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第 2 章 对称图形——圆
[测试范围：2.4～2.5 时间：40 分钟 分值：100 分]
一、选择题(每题 4 分，共 32 分)
图 3－G－1
1.如图 3－G－1，已知点 A，B，C 在⊙O 上．若∠AOC＝100°，则∠ABC 的度数为( )
A．40° B．50°
C．80° D．200°
2．直线 l 与半径为 r 的⊙O 相交，且点 O 到直线 l 的距离为 6，则 r 的取值范围是( )
A．r＜6 B．r＝6 C．r＞6 D．r≥6
3．如图 3－G－2，AB 是⊙O 的直径，C，D 是⊙O 上位于 AB 异侧的两点，下列四个角中，
一定与∠ACD 互余的角是( )
A．∠ADC B．∠ABD C．∠BAC D．∠BAD
图 3－G－2
图 3－G－3
4．如图 3－G－3，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点 A，PO 交⊙O 于点 C，连接 BC，若∠P
＝40°，则∠B 等于( )
A．20° B．25° C．30° D．40°
5．如图 3－G－4 所示，四边形 ABCD 内接于⊙O，∠BOD＝140°，则∠BCD 等于( )
A．140° B．110° C．70° D．20°
图 3－G－42
图 3－G－5
6．如图 3－G－5，正方形 ABCD 的四个顶点在⊙O 上，P 是劣弧 AD 上任意一点，则∠P 等
于( )
A．90° B．60° C．45° D．30°
7．如图 3－G－6，圆内接四边形 ABCD 的边 AB 过圆心 O，过点 C 的切线与边 AD 所在直线
垂直于点 M.若∠ABC＝55°，则∠ACD 等于( )
A．20° B．35° C．40° D．55°
图 3－G－6
图 3－G－7
8．如图 3－G－7，⊙O 过正方形 ABCD 的顶点 A，B，且与 CD 相切于点 E.若正方形 ABCD
的边长为 2，则⊙O 的半径为( )
A．1 B.
5
2 C.
4
3 D.
5
4
二、填空题(每题 4 分，共 24 分)
9．已知⊙O 的半径为 3 cm，圆心 O 到直线 l 的距离是 4 cm，则直线 l 与⊙O 的位置关系
是________．
10．如图 3－G－8，点 A，B，C 在⊙O 上，若∠C＝30°，则∠AOB 的度数为________．
11．已知四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，则∠A＋∠C＝________°.
图 3－G－83
图 3－G－9
12．如图 3－G－9，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点．若∠BAC＝70°，则∠OCB 的度数
为________．
13．如图 3－G－10，P 是⊙O 外一点，PA，PB 分别和⊙O 相切于点 A，B，C 是AB︵
上任意
一点，过点 C 作⊙O 的切线分别交 PA，PB 于点 D，E.若△PDE 的周长为 12，则 PA 的长为
________．
图 3－G－10
图 3－G－11
14．如图 3－G－11，AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点 B，CO 交⊙O 于点 D.若 BC＝8，
CD＝4，则⊙O 的半径是________．
三、解答题(共 44 分)
15．(10 分)已知：如图 3－G－12，AB 是⊙O 的直径，直线 BC 与⊙O 相切于点 B，∠ABC
的平分线 BD 交⊙O 于点 D，AD 的延长线交 BC 于点 C.
(1)求证：AD＝CD；
(2)求∠BAC 的度数．
图 3－G－124
16．(10 分)如图 3－G－13，以△ABC 的 BC 边上一点 O 为圆心的圆经过 A，B 两点，且与
BC 边交于点 E，D 为 BE 的下半圆弧的中点，连接 AD 交 BC 于点 F，AC＝FC.
(1)求证：AC 是⊙O 的切线；
(2)已知⊙O 的半径 R＝5，EF＝3，求 DF 的长．
图 3－G－13
17．(12 分)如图 3－G－14，四边形 ABCD 内接于⊙O，BD 是⊙O 的直径，过点 A 作⊙O 的
切线 AE 交 CD 的延长线于点 E，DA 平分∠BDE .
(1)求证：AE⊥CD；
(2)已知 AE＝4 cm，CD＝6 cm，求⊙O 的半径．
图 3－G－145
18．(12 分)已知直线 l 与⊙O，AB 是⊙O 的直径，AD⊥l 于点 D.
(1)如图 3－G－15①，当直线 l 与⊙O 相切于点 C 时，若∠DAC＝30°，求∠BAC 的度数；
(2)如图 3－G－15②，当直线 l 与⊙O 相交于点 E，F 时，若∠DAE＝18°，求∠BAF 的度
数．
图 3－G－15
6
详解详析
1．B [解析] 在⊙O 中，∠ABC＝
1
2∠AOC＝50°.故选 B.
2． C
3．D 4.B
5．B [解析] ∵∠BOD＝140°，∴∠A＝
1
2∠BOD＝70°，∴∠C＝180°－∠A＝110°.故
选 B.
6.C [解析] 连接 AC，则∠BAC＝∠P.
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BAC＝45°， ∴∠P ＝∠BAC＝45°.故选 C.
7．A
8． D [解析] 如图，连接 OE，OB，延长 EO 交 AB 于点 F.
∵E 是切点，
∴OE⊥CD，OE＝OB.
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB∥CD，∴OF⊥AB.
设 OB＝R，则 OF＝2－R.
在 Rt△OBF 中，BF＝
1
2AB＝1，OB＝R，OF＝2－R，
∴R2＝(2－R)2＋12，
解得 R＝
5
4.故选 D.
9．相离 [解析] ∵圆心 O 到直线 l 的距离是 4 cm，大于⊙O 的半径 3 cm，∴直线 l 与
⊙O 相离．
10．60° [解析] ∠AOB＝2∠C＝60°.
11．180
12. 20° [解析] ∵⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BAC＝70°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×70°＝140°.
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝
1
2(180°－∠BOC)＝20°.
13. 6 [解析] 根据切线长定理，得 AD＝CD，CE＝BE，PA＝PB，
则△PDE 的周长＝2PA＝12，∴PA＝6.
14． 6 [解析] ∵BC 与⊙O 相切于点 B，
∴OB⊥BC，∴∠OBC＝90°.
设⊙O 的半径是 R，则 OC＝R＋4，OB＝R.
在 Rt△OBC 中，由勾股定理，得 OB2＋BC2＝OC2，
即 R2＋82＝(R＋4)2，解得 R＝6.7
15．解：(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CDB＝90°.
∵BD 平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD.
在△ABD 和△CBD 中，
∵∠ADB＝∠CDB，BD＝BD，∠ABD＝∠CBD，
∴△ABD≌△CBD(ASA)，∴AD＝CD.
(2)∵△ABD≌△CBD，
∴AB＝CB.
∵直线 BC 与⊙O 相切于点 B，
∴∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠C＝45°.
16．解：(1)证明：连接 OA，OD，如图．
∵D 为 BE 的下半圆弧的中点，
∴OD⊥BE，
∴∠D＋∠DFO＝90°.
∵AC＝FC，∴∠CAF＝∠CFA.
∵∠CFA＝∠DFO，
∴∠CAF＝∠DFO.
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠D，
∴∠OAD＋∠CAF＝90°，即∠OAC＝90°，
∴OA⊥AC，∴AC 是⊙O 的切线．
(2)∵⊙O 的半径 R＝5，EF＝3，
∴OF＝2.
在 Rt△ODF 中，∵OD＝5，OF＝2，
∴DF＝ 52＋22＝ 29.
17．解：(1)证明：如图，连接 OA.
∵DA 平分∠BDE，
∴∠ODA＝∠EDA.
又∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠OAD＝∠EDA，
∴OA∥CE.
又∵AE 是⊙O 的切线，
∴OA⊥AE.
又∵OA∥CD，8
∴AE⊥CD.
(2)如图，过点 O 作 OF⊥CD，垂足为 F.
∵∠OAE＝∠AED＝∠OFD＝90°，
∴四边形 AOFE 是矩形，
∴OF＝AE＝4 cm.
又∵OF⊥CD，
∴DF＝
1
2CD＝3 cm.
在 Rt△ODF 中，OD＝ OF2＋DF2＝5 cm，
即⊙O 的半径为 5 cm.
18．解：(1)如图①，连接 OC.
∵直线 l 与⊙O 相切于点 C，
∴OC⊥l.
∵AD⊥l，∴OC∥AD，
∴∠OCA＝∠DAC.
∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA，
∴∠BAC＝∠DAC＝30°.
(2)如图②，连接 BF.
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠AFB＝90°，∴∠BAF＝90°－∠B.
∵四边形 ABFE 是⊙O 的内接四边形，
∴∠AEF＋∠B＝180°.
又∵∠AEF＝∠ADE＋∠DAE＝90°＋18°＝108°，
∴∠B＝180°－108°＝72°，
∴∠BAF＝90°－∠B＝90°－72°＝18°.
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