1
第 1 章 一元二次方程
1 . 2 第 4 课时 用公式法解一元二次方程
知识点 1 一元二次方程的求根公式
1．一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的各项系数________确定的，其求根
公式是__________，方程存在解的条件是______________．
2．用公式法解一元二次方程 3x2＝2x－3 时，首先要确定 a，b，c 的值，下列叙述正确
的是( )
A．a＝3，b＝2，c＝3 B．a＝－3，b＝2，c＝3
C．a＝3，b＝2，c＝－3 D．a＝3，b＝－2，c＝3
3．用求根公式解一元二次方程 2y2－4y－1＝0，其中 b2－4ac 的值是( )
A．8 B．12 C．20 D．24
知识点 2 用公式法解一元二次方程
4．用公式法解一元二次方程－x2＋3x＝1.
解：把这个方程化为一般形式为 x2－3x＋1＝0.
∵a＝________，b＝________，c＝________，
∴b2－4ac＝________，
∴x＝________，
∴x1＝________，x2＝________．
5．用公式法解方程 3x2－5x＋1＝0，正确的是( )
A．x＝
－5 ± 13
6 B．x＝
－5 ± 13
3
C．x＝
5 ± 13
6 D．x＝
5 ± 13
3
6．[2016·沈阳] 一元二次方程 x2－4x＝12 的根是( )
A．x1＝2，x2＝－6 B．x1＝－2，x2＝6
C．x1＝－2，x2＝－6 D．x1＝2，x2＝6
7．若代数式 x2－6x＋5 的值是 12，则 x 的值为( )
A．7 或－1 B．1 或－5
C．－1 或－5 D．不能确定
8．已知代数式 7x(x＋5)＋10 的值与 9x－9 的值互为相反数，则 x＝________．
9．用公式法解下列方程：
(1)x2＋4x－1＝0； (2)x2－13x＋40＝0；
(3)2x2－3x＋4＝0; (4)
2
3t2＝2t－1；
(5)3y2＋1＝2 3y; (6)5x2－ 5x－6＝0.2
10．解方程 x2＝－3x＋2 时，有一名同学的解答过程如下：
解：∵a＝1，b＝3，c＝2，
b2－4ac＝32－4×1×2＝1>0，
∴x＝
－b ± b2－4ac
2a ＝
－3 ± 1
2 × 1 ＝
－3 ± 1
2 ，
即 x1＝－2，x2＝－1.
请你分析以上解答有无错误，若有错误，请写出正确的解题过程．
11．如果 x2－4x＋5＝(x＋1)0，那么 x 的值为( )
A．2 或－1 B．0 或 1
C．2 D．－1
12．一元二次方程 x2－2x－6＝0，其中较大的一个根为 x1，下列最接近 x1 的范围是( )
A．3＜x1＜4 B．3＜x1＜3.5
C．3.5＜x1＜3.7 D．3.7＜x1＜4
13．三角形两边的长分别为 3 和 6，第三边的长是方程 x2－13x＋36＝0 的根，则三角形
的周长为________．
14．解方程：(x－1)2－2(x－1)－3＝0.
15．已知一元二次方程 x2－2x－
5
4＝0 的某个根也是一元二次方程 x2－(k＋2)x＋
9
4＝0 的
根，求 k 的值．3
16．已知一个矩形的相邻两边长分别为 2m－1 和 m＋3，若此矩形的面积为 30，求这个矩
形的周长．
17．若 x2＋mx＋15＝(x＋5)(x＋n)，试解关于 x 的方程 nx2＋mx＋1＝0.
18．已知关于 x 的一元二次方程(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0.
(1)求出此方程的根；
(2)当 m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？4
详解详析
1．a，b，c x＝
－b ± b2－4ac
2a b2－4ac≥0
2．D 3.D
4．1 －3 1 5
3 ± 5
2
3＋ 5
2
3－ 5
2
5．C
6．B [解析] 方程整理得 x2－4x－12＝0，用公式法解得 x1＝－2，x2＝6.
7． A [解析] x2－6x＋5＝12，
x2－6x＋5－12＝0，
x2－6x－7＝0，
∴x＝
6 ± 8
2 ，
解得 x1＝－1，x2＝7.
故选 A.
8.
－22 ± 3 53
7
9．解：(1)∵a＝1，b＝4，c＝－1，
b2－4ac＝42－4×1×(－1)＝20>0，
∴x＝
－4 ± 20
2 ，∴x＝－2± 5，
即 x1＝－2＋ 5，x2＝－2－ 5.
(2)∵a＝1，b＝－13，c＝40，
b2－4ac＝(－13)2－4×1×40＝9，
∴x＝
13 ± 9
2 ＝
13 ± 3
2 ，
∴x1＝8，x2＝5.
(3)∵a＝2，b＝－3，c＝4，
b2－4ac＝(－3)2－4×2×4＝－23＜0，
∴原方程无实数根．
(4)整理，得 2t2－6t＋3＝0.
∵a＝2，b＝－6，c＝3，
b2－4ac＝(－6)2－4×2×3＝12＞0，
∴t＝
－（－6） ± 12
2 × 2 ＝
3 ± 3
2 ，
即 t1＝
3＋ 3
2 ，t2＝
3－ 3
2 .
(5)移项，得 3y2－2 3y＋1＝0.
∵a＝3，b＝－2 3，c＝1，
b2－4ac＝(－2 3)2－4×3×1＝0，
∴y＝
－（－2 3） ± 0
2 × 3 ＝
3
3 ，5
即 y1＝y2＝
3
3 .
(6)∵a＝5，b＝－ 5，c＝－6，
b2－4ac＝(－ 5) 2
－4×5×(－6)＝125>0，
∴x＝
－（－ 5） ± 125
2 × 5 ＝
5 ± 5 5
10 ，
即 x1＝
3 5
5 ，x2＝－
2 5
5 .
10．解：解答有错误，正确的解题过程如下：
方程整理，得 x2＋3x－2＝0.
这里 a＝1，b＝3，c＝－2.
∵b2－4ac＝9＋8＝17，
∴x＝
－3 ± 17
2 ，
即 x1＝
－3＋ 17
2 ，x2＝
－3－ 17
2 .
11．C 12.C 13.13
14．解：把 x－1 作为整体看成一个未知数．
∵a＝1，b＝－2，c＝－3，
b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－3)＝16＞0，
∴x－1＝
2 ± 16
2 ，
∴x1＝4，x2＝0.
15．解：对于方程 x2－2x－
5
4＝0，
∵a＝1，b＝－2，c＝－
5
4，
∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－
5
4)＝9>0，
∴x＝
2 ± 9
2 × 1 ，
∴x1＝
5
2，x2＝－
1
2.
把 x1＝
5
2代入 x2－(k＋2)x＋
9
4＝0，
解得 k＝
7
5；
把 x2＝－
1
2代入 x2－(k＋2)x＋
9
4＝0，
解得 k＝－7.
即 k 的值为
7
5或－7.
16．解：由题意，得(2m－1)(m＋3)＝30，6
则 2m2＋5m－33＝0，
解得 x1＝－
11
2 (舍去)，x2＝3.
所以这个矩形的相邻两边长分别为 5 和 6，
故这个矩形的周长为 22.
17．解：由(x＋5)(x＋n)＝x2＋(n＋5)x＋5n，得 x2＋mx＋15＝x2＋(n＋5)x＋5n，
∴{m＝n＋5，
5n＝15，
解得 m＝8，n＝3，
代入方程 nx2＋mx＋1＝0，
得 3x2＋8x＋1＝0.
∵a＝3，b＝8，c＝1，b2－4ac＝64－12＝52>0，∴x＝
－8 ± 52
6 ＝
－4 ± 13
3 ，
即 x1＝
－4＋ 13
3 ，x2＝
－4－ 13
3 .
18．解：(1)根据题意，得 m≠1.
b2－4ac＝(－2m)2－4(m－1)(m＋1)＝4，
则 x＝
2m ± 2
2（m－1），
∴x1＝
2m＋2
2（m－1）＝
m＋1
m－1，x2＝1.
(2)由(1)知，x1＝
m＋1
m－1＝1＋
2
m－1.
∵方程的两个根都为正整数，
∴
2
m－1是正整数．
又∵m 为整数，
∴m－1＝1 或 m－1＝2，
∴m＝2 或 m＝3.
即当 m 为 2 或 3 时，此方程的两个根都为正整数．
微信/支付宝扫码支付