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第 2 章 对称图形——圆
一、选择题(每小题 3 分，共 18 分)
图 2－Z－1
1．如图 2－Z－1，AB 为⊙O 的弦，若∠O＝80°，则∠A 等于( )
A．50° B．55° C．65° D．80°
图 2－Z－2
2．如图 2－Z－2，在⊙O 中，∠ABC＝50°，则∠AOC 等于( )
A．50° B．80° C．90° D．100°
图 2－Z－3
3．如图 2－Z－3，在⊙O 中，弦 AB＝8，OC⊥AB，垂足为 C，且 OC＝3，则⊙O 的半径为
( )
A．5 B．6 C．8 D．10
图 2－Z－4
4．如图 2－Z－4，在平面直角坐标系中，⊙A 经过原点 O，并且分别与 x 轴、y 轴交于
B，C 两点，已知 B(8，0)，C(0，6)，则⊙A 的半径为( )
A．3 B．4 C．5 D．8
5．若 100°的圆心角所对的弧长 l＝5π cm，则该圆的半径 R 等于( )
A．5 cm B．9 cm C.
5
2 cm D.
9
4 cm
图 2－Z－5
6．如图 2－Z－5，以等边三角形 ABC 的 BC 边为直径画半圆，分别交 AB，AC 于点 E，D，2
DF 是半圆的切线，过点 F 作 BC 的垂线交 BC 于点 G.若 AF 的长为 2，则 FG 的长为( )
A．4 B．3 3 C．6 D．2 3
二、填空题(每小题 4 分，共 28 分)
7．如图 2－Z－6，若 AB 是⊙O 的直径，AB＝10 cm，∠CAB＝30°，则 BC＝________cm.
图 2－Z－6
图 2－Z－7
8．如图 2－Z－7，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB 为⊙O 的直径，C 为BD︵
的中点．若∠DAB＝
40°，则∠ABC＝________°.
9．如图 2－Z－8，AB 与⊙O 相切于点 B，线段 OA 与弦 BC 垂直，垂足为 D，AB＝BC＝2，
则∠AOB＝________°.
图 2－Z－8
图 2－Z－9
10．如图 2－Z－9，在△ABC 中，AB＝2，AC＝ 2，以点 A 为圆心，1 为半径的圆与边 BC
相切，则∠BAC 的度数是________．
11．如图 2－Z－10，这是某同学用纸板做成的一个底面直径为 10 cm，高为 12 cm 的无
底圆锥形玩具(接缝忽略不计)，则做这个玩具所需纸板的面积是________cm 2(结果保留
π)．3
图 2－Z－10
图 2－Z－11
12．半圆形纸片的半径为 1cm，用如图 2－Z－11 所示的方法将纸片对折，使对折后半圆
弧的中点 M 与圆心 O 重合，则折痕 CD 的长为________cm.
13．如图 2－Z－12，正六边形硬纸片 ABCDEF 在桌面上由图①的起始位置沿直线 l 不滑
行地翻滚一周后到图②位置．若正六边形的边长为 2 cm，则正六边形的中心 O 运动的路程为
________cm.
图 2－Z－12
三、解答题(共 54 分)
14．(8 分)如图 2－Z－13，在⊙O 中，D，E 分别为半径 OA，OB 上的点，且 AD＝BE.C 为AB︵
上一点，连接 CD，CE，CO，∠AOC＝∠BOC.求证：CD＝CE.
图 2－Z－13
15．(10 分)如图 2－Z－14，已知 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，以直角边 AB 为直径作⊙O，
交斜边 AC 于点 D，连接 BD.取 BC 的中点 E，连接 ED.
求证：ED 与⊙O 相切．4
图 2－Z－14
16．(10 分)如图 2－Z－15，CD 为⊙O 的直径，CD⊥AB，垂足为 F，AO⊥BC，垂足为 E，AO
＝1.
(1)求∠C 的度数；
(2)求阴影部分的面积．
图 2－Z－15
17．(12 分)如图 2－Z－16，在平面直角坐标系中，以点O 为圆心，半径为 2 的圆与 y 轴
交于点 A，P(4，2)是⊙O 外一点，连接 AP，直线 PB 与⊙O 相切于点 B，交 x 轴于点 C.
(1)求证：PA 是⊙O 的切线；
(2)求点 B 的坐标．
图 2－Z－165
18．(14 分)如图 2－Z－17，已知△ABC 内接于⊙O，且 AB＝AC，直径 AD 交 BC 于点 E，F
是 OE 上的一点，且 CF∥BD.
(1)求证：BE＝CE；
(2)试判断四边形 BFCD 的形状，并说明理由；
(3)若 BC＝8，AD＝10，求 CD 的长．
图 2－Z－176
详解详析
1．A
2．D [解析] ∵∠ABC＝50°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝100°.
3．A [解析] 连接 OB.∵OC⊥AB，AB＝8，
∴BC＝
1
2AB＝
1
2×8＝4.
在 Rt△OBC 中，OB＝ OC2＋BC2＝5.
4．C [解析] 连接 BC.∵∠BOC＝90°，
∴BC 为⊙A 的直径，即 BC 过圆心 A.
在 Rt△BOC 中，OB＝8，OC＝6，
根据勾股定理，得 BC＝10，则⊙A 的半径为 5.
5．B [解析] 由
100πR
180 ＝5π，求得 R＝9.
6．B [解析] 连接 OD.
∵DF 为半圆 O 的切线，
∴OD⊥DF.
∵△ABC 为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°.
又∵OD＝OC，
∴△OCD 为等边三角形，
∴∠CDO＝∠A＝60°，∠DOC＝∠ABC＝60°，
∴OD∥AB，∴DF⊥AB.
在 Rt△AFD 中，∠ADF＝90°－∠A＝30°，AF＝2，∴AD＝4.
∵O 为 BC 的中点，易知 D 为 AC 的中点，
∴AC＝8，
∴FB＝AB－AF＝8－2＝6.
在 Rt△BFG 中，∠BFG＝90°－∠B＝30°，
∴BG＝3，
根据勾股定理，得 FG＝3 3.
故选 B.
7．5 [解析] ∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°.
又∵AB＝10 cm，∠CAB＝30°，
∴BC＝
1
2AB＝5 cm.
8．70 [解析] 连接AC.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°.∵C 为BD︵
的中点，∴∠CAB＝
1
2∠DAB＝20°，∴∠ABC＝70°.
9．60
10．105° [解析] 设⊙A 与 BC 相切于点 D，连接 AD，则 AD⊥BC.
在 Rt△ABD 中，AB＝2，AD＝1，7
所以∠B＝30°，
因而∠BAD＝60°.
同理，在 Rt△ACD 中，得到∠CAD＝45°，
因而∠BAC 的度数是 105°.
11．65π [解析] 如图，过点 P 作 PO⊥AB 于点 O，则 O 为 AB 的中点，即圆锥底面圆的
圆心．在 Rt△PAO 中，PA＝ OP2＋OA2＝ 122＋52＝13.
由题意，得 S 侧面积＝
1
2·l·r＝
1
2×底面周长×母线长＝
1
2·π×10×13＝65π，∴做这个
玩具所需纸板的面积是 65π cm2.故答案为 65π.
12. 3 [解析] 如图，连接 MO 交 CD 于点 E，则 MO⊥ CD，连接 CO.
∵MO⊥CD，∴CD＝2CE.
∵对折后半圆弧的中点 M 与圆心 O 重合，
∴ME＝OE＝
1
2OC＝
1
2 cm.
在 Rt△COE 中，CE＝ 12－(1
2 ) 2
＝
3
2 (cm)，
∴折痕 CD 的长为 2×
3
2 ＝ 3(cm)．
13． 4π [解析] 根据题意，得每次滚动，正六边形的中心就以正六边形的边长为半径
旋转 60°.
∵正六边形的边长为 2 cm，
∴滚动 1 次运动的路径长为
60π × 2
180 ＝
2π
3 (cm)．
∵从图①运动到图②共重复进行了六次上述的滚动，∴正六边形的中心 O 运动的路程为 6
×
2π
3 ＝4π(cm)．
14．证明：∵OA＝OB，AD＝BE，
∴OA－AD＝OB－BE，即 OD＝OE.
在△ODC 和△OEC 中，8
∵OD＝OE，∠DOC＝∠EOC，OC＝OC，
∴△ODC≌△OEC(SAS)，
∴CD＝CE.
15．证明：如图，连接 OD.
∵OD＝OB，
∴∠OBD＝∠BDO.
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝∠ADB＝90°.
在 Rt△BDC 中，∵E 是 BC 的中点，
∴BE＝CE＝DE，
∴∠DBE＝∠BDE.
∵∠ABC＝∠OBD＋∠DBE＝90°，
∴∠ODE＝∠BDO＋∠BDE＝90°.
又∵点 D 在⊙O 上，
∴ED 与⊙O 相切．
16．解：(1)∵CD 是⊙O 的直径，CD⊥AB，
∴AD︵
＝BD︵
，∴∠C＝
1
2∠AOD.
∵∠AOD＝∠COE，∴∠C＝
1
2∠COE.
又∵AO⊥BC，∴∠C＋∠COE＝90°，
∴∠C＝30°.
(2)连接 OB，由(1)知，∠C＝30°，
∴∠AOD＝60°，∴∠AOB＝120°.
在 Rt△AOF 中，AO＝1，∠AOF＝60°，
∴∠A＝30°，
∴OF＝
1
2，∴AF＝
3
2 ，∴AB＝2AF＝ 3.
故 S 阴影＝S 扇形 OAB－S△OAB＝
1
3π－
3
4 .
17．解：(1)证明：∵⊙O 的半径为 2，∴OA＝2.
又∵P(4，2)，
∴PA∥x 轴，即 PA⊥OA，
则 PA 是⊙O 的切线．
(2)连接 OP，OB，过点 B 作 BQ⊥OC 于点 Q.
∵PA，PB 为⊙O 的切线，
∴PB＝PA＝4，可证得 Rt△PAO≌Rt△PBO，∴∠APO＝∠BPO.
∵AP∥OC，∴∠APO＝∠POC，
∴∠BPO＝∠POC，∴OC＝PC.9
设 OC＝PC＝x，则 BC＝PB－PC＝4－x，OB＝2.
在 Rt△OBC 中，根据勾股定理，得 OC2＝OB2＋BC2，即 x2＝22＋(4－x)2，
解得 x＝
5
2，
∴BC＝4－x＝
3
2.
∵S△OBC＝
1
2OB·BC＝
1
2OC·BQ，
∴BQ＝2×
3
2÷
5
2＝
6
5.
在 Rt△OBQ 中，根据勾股定理，得 OQ＝ OB2－BQ2＝
8
5，
∴点 B 的坐标为(
8
5，－
6
5)．
18．解：(1)证明：∵AD 是⊙O 的直径，
∴∠ABD＝∠ACD＝90°.
在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中，
∵AB＝AC，AD＝AD，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD，∴BD＝CD.
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴点 A，D 都在线段 BC 的垂直平分线上，
∴AD 垂直平分 BC，∴BE＝CE.
(2)四边形 BFCD 是菱形．
理由：由(1)知 AD 垂直平分 BC，∴BF＝CF.
∵CF∥BD，
∴∠DBE＝∠FCE，∠BDE＝∠CFE.
又∵BE＝CE，
∴△BDE≌△CFE，∴BD＝CF.
又∵BD＝CD，BF＝CF，
∴BD＝CD＝CF＝BF，
∴四边形 BFCD 是菱形．
(3)连接 OB.∵BC＝8，AD⊥BC，
∴BE＝CE＝4.
∵AD＝10，∴OB＝OD＝5.
在 Rt△OBE 中，由勾股定理，得 OE＝ OB2－BE2＝3，
∴DE＝OD－OE＝2，
∴CD＝ CE2＋DE2＝ 42＋22＝2 5.
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