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第 2 章 对称图形——圆
2．1 第 2 课时 与圆有关的概念
知识点 1 与圆有关的概念
1．图 2－1－5 中有________条直径，________条非直径的弦，图中以A 为一个端点的优
弧有________条，劣弧有________条．
图 2－1－5
图 2－1－6
2．如图 2－1－6，图中的弦有__________，圆心角∠AOD 所对的弧是________，弦 AB 所
对的弧有____________．
图 2－1－7
3．如图 2－1－7，在⊙O 中，点 A，O，D 以及点 B，O，C 分别在一条直线上，图中的弦
有( )
A．2 条 B．3 条
C．4 条 D．5 条
4．下列说法中，错误的是( )
A．圆有无数条直径
B．连接圆上任意两点之间的线段叫弦
C．过圆心的线段是直径
D．能够重合的圆叫做等圆
5．如图 2－1－8，点 A，B，C 是⊙O 上的三点，BO 平分∠ABC.求证：BA＝BC.
图 2－1－82
知识点 2 与圆心角有关的计算
6．[2017·张家界] 如图 2－1－9，在⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，连接 OC.若∠ACO＝
30°，则∠BOC 的度数是( )
A．30° B．45° C．55° D．60°
图 2－1－9
图 2－1－10
7．如图 2－1－10，AB 为⊙O 的直径，∠COA＝∠DOB＝60°，那么与线段 OA 相等的弦为
________________．
8．如图 2－1－11，AB 是⊙O 的直径，点 C，D 在⊙O 上，∠BOC＝110°，AD∥OC，求∠AOD
的度数．
图 2－1－11
9．如图 2－1－12，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝40°.以点 C 为圆心，CB 长为半径
的圆交 AB 于点 D，求∠ACD 的度数．
图 2－1－123
10．教材习题 2.1 第 8 题变式如图 2－1－13，四边形 PAOB 是矩形，且点 A 在 OM 上，点
B 在 ON 上，点 P 在以点 O 为圆心的MN︵
上，且不与点 M，N 重合，当点 P 在MN︵
上移动时，矩形 PAOB
的形状随之变化，则 AB 的长( )
A．逐渐变大 B．逐渐变小
C．不变 D．不能确定
图 2－1－13
图 2－1－14
11．如图 2－1－14，以△ABC 的边 BC 为直径的⊙O 分别交 AB，AC 于点 D，E，连接 OD，
OE.若∠A＝65°，则∠DOE＝________°.
12．如图 2－1－15 所示，A，B，C 是⊙O 上的三点，∠AOB＝50°，∠OBC＝40°，求∠OAC
的度数．
图 2－1－15
13．教材“思考与探索”变式如图 2－1－16，CD 是⊙O 的直径，点 A 在 DC 的延长线上，∠
A＝20°，AE 交⊙O 于点 B，且 AB＝OC.
(1)求∠AOB 的度数；
(2)求∠EOD 的度数．4
图 2－1－16
14．已知：如图 2－1－17，O 是∠EPF 的平分线上一点，以点 O 为圆心的圆与∠EPF 的两
边分别交于点 A，B 和 C，D.求证：∠OBA＝∠OCD.
图 2－1－17
15．某公园计划建一个形状如图 2－1－18①所示的喷水池．
(1)有人建议改为图②所示的形状，且外观直径不变，只是担心原来备好的材料不够，请
你比较这两种方案，哪一种方案需要的材料多(即比较哪个周长更长)?
(2)若将三个小圆改成 n 个小圆，结论是否还成立？请说明理由．
图 2－1－18
详解详析
1．1 2 4 4
2．AB，BC AD︵
AB︵
，ACB︵
3．B 4.C
5．证明：如图，连接 OA，OC.5
∵OA＝OB，OB＝OC，
∴∠ABO＝∠BAO，∠CBO＝∠BCO.
∵BO 平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠CBO，
∴∠BAO＝∠BCO.
又∵OB＝OB，∴△OAB≌△OCB，
∴BA＝BC.
6．D
7．AC，CD，DB [解析] 图中共有 3 条非直径的弦：AC，CD，DB，由条件可知△AOC，△
BOD，△COD 都是等边三角形，所以有 OA＝AC＝CD＝DB.
8．解：∵∠BOC＝110°，∠AOC＋∠BOC＝180°，
∴∠AOC＝70°.
∵AD∥OC，OD＝OA，
∴∠D＝∠A＝∠AOC＝70°，
∴∠AOD＝180°－70°－70°＝40°.
9．：∵在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，
∴∠B＝50°.
∵CB＝CD，
∴∠BDC＝∠B＝50°，
∴∠BCD＝80°，
∴∠ACD＝10°.
10．C
11．50 [解析] ∵在⊙O 中，OB＝OD＝OE＝OC，∴∠B＝∠ODB，∠C＝∠CEO.
∵∠A＝65°，
∴∠ODB＋∠CEO＝∠B＋∠C＝115°，
∴∠DOB＋∠EOC＝(180°－2∠B)＋(180°－2∠C)＝360°－2(∠B＋∠C)＝130°，
∴∠DOE＝180°－(∠DOB＋∠EOC)＝50°.
12．[解析] 连接 OC，由∠OBC＝40°，利用等腰三角形两底角相等求出∠OCB 的度数．由
三角形内角和定理及∠AOB＝50°求出∠AOC 的度数．再利用等腰三角形两底角相等可求
∠OAC 的度数．
解：连接 OC.
∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝40°，
∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－40°－40°＝100°，
∴∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝50°＋100°＝150°.
又∵OA＝OC，
∴∠OAC＝
1
2(180°－∠AOC)＝15°.
13．解：(1)∵AB＝OC，OB＝OC，
∴AB＝OB，
∴∠AOB＝∠A＝20°.6
(2)如图，∵∠2＝∠A＋∠1，∠1＝∠A，
∴∠2＝2∠A.
∵OB＝OE，
∴∠2＝∠E，
∴∠E＝2∠A，
∴∠EOD＝∠A＋∠E＝3∠A＝60°.
14．[全品导学号：54602066]证明：过点 O 作 OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为 M，N.
∵PO 平分∠EPE，
∴OM＝ON.
在 Rt△OMB 和 Rt△ONC 中，
{OM＝ON，
OB＝OC，
∴Rt△OMB≌Rt△ONC(HL)，
∴∠OBA＝∠OCD.
15． (1)设大圆的直径为 d，周长为 l，图②中三个小圆的直径分别是 d1，d2，d3，周长
分别是 l1，l2，l3，
则 l＝πd＝π(d1＋d2＋d3)＝πd1＋πd2＋πd3＝l1＋l2＋l3，
所以图①中一个大圆的周长与图②中三个小圆周长的和相等，即两种方案所用材料一样
多．
(2)将三个小圆改成 n 个小圆，结论仍成立．
理由如下：设大圆的直径为 d，周长为 l，n 个小圆的直径分别是 d1，d2，…，dn，周长
分别是 l1，l2，…，ln，
则 l＝πd＝π(d1＋d2＋…＋dn)＝πd1＋πd2＋…＋πdn＝l1＋l2＋…＋ln，
所以图①中一个大圆的周长与 n 个小圆周长的和相等，即两种方案所用材料一样多．
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