋2)－4＝0，
则 x2－2x－8＝0，(x－4)(x＋2)＝0，
解得 x1＝4(不合题意，舍去)，x2＝－2(不合题意，舍去)．
综上所述，原方程的解是 x＝0 或 x＝－2.
[点评] 从题中所给材料找到解题方法是解题的关键．注意在去掉绝对值符号时要针对符
号内的代数式的正负性分情况讨论．
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