1
第 2 章 对称图形——圆
2.4 第 2 课时 特殊的圆周角
知识点 1 利用直径所对的圆周角是直角求角度
1．如图 2－4－15，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上．若∠A＝40°，则∠B 的度数为( )
A．80° B．60° C．50° D．40°
图 2－4－15
图 2－4－16
2．如图 2－4－16，在⊙O 中，AB 为直径，CD 为弦，已知∠ACD＝40°，则∠BAD 的度数
为( )
A．50° B．40° C．45° D．60°
3．如图 2－4－17， AB 是⊙O 的直径，C，D，E 是⊙O 上的点，则∠1＋∠2＝________
°.
图 2－4－17
图 2－4－18
4．[2017·株洲] 如图 2－4－18，已知 AM 是⊙O 的直径，直线 BC 经过点 M，且 AB＝AC，∠
BAM＝ ∠CAM，线段 AB 和 AC 分别交⊙O 于点 D，E.若∠BMD＝40°，则∠EOM＝________°.
5．如图 2－4－19，AB 是⊙O 的直径，弦 CD 与 AB 相交于点 E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50
°.求∠CEB 的度数．2
图 2－4－19
知识点 2 利用直径所对的圆周角是直角求线段长
6．教材练习第 1 题变式如图 2－4－20，把直角三角形的直角顶点 O 放在破损玻璃镜的
圆周上，两直角边与圆弧分别交于点 M，N，量得 OM＝8 cm，ON＝6 cm，则该圆形玻璃镜的半
径是( )
A. 10 cm B．5 cm C．6 cm D．10 cm
图 2－4－20
图 2－4－21
7 ． 如 图 2 － 4 － 21 ，AB 是 ⊙O 的 直 径 ， 若 BC＝ 5 ，AC＝ 12 ， 则 ⊙O 的 直 径 AB 为
________．
8．[2017·台州]如图 2－4－22，已知等腰直角三角形 ABC，P 是斜边 BC 上一点(不与点
B，C 重合)，PE 是△ABP 的外接圆⊙O 的直径．
(1)求证：△APE 是等腰直角三角形；
(2)若⊙O 的直径为 2，求 PC2＋PB2 的值．
图 2－4－223
9．如图 2－4－23，⊙O 以等腰三角形 ABC 的一腰 AB 为直径，它交另一腰 AC 于点 E，交
BC 于点 D.求证：BC＝2DE.
图 2－4－23
图 2－4－24
10．如图 2－4－24，AB 是半圆的直径，D 是AC︵
的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB 等于( )
A．55° B．60° C．65° D．70°
11．[2017·海南] 如图 2－4－25，AB 是⊙O 的弦，AB＝5，C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB
＝45°.若 M，N 分别是 AB，AC 的中点，则 MN 长的最大值是________．
图 2－4－25
图 2－4－26
12．如图 2－4－26，AB 是⊙O 的直径，C，D 是⊙O 上的点，且 OC∥BD，AD 与 BC，OC 分
别相交于点 E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②CB平分∠ABD；③∠AOC＝∠AEC；④AF＝DF；⑤△
CEF≌△BED；⑥BD＝2OF.其中一定成立的是________(请填序号)．
13．如图 2－4－27，AB 是半圆 O 的直径，C，D 是半圆 O 上的两点，且 OD∥BC，OD 与 AC
交于点 E.
(1)若∠B＝70°，求∠CAD 的度数；4
(2)若 AB＝4，AC＝3，求 DE 的长．
图 2－4－27
14．如图 2－4－28，AB 为⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，延长 BC 至点 D，使 CD＝BC，延长
DA 与⊙O 的另一个交点为 E，连接 AC，CE.
(1)求证：∠B＝∠D；
(2)若 AB＝4，BC－AC＝2，求 CE 的长．
图 2－4－28
15．已知：如图 2－4－29①，在⊙O 中，直径 AB＝4，弦 CD＝2，直线 AD，BC 相交于点
E.
(1)∠E 的度数为________；
(2)如图②，直径 AB 与弦 CD 交于点 F，请补全图形并求∠E 的度数；
(3)如图③，直径 AB 与弦 CD 不相交，求∠AEC 的度数．
图 2－4－295
1．C [解析] 因为 AB 是⊙O 的直径，所以∠C＝90°，所以∠A＋∠B＝90°，则∠B＝90
°－∠A＝90°－40°＝50°.故选 C.
2．A [解析] ∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ADB＝90°.
∵∠ABD＝∠ACD＝40°，
∴∠BAD＝180°－90°－40°＝50°.
3．90 [解析] 连接 AC，则∠ACB＝90°.
根据圆周角定理，得∠ACE＝∠2，
∴∠1＋∠2＝∠ACB＝90°.
4．80
5．解：如图，连接 BC，则∠ADC＝∠B.
∵∠ADC＝50°，
∴∠B＝50°.
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝40°.
∵∠CEB＝∠ACD＋∠BAC，∠ACD＝60°，
∴∠CEB＝60°＋40°＝100°.
6．B
7．13
8．解：(1)证明：∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，∴∠AEP＝45°.
∵PE 是⊙O 的直径，∴∠PAE＝90°，
∴△APE 是等腰直角三角形．
(2)∵△ABC 和△APE 均是等腰直角三角形，
∴AC＝AB，AP＝AE，∠CAB＝∠PAE＝90°，
∴∠CAP＝∠BAE.
在△APC 和△AEB 中，{AC＝AB，
∠CAP＝∠BAE，
AP＝AE，
∴△APC≌△AEB，∴PC＝EB.
∵PE 是⊙O 的直径，∴∠PBE＝90°，
∴PC2＋PB2＝EB2＋PB2＝PE2＝4.
9．证明：连接 AD，BE.
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°.
又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，BD＝DC，
即 BC＝2DC.
∵∠DAE＝∠DBE，∠ADE＝∠ABE，6
∴∠DEC＝∠DAE＋∠ADE＝∠DBE＋∠ABE＝∠ABC＝∠C，
∴DE＝DC，∴BC＝2DE.
10．C [解析] 连接 BD.
∵D 是AC︵
的中点，即CD︵
＝AD︵
，
∴∠ABD＝∠CBD.
∵∠ABC＝50°，∴∠ABD＝
1
2×50°＝25°.
∵AB 是半圆的直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB＝90°－25°＝65°.
11.
5 2
2
12．①②④⑥
13．解：(1)∵AB 是半圆 O 的直径，
∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°－∠B＝20°.
又∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠B＝70°.
∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO＝
1
2(180°－∠AOD)＝55°，
∴∠CAD＝∠DAO－∠CAB＝35°.
(2)在 Rt△ABC 中，BC＝ AB2－AC2＝ 7.
∵OD∥BC，∴∠AEO＝∠ACB＝90°，
即 OE⊥AC，∴AE＝EC.
又∵OA＝OB，∴OE＝
1
2BC＝
7
2 .
∵OD＝
1
2AB＝2，
∴DE＝OD－OE＝2－
7
2 .
14． (1)证明：∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°，即 AC⊥BC.
又∵CD＝BC，∴AD＝AB，∴∠B＝∠D.
(2)设 BC＝x，则 AC＝x－2.
在 Rt△ABC 中，AC2＋BC2＝AB2，
即(x－2)2＋x2＝42，
解得 x1＝1＋ 7，x2＝1－ 7(舍去)，
∴BC＝1＋ 7.
∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，
∴∠D＝∠E，
∴CD＝CE.
∵CD＝BC，
∴CE＝BC＝1＋ 7.
15． (1)如图①，连接 OD，OC，BD.7
∵OD＝OC＝CD＝2，
∴△DOC 为等边三角形，
∴∠DOC＝60°，
∴∠DBC＝30°.
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠E＝90°－30°＝60°.
(2)如图②，直线 AD，CB 交于点 E，连接 OD，OC，AC.
∵OD＝OC＝CD＝2，
∴△DOC 为等边三角形，
∴∠DOC＝60°，
∴∠DAC＝30°.
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠E＝90°－∠DAC＝90°－30°＝60°.
(3)如图③，连接 OD，OC.
∵OD＝OC＝CD＝2，
∴△DOC 为等边三角形，
∴∠DOC＝60°，
∴∠CBD＝30°.
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BED＝60°，
∴∠AEC＝∠BED＝60°.
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