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第 1 章 一元二次方程
1．2 第 5 课时 一元二次方程根的判别式
知识点 1 判断一元二次方程的根的情况
1．[2017·常德] 一元二次方程 3x2－4x＋1＝0 的根的情况为( )
A．没有实数根
B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
2．下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的是( )
A．(x－1)2＝0 B．x2＋2x－19＝0
C．x2＋4＝0 D．x2＋x＋1＝0
3．已知一元二次方程：①x2＋2x＋3＝0；②x2－2x－3＝0.下列说法正确的是( )
A．①②都有实数根
B．①无实数根，②有实数根
C．①有实数根，②无实数根
D．①②都无实数根
4．不解方程，判断下列方程根的情况．
(1)3x2－6x－2＝0; (2)x2－8x＋17＝0.
知识点 2 应用根的判别式求字母的值或取值范围
5．[2017·德阳] 已知关于 x 的方程 x2－4x＋c＋1＝0 有两个相等的实数根，则常数 c
的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．3
6．[2017·通辽] 若关于 x 的一元二次方程(k＋1)x2＋2(k＋1)x＋k－2＝0 有实数根，
则 k 的取值范围在数轴上的表示正确的是( )
图 1－2－2
7．若关于 x 的一元二次方程 x2＋a＝0 没有实数根，则实数 a 的取值范围是________．
8．教材练习第 2 题变式若关于 x 的方程 x2－6x＋m＝0 有两个相等的实数根，则实数 m＝
________．
9．已知关于 x 的方程 x2＋(1－m)x＋
m2
4 ＝0 有两个不相等的实数根，则 m 的最大整数值
是________．2
10．已知关于 x 的一元二次方程 kx2－6x＋9＝0，则当 k 为何值时，这个方程：
(1)有两个不相等的实数根？
(2)有两个相等的实数根？
(3)没有实数根？
11．若关于 x 的一元二次方程(m－2)x2＋2x＋1＝0 有实数根，则 m 的取值范围是( )
A．m≤3 B．m＜3
C．m＜3 且 m≠2 D．m≤3 且 m≠2
12．[2016·海安学业水平测试] 为了说明命题“当 b＜0 时，关于 x 的一元二次方程 x2
＋bx＋2＝0 必有实数根”是假命题，可以举的一个反例是( )
A．b＝2 B．b＝3
C．b＝－2 D．b＝－3
13．若关于 x 的一元二次方程 x2－2x＋kb＋1＝0 有两个不相等的实数根，则一次函数 y
＝kx＋b 的大致图像可能是( )
图 1－2－3
14．[2016·河北] a，b，c 为常数，且(a－c)2>a2＋c2，则关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0
的根的情况是( )
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．有一个根为 0
15．若关于 x 的一元二次方程 2x(kx－4)－x2＋6＝0 没有实数根，则 k 的最小整数值是
________．
16．已知关于 x 的一元二次方程 x2＋mx＋m－2＝0.
(1)求证：无论 m 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)当方程的一个根为－2 时，求方程的另一个根．3
17．已知：关于 x 的方程 x2＋2mx＋m2－1＝0.
(1)不解方程，判别方程的根的情况；
(2)若方程的一个根为 3，求 m 的值．
18．已知关于 x 的一元二次方程 x2＋(2m＋1)x＋m2－1＝0 有两个不相等的实数根．
(1)求 m 的取值范围；
(2)当 m 取最小整数值时，用合适的方法求该方程的解．
19．已知关于 x 的一元二次方程 x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0.
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若△ABC 的两边 AB，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边 BC 的长为 5，当△ABC
是等腰三角形时，求 k 的值．4
详解详析
1．D 2.B
3．B [解析] 方程①的判别式 b2－4ac＝4－12＝－80，则方程②有两个不相等的实数根．
故选 B.
4．解：(1)3x2－6x－2＝0，
a＝3，b＝－6，c＝－2，
b2－4ac＝(－6)2－4×3×(－2)＝60＞0，
因此方程 3x2－6x－2＝0 有两个不相等的实数根．
(2)x2－8x＋17＝0，
a＝1，b＝－8，c＝17，
b2－4ac＝(－8)2－4×1×17＝－4＜0，
因此方程 x2－8x＋17＝0 无实数根．
5．D [解析] 一元二次方程有两个相等的实数根，则判别式为 0，即(－4)2－4(c＋1)＝
0，则可得 c＝3.
6．A [解析] ∵关于 x 的一元二次方程(k＋1)x2＋2(k＋1)x＋k－2＝0 有实数根，
∴{k＋1 ≠ 0，
[2（k＋1）]2－4（k＋1）（k－2） ≥ 0，
解得 k＞－1.故选 A.
7．a＞0
8．9 [解析] ∵方程有两个相等的实数根，
∴(－6)2－4m＝0，∴m＝9.故答案为 9.
9． [解析] 根据题意，得(1－m)2－4×
m2
4 ＞0，解得 m＜
1
2，所以 m 的最大整数值为 0.
10．解：(1)∵关于 x 的一元二次方程 kx2－6x＋9＝0 有两个不相等的实数根，
∴{k ≠ 0，
（－6）2－4 × 9k > 0，
解得 k＜1 且 k≠0，
∴当 k＜1 且 k≠0 时，方程有两个不相等的实数根．
(2)∵关于 x 的一元二次方程 kx2－6x＋9＝0 有两个相等的实数根，
∴{k ≠ 0，
（－6）2－4 × 9k＝0，
解得 k＝1，
∴当 k＝1 时，方程有两个相等的实数根．
(3)∵关于 x 的一元二次方程 kx2－6x＋9＝0 没有实数根，
∴{k ≠ 0，
（－6）2－4 × 9k < 0，
解得 k＞1，∴当 k＞1 时，方程没有实数根．
11．D [解析] ∵关于 x 的一元二次方程(m－2)x2＋2x＋1＝0 有实数根，
∴m－2≠0 且 22－4×(m－2)×1≥0，
解得 m≤3 且 m≠2，
∴m 的取值范围是 m≤3 且 m≠2.故选 D.
12．C
13．B [解析] ∵x2－2x＋kb＋1＝0 有两个不相等的实数根，5
∴b2－4ac＝4－4(kb＋1)＞0，解得 kb＜0.
由 A 项中的图像可知 k＞0，b＞0，即 kb＞0，故 A 项不正确；
由 B 项中的图像可知 k＞0，b＜0，即 kb＜0，故 B 项正确；
由 C 项中的图像可知 k＜0，b＜0，即 kb＞0，故 C 项不正确；
由 D 项中的图像可知 ka2＋c2 得出－2ac＞0，因此 a≠0，b2－4ac＞0，所以方程有
两个不相等的实数根，故选 B.
15．2
16．解：(1)证明：b2－4ac＝m2－4×1×(m－2)＝m2－4m＋8＝(m－2)2＋4.
∵(m－2)2≥0，∴(m－2)2＋4＞0，
即 b2－4ac＞0，
∴无论 m 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．
(2)∵此方程的一个根为－2，
∴4－2m＋m－2＝0，∴m＝2，
∴一元二次方程为 x2＋2x＝0，
解得 x1＝－2，x2＝0，
∴方程的另一个根为 0.
17．解：(1)因为 b2－4ac＝4m2－4(m2－1)＝4＞0，
所以原方程有两个不相等的实数根．
(2)将 x＝3 代入原方程，得 9＋6m＋m2－1＝0，解得 m＝－2 或 m＝－4.
所以 m 的值是－2 或－4.
18．解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，
∴b2－4ac＝(2m＋1)2－4(m2－1)＝4m＋5>0，
解得 m>－
5
4.
(2)∵m 取最小整数值，∴m＝－1.
当 m＝－1 时，原方程为 x2－x＝0，
解得 x1＝0，x2＝1.
19．解析] (1)先计算出 b2－4ac，然后根据判别式与 0 的大小关系即可得到结论；
(2)先利用公式法求出方程的解，当边 AB，AC 的长与两根分别相等时，利用△ABC 为等
腰三角形这个条件，再在 AB＝BC，AB＝AC，或 AC＝BC 的情况下，求出相应的 k 的值．
解：(1)证明：∵b2－4ac＝[－(2k＋1)]2－4(k2＋k)＝1＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
(2)一元二次方程 x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0 的解为 x＝
2k＋1 ± 1
2 ，即 x1＝k，x2＝k＋
1.
令 AB＝k，AC＝k＋1.
当 AB＝BC 时，k＝5，此时三角形的三边长为 5，5，6，能构成等腰三角形；
当 AB＝AC 时，k＝k＋1，无解，此种情况不存在；
当 AC＝BC 时，k＋1＝5，解得 k＝4，此时三角形的三边长为 4，5，5，能构成等腰三角
形．
∴k 的值为 5 或 4.
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