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第 2 章 对称图形——圆
2.2 第 1 课时 圆的旋转不变性
知识点 1 圆的旋转不变性
1．一个圆绕圆心旋转任何角度后，都能与________重合．圆是中心对称图形，它的对称
中心是________．
知识点 2 弧、弦、圆心角的关系
2．如图 2－2－1，在⊙O 中，AB︵
＝AC︵
，∠AOB＝122°，则∠AOC 的度数为( )
A．122° B．120° C．61° D．58°
3．下列结论中，正确的是( )
A．同一条弦所对的两条弧一定是等弧
B．等弧所对的圆心角相等
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．长度相等的两条弧是等弧
图 2－2－1
图 2－2－2
4．如图 2－2－2，在⊙O 中，若 C 是AB︵
的中点，∠A＝50°，则∠BOC 等于( )
A．40° B．45° C．50° D．60°
5．如图 2－2－3，已知 BD 是⊙O 的直径，点 A，C 在⊙O 上，AB︵
＝BC︵
，∠AOB＝60°，则
∠COD 的度数是________．
图 2－2－32
图 2－2－4
6．教材练习第 1 题变式如图 2－2－4，AB 是⊙O 的直径，BC︵
＝CD︵
＝DE︵
，∠BOC＝40°，
则∠AOE＝________°.
7．在⊙O 中，若弦 AB 的长恰好等于半径，则弦 AB 所对的圆心角的度数为________．
8．教材习题 2.2 第 4 题变式如图 2－2－5，在⊙O 中，AB，CD 是两条直径，弦 CE∥AB，
EC︵
的度数是 40°，求∠BOD 的度数．
图 2－2－5
9. 已知：如图 2－2－6，点 A，B，C，D 在⊙O 上，AB＝CD.求证：∠AOC＝∠DOB.
图 2－2－63
10．如图 2－2－7，在⊙O 中，CD 为⊙O 的直径，AC︵
＝BC︵
，E 为 OD 上任意一点(不与点 O，
D 重合)．求证：AE＝BE.
图 2－2－7
11．在同圆中，若AB︵
和CD︵
都是劣弧，且AB︵
＝2CD︵
，则弦 AB 和弦 CD 的大小关系是( )
A．AB＝2CD
B．AB＞2CD
C．AB＜2CD
D．无法比较它们的大小
12．[2016 秋·无锡校级月考] 如图 2－2－8，已知 AB 是⊙O 的直径，M，N 分别是 AO，
BO 的中点，过点 M，N 分别作 CM⊥AB，DN⊥AB.
求证：AC︵
＝BD︵
.
图 2－2－8
13．如图 2－2－9，在△ABO 中，∠A＝∠B，⊙O 与 OA 交于点 C，与 OB 交于点 D，与 AB
交于点 E，F.4
(1)求证：CE︵
＝DF︵
；
(2)写出图中所有相等的线段(不要求证明)．
图 2－2－9
14．如图 2－2－10，PA︵
＝PB︵
，C，D 分别是半径 OA，OB 的中点，连接 PC，PD 交弦 AB 于
E，F 两点．
求证：(1)PC＝PD；
(2)PE＝PF.
图 2－2－10
15．如图 2－2－11 所示，在⊙O 中，AB，CD 是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为
E，F.
(1)如果∠AOB＝∠COD，那么 OE 与 OF 的大小有什么关系？为什么？
(2)如果 OE＝OF，那么 AB 与 CD 的大小有什么关系？AB︵
与CD︵
的大小有什么关系？为什么？
∠AOB 与∠COD 呢？
图 2－2－1156
1．自身 圆心
2．A
3．B [解析] A．同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，有可能是一条优弧和一条劣弧，
故本选项错误；B.正确；C.在两个同心圆中，同一个圆心角所对的弧不相等，故本选项错误；
D.长度相等的两条弧，弯曲程度不同，就不能重合，就不是等弧，故本选项错误．故选 B.
4．A [解析] ∵∠A＝50°，OA＝OB，∴∠B＝∠A＝50°，∴∠AOB＝180°－50°－50°＝
80°.∵C 是AB︵
的中点，∴∠BOC＝
1
2∠AOB＝40°.故选 A.
5．120° [解析] ∵AB︵
＝BC︵
，∠AOB＝60°，∴∠BOC＝∠AOB＝60°.∵BD 是⊙O 的直径，
∴∠BOD＝180°，∴∠COD＝180°－∠BOC＝120°.
6．60 [解析] 由BC︵
＝CD︵
＝DE︵
，可得∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝40°，所以∠AOE＝180°－
3×40°＝60°.
7．60°
8．解：如图，连接 OE.∵EC︵
的度数是 40°，
∴∠EOC＝40°.
∵OE＝OC，∴∠C＝70°.
∵CE∥AB，
∴∠BOC＝∠C＝70°，
∴∠BOD＝110°.
9．证明：∵AB＝CD，
∴AB︵
＝CD︵
，
∴∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB－∠BOC＝∠COD－∠BOC，
即∠AOC＝∠DOB.
10．证明：∵AC︵
＝BC︵
，
∴∠AOC＝∠BOC，∴∠AOE＝∠BOE.
∵OA，OB 是⊙O 的半径，∴OA＝OB.
在△AOE 和△BOE 中，∵OA＝OB，∠AOE＝∠BOE，OE＝OE，
∴△AOE≌△BOE，∴AE＝BE.
11．C [解析] 如图，取AB︵
的中点 E，连接 AE，BE，∴AB︵
＝2AE︵
＝2BE︵
，
∴AE＝BE.7
∵AB︵
＝2CD︵
，
∴AE︵
＝BE︵
＝CD︵
，
∴AE＝BE＝CD，
∴AE＋BE＝2CD.
∵AE＋BE＞AB，
∴2CD＞AB.
故选 C.
12．证明：连接 OC，OD，如图．
∵AB 是⊙O 的直径，M，N 分别是 AO，BO 的中点，
∴OM＝ON.
∵CM⊥AB，DN⊥AB，
∴∠OMC＝∠OND＝90°.
在 Rt△OMC 和 Rt△OND 中，{OM＝ON，
OC＝OD，
∴Rt△OMC≌Rt△OND，
∴∠COM＝∠DON，
∴AC︵
＝BD︵
.
13．解：(1)证明：连接 OE，OF，则 OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE.
∵∠A＝∠B，∴∠AOE＝∠BOF，∴CE︵
＝DF︵
.
(2)OA＝OB，OC＝OD，AC＝BD，AE＝BF，AF＝BE.
14．证明：(1)连接 PO.
∵PA︵
＝PB︵
，∴∠POC＝∠POD.
∵C，D 分别是半径 OA，OB 的中点，
∴OC＝OD.
又∵PO＝PO，
∴△PCO≌△PDO，
∴PC＝PD.
(2)∵△PCO≌△PDO，
∴∠PCO＝∠PDO.8
∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，
∴∠AEC＝∠BFD，
∴∠PEF＝∠PFE，
∴PE＝PF.
15．解：(1)OE＝OF.理由如下：
∵OA＝OC，∠AOB＝∠COD，OB＝OD，
∴△AOB≌△COD(SAS)．
∵OE⊥AB，OF⊥CD，AB＝CD，
∴OE＝OF(全等三角形对应边上的高相等)．
(2)AB＝CD，AB︵
＝CD︵
，∠AOB＝∠COD.
理由如下：∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°.
在 Rt△AOE 和 Rt△COF 中，
∵OE＝OF，OA＝OC，
∴Rt△AOE≌Rt△COF(HL)，
∴AE＝CF.
同理 BE＝DF，
∴AB＝CD，
∴AB︵
＝CD︵
，∠AOB＝∠COD.
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