1
第 2 章 对称图形——圆
类型之一 圆的有关性质
1．[2017·宜昌] 如图 2－X－1，四边形 ABCD 内接于⊙O，AC 平分∠BAD，则下列结论正
确的是( )
A．AB＝AD B．BC＝CD
C.AB︵
＝AD︵
D．∠BCA＝∠ACD
图 2－X－1
图 2－X－2
.如图 2－X－2，OC 是⊙O 的半径，AB 是弦，且 OC⊥AB，点 P 在⊙O 上，∠APC＝26°，
则∠BOC＝________°.
3．如图 2－X－3，在⊙O 中，弦 AB∥CD.若∠ABC＝40°，则∠BOD＝( )
A．80° B．50° C．40° D．20°
图 2－X－3
图 2－X－4
类型之二 切线的性质与判定2
4．如图 2－X－4，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，切点为 D，CD 与 AB 的延长线交
于点 C，∠A＝30°，给出下面 3 个结论：
①AD＝CD；②BD＝BC；③AB＝2BC.其中正确结论的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
5．如图 2－X－5，AB 是⊙O 的直径，点 D 在⊙O 上，∠BAD＝35°，过点 D 作⊙O 的切线
交 AB 的延长线于点 C，则∠C＝________°.
图 2－X－5
图 2－X－6
.如图 2－X－6，在矩形 ABCD 中，AB＝8，AD＝12，过 A，D 两点的⊙O 与 BC 边相切于点
E，则⊙O 的半径为________．
7．[2017·宿迁改编] 如图 2－X－7，AB 与⊙O 相切于点 B，BC 为⊙O 的弦，OC⊥OA，OA
与 BC 相交于点 P.
(1)求证：AP＝AB；
(2)若 OB＝4，OP＝2，求线段 AB 的长．
图 2－X－7
8．已知在⊙O 中，AC 为直径，MA，MB 分别切⊙O 于点 A，B.
(1)如图 2－X－8①，若∠BAC＝23°，求∠AMB 的度数；
(2)如图 2－X－8②，过点 B 作 BD⊥AC 于点 E，交⊙O 于点 D.若 BD＝MA，求∠AMB 的度
数．3
图 2－X－8
类型之三 圆中的有关计算
图 2－X－9
9．[2016·南京二模] 如图 2－X－9，已知正方形的边长为 1，若圆与正方形的四条边都
相切，则阴影部分的面积与下列各数最接近的是( )
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
10．如图 2－X－10，点 A 在以 BC 为直径的⊙O 内，且 AB＝AC，以点 A 为圆心，AC 长为
半径作弧，得到扇形 ABC，剪下扇形 ABC 围成一个圆锥(AB 和 AC 重合)．若∠BAC＝120°，BC
＝ 3，则这个圆锥底面圆的半径是( )
A.
1
3 B.
2
3 C. 2 D. 3
图 2－X－10
图 2－X－114
11．如图 2－X－11，⊙O 的半径为 4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接 OB，OC.若∠BAC
与∠BOC 互补，则弦 BC 的长为( )
A．3 3 B．4 3 C．5 3 D．6 3
12．[2017·莱芜] 圆锥的底面周长为
2π
3 ，母线长为 2，P 是母线 OA 的中点，一根细绳(无
弹性)从点 P 绕圆锥侧面一周回到点 P，则细绳的最短长度为________．
13．如图 2－X－12，AB 为⊙O 的直径，AC，DC 为弦，∠ACD＝60°，P 为 AB 延长线上的
点，∠APD＝30°.
(1)求证：DP 是⊙O 的切线；
(2)若⊙O 的半径为 3 cm，求图中阴影部分的面积．
图 2－X－12
类型之四 圆中的分类讨论题
14．若一个点到圆上的点的最小距离为 3 cm，最大距离为 8 cm，则该圆的半径是( )
A．5 cm 或 11 cm B．2.5 cm
C．5.5 cm D．2.5 cm 或 5.5 cm
15．在半径为 1 的⊙O 中，若弦 AB，AC 的长分别是 2， 3，则∠BAC 的度数为( )
A．15° B．15°或 75°
C．75° D．15°或 65°
16．已知△ABC 内接于半径是 6 cm 的⊙O，弦 AB＝6 3 cm，则弦 AB 所对的圆周角∠ACB
的度数是( )
A．30° B．60°
C．60°或 120° D．30°或 150°
类型之五 圆中的动点问题
图 2－X－13
17．如图 2－X－13，在 Rt△AOB 中，OA＝OB＝3 2，⊙O 的半径为 1，P 是 AB 边上的动
点，过点 P 作⊙O 的一条切线 PQ(点 Q 为切点)，则线段 PQ 的最小值为________．
18．如图 2－X－14，已知⊙O 的直径 AB＝12 cm，AC 是⊙O 的弦，过点 C 作⊙O 的切线交
BA 的延长线于点 P，连接 BC.
(1)求证：∠PCA＝∠B；5
(2)已知∠P＝40°，点 Q 在优弧 ABC 上，从点 A 开始逆时针运动到点 C 停止(点 Q 与点 C
不重合)，当△ABQ 与△ABC 的面积相等时，求动点 Q 所经过的弧长．
图 2－X－146
详解详析
1．B [解析] 根据弦、弧、圆周角之间的关系，由相等的圆周角得到所对的弧、弦相等，
可知选项 B 正确．
2．52 [解析] ∵OC 是⊙O 的半径，AB 是弦，且 OC⊥AB，
∴AC︵
＝BC︵
，
∴∠BOC＝2∠APC＝2×26°＝52°.
3．A [解析] ∵AB∥CD，∴∠BCD＝∠ABC＝40°，∴∠BOD＝2∠BCD＝80°.故选 A.
4．A [解析] ∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB＝90°.
∵∠A＝30°，∴∠ABD＝60°.
连接 OD，如图，∵OD＝OB，
∴△OBD 是等边三角形，
∴∠ODB＝∠DOB＝60°.
∵CD 是⊙O 的切线，∴OD⊥DC，
∴∠BDC＝∠C＝30°，
∴BD＝BC，∠C＝∠A，
∴AD＝CD.
∵在 Rt△ADB 中，∠A＝30°，∴BD＝
1
2AB，
即 AB＝2BD，∴AB＝2BC.
因此结论①②③都正确．故选 A.
5． 20 [解析] 如图，连接 OD.
∵CD 是⊙O 的切线，∴OD⊥CD.
∵∠COD＝2∠BAD＝2×35°＝70°，
∴∠C＝90°－∠COD＝20°.
6．6.25 [解析] 如图，连接 OE，并反向延长 OE 交 AD 于点 F，连接 OA.
∵BC 是⊙O 的切线，
∴OE⊥BC，∴∠OEC＝90°.
∵四边形 ABCD 是矩形，7
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形 CDFE 是矩形，
∴EF＝CD＝AB＝8，OF⊥AD，
∴AF＝
1
2AD＝
1
2×12＝6.
设⊙O 的半径为 x，则 OF＝EF－OE＝8－x.
在 Rt△OAF 中，OF2＋AF2＝OA2，
则(8－x)2＋36＝x2，
解得 x＝6.25，
∴⊙O 的半径为 6.25.
故答案为 6.25.
7．解：(1)证明：∵AB 与⊙O 相切于点 B，
∴∠ABO＝90°，
∴∠ABP＋∠OBC＝90°.
∵OC⊥OA，∴∠OPC＋∠C＝90°.
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠C，
∴∠ABP＝∠OPC.
又∵∠APB＝∠OPC，
∴∠ABP＝∠APB，∴AP＝AB.
(2)设 AP＝AB＝x，则 OA＝2＋x.
在 Rt△AOB 中，AB2＋OB2＝OA2，
∴x2＋42＝(x＋2)2，
解得 x＝3，即线段 AB 的长是 3.
8．[解析](1)根据切线的性质得到AM⊥AC，可得出∠MAC 为直角，可求∠MAB 的度数．又
由切线长定理得到 MA＝MB，进而求得∠AMB 的度数；
(2)连接 AB，AD，由直径 AC 垂直于弦 BD，根据垂径定理得到 A 为优弧 BAD 的中点，根据
等弧对等弦可得出 AB＝AD.而 AM⊥AC，BD⊥AC，则 BD∥AM.又 BD＝AM，可知四边形 ADBM 为平
行四边形，再由邻边 MA＝MB，得到四边形 ADBM 为菱形．根据菱形的邻边相等可得出 BD＝AD，
进而得到 AB＝AD＝BD，即△ABD 为等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠D 为 60°，再
利用菱形的对角相等可得出∠AMB＝∠D＝60°.
解：(1)∵MA 切⊙O 于点 A，
∴∠MAC＝90°.
又∵∠BAC＝23°，
∴∠MAB＝∠MAC－∠BAC＝67°.
∵MA，MB 分别切⊙O 于点 A，B，
∴MA＝MB，
∴∠MBA＝∠MAB＝67°，
∴∠AMB＝180°－(∠MAB＋∠MBA)＝46°.
(2)连接 AD，AB.
∵MA⊥AC，BD⊥AC，
∴BD∥MA.
又∵BD＝MA，
∴四边形 MADB 是平行四边形．
又∵MA＝MB，8
∴▱MADB 是菱形，
∴AD＝BD.
∵AC 为⊙O 的直径，AC⊥BD，
∴AB︵
＝AD︵
，
∴AB＝AD，
∴AB＝AD＝BD，
∴△ABD 是等边三角形，
∴∠D＝60°，
∴在菱形 MADB 中，∠AMB＝∠D＝60°.
9.B [解析] ∵正方形的边长为 1，圆与正方形的四条边都相切，
∴S 阴影＝S 正方形－S 圆＝1－0.25π≈0.21.
10．A 11.B
12．1
13．解：(1)证明：连接 OD.
∵∠ACD＝60°，
∴由圆周角定理，得∠AOD＝2∠ACD＝120°，
∴∠DOP＝180°－120°＝60°.
∵∠APD＝30°，
∴∠ODP＝180°－30°－60°＝90°，
∴OD⊥DP.
∵OD 为⊙O 的半径，∴DP 是⊙O 的切线．
(2)∵∠APD＝30°，∠ODP＝90°，OD＝3 cm，
∴OP＝6 cm，由勾股定理，得 DP＝3 3 cm，
∴图中阴影部分的面积 S＝S△ODP－S 扇形 ODB＝
1
2×3×3 3－
60π × 32
360 ＝(9 3
2 －
3
2π)
cm2.
14．D [解析] 当点 P 在圆内时，圆的直径是 11 cm，因而半径是 5.5 cm；
当点 P 在圆外时，圆的直径是 5 cm，因而半径是 2.5 cm.故选 D.
15．B [解析] 如图①，分别连接 OA，OB，OC.过点 O 分别作 OD⊥AB 于点 D，OE⊥AC 于
点 E.
则 AD＝
2
2 ，AE＝
3
2 .
∵OA＝1，∴OD＝
2
2 ＝AD，OE＝
1
2，
∴∠OAD＝45°，∠OAE＝30°，
∴∠BAC＝75°.
如图②，同理可得∠OAD＝45°，∠OAE＝30°，
∴∠BAC＝45°－30°＝15°，故选 B.9
16．C [解析] 连接OA，OB，过点 O 作 OD⊥AB 于点 D，易得 OD＝3，∴∠OAB＝30°，∴∠
AOD＝60°，∴∠AOB＝120°.
当点 C 在劣弧 AB 上时，如图①所示，∠ACB＝
1
2×(360°－120°)＝120°；
当点 C 在优弧 ACB 上时，如图②所示，∠ACB＝
1
2∠AOB＝60°.故选 C.
17．2 2 [解析] 如图，连接 OP，OQ.
∵PQ 是⊙O 的切线，
∴OQ⊥PQ.
根据勾股定理知 PQ2＝OP2－OQ2.
当 OP⊥AB 时，线段 OP 最短，此时线段 PQ 最短．
∵在 Rt△AOB 中，OA＝OB＝3 2，
∴AB＝6，∴OP＝3，
∴PQ＝ OP2－OQ2＝2 2.
18．[全品导学号：54602137]解：(1)证明：如图，连接 OC.
∵PC 是⊙O 的切线，
∴∠PCO＝90°，
∴∠1＋∠PCA＝90°.
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°，∴∠2＋∠B＝90°.
∵OC＝OA，∴∠1＝∠2，
∴∠PCA＝∠B.
(2)∵∠P＝40°，∠PCO＝90°，∴∠AOC＝50°.
∵AB＝12，∴OA＝6.
当点 Q 在 AB 下方，且∠AOQ＝∠AOC＝50°时，△ABQ 与△ABC 的面积相等，
此时点 Q 所经过的弧长＝
50 × π × 6
180 ＝
5π
3 (cm)；
当点 Q 在 AB 下方，且∠BOQ＝∠AOC＝50°时，△ABQ 与△ABC 的面积相等，10
此时点 Q 所经过的弧长＝
130 × π × 6
180 ＝
13π
3 (cm)；
当点 Q 在 AB 上方，且∠BOQ＝∠AOC＝50°，即∠AOQ＝230°时，△ABQ 与△ABC 的面积
相等，
此时点 Q 所经过的弧长＝
230 × π × 6
180 ＝
23π
3 (cm)．
∴当△ABQ 与△ABC 的面积相等时，动点 Q 所经过的弧长为
5π
3 cm 或
13π
3 cm 或
23π
3 cm.
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