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第 2 章 对称图形——圆
2.6 正多边形与圆
知识点 1 正多边形的相关概念
1．如图 2－6－1，⊙O 是正五边形 ABCDE 的外接圆，则∠AOB 的度数是( )
A．72° B．60° C．54° D．36°
图 2－6－1
图 2－6－2
2．教材例题变式如图 2－6－2，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，⊙O 的半径为 6，则这个
正六边形的边心距 OM 的长为________．
3．如图 2－6－3，在正五边形 ABCDE 中，点 F，G 分别是 BC，CD 的中点．
求证：△ABF≌△BCG.
图 2－6－3
知识点 2 画正多边形
4．画正六边形．
5．[2016·淮安] 如图 2－6－4，正十二边形 A1A2…A12，连接 A3A7，A7A10，则∠A3A7A10＝
________°.2
图 2－6－4
图 2－6－5
6．[2017·凉山] 如图 2－6－5，P，Q 分别是⊙O 的内接正五边形的边 AB，BC 上的点，
BP＝CQ，则∠POQ＝________°.
7．如图 2－6－6①②③，等边三角形 ABC、正方形 ABCD、正五边形 ABCDE 分别是⊙O 的
内接三角形、内接四边形、内接五边形，点 M，N 分别从点 B，C 开始，以相同的速度在圆周
上逆时针运动，AM，BN 相交于点 P.
图 2－6－6
(1)求图①中∠APB 的度数．
(2)图②中，∠APB 的度数是________，图③中∠APB 的度数是________．
(3)根据前面的探索，你能否将本题推广到一般的正 n 边形的情况？若能，写出推广问题
和结论；若不能，请说明理由．3
详解详析
1．A [解析] ∵⊙O 是正五边形 ABCDE 的外接圆，
∴∠AOB＝360°÷5＝72°.
2．3 3
3．证明：∵五边形 ABCDE 是正五边形，
∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD.
∵F，G 分别是 BC，CD 的中点，
∴BF＝
1
2BC，CG＝
1
2CD，∴BF＝CG.
在△ABF 和△BCG 中，
∵AB＝BC，∠ABF＝∠BCG，BF＝CG，
∴△ABF≌△BCG.
4．[解析] 画正六边形的途径有两种，一种是用量角器将圆六等分；另一种是用圆规和
直尺将圆六等分．
解： (方法一)用量角器将圆六等分(略)．
(方法二)用直尺和圆规将圆六等分．
作法：1.在⊙O 中任意作一条直径 AD；
2．分别以点 A，D 为圆心，⊙O 的半径为半径画弧，与⊙O 相交于 B，F 和 C，E；
3．依次连接 AB，BC，CD，DE，EF，FA，六边形 ABCDEF 就是所求作的正六边形．
5．75 [解析] 设该正十二边形外接圆的圆心为 O，如图，连接 A10O 和 A3O.
由题意知， 的长度＝
5
12⊙O 的周长，
∴∠A3OA10＝
5
12×360°＝150°，
∴∠A3A7A10＝75°.
6．72
7．．解：(1)∵点 M，N 分别从点 B，C 开始以相同的速度在圆周上逆时针运动，
∴∠BAM＝∠CBN.
又∵∠APN＝∠BPM，
∴∠APN＝∠BPM＝∠ABN＋∠BAM＝∠ABN＋∠CBN＝∠ABC＝60°，
∴∠APB＝120°.
(2)90° 72°4
(3)能推广到一般的正 n 边形的情况．
问题：正 n 边形 ABCD…内接于⊙O，点 M，N 分别从点 B，C 开始，以相同的速度在圆周
上逆时针运动，AM，BN 相交于点 P，求∠APB 的度数．
结论：∠APB 的度数为所在多边形的外角度数，即∠APB＝
360°
n .
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