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第 2 章 对称图形——圆
2.7 弧长及扇形的面积
知识点 1 扇形的弧长
1．若扇形的半径为 6，圆心角为 120°，则此扇形的弧长是( )
A．3π B．4π C．5π D．6π
2．[教材练习第 1 题变式] 若 120°的圆心角所对的弧长是 6π，则此弧所在圆的半径是
( )
A．3 B．4 C．9 D．18
3 ． [2017· 哈 尔 滨 ] 已 知 扇 形 的 弧 长 为 4π， 半 径 为 8 ， 则 此 扇 形 的 圆 心 角 为
________．
4．如图 2－7－1，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，以点 C 为圆心，CA 长为半径
的圆交 AB 于点 D.若 AC＝6，求AD︵
的长．
图 2－7－1
知识点 2 扇形的面积
5．半径为 6，圆心角为 120°的扇形的面积是( )
A．3π B．6π C．9π D．12π
6．[2017·仙桃] 一个扇形的弧长是 10π cm，面积是 60π cm2，则此扇形的圆心角的度
数是( )
A．300° B．150° C．120° D．75°
7．[2017·泰州] 若扇形的半径为 3 cm，弧长为 2π cm，则该扇形的面积为________
cm2.
8．[2017·怀化] 如图 2－7－2，⊙O 的半径为 2，点 A，B 在⊙O 上，∠AOB＝90°，则
阴影部分的面积为________．
图 2－7－22
图 2－7－3
9．[2017·荆门] 已知：如图 2－7－3，△ABC 内接于⊙O，且半径 OC⊥AB，点 D 在半径
OB 的延长线上，且∠A＝∠BCD＝30°，AC＝2，则由BC︵
、线段 CD 和线段 BD 所围成的阴影部
分的面积为________．
10. [2016 春·泰州校级月考] 已知扇形的圆心角为 120°，面积为
25
3π cm2.求扇形的弧
长．
11．教材例 2 变式如图 2－7－4，一扇形纸扇完全打开后，AB 和 AC 的夹角为 120°，AB
长为 25 cm，贴纸部分的宽 BD 为 15 cm，求纸扇上贴纸部分的面积．
图 2－7－4
图 2－7－5
12．如图 2－7－5，用一个半径为 5 cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点 P 旋转了 1083
°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了( )
A．π cm B．2π cm
C．3π cm D．5π cm
13．如图 2－7－6，AB 为半圆的直径，且 AB＝4，半圆绕点 B 顺时针旋转 45°，点 A 旋
转到点 A′的位置，则图中阴影部分的面积为( )
A．π B．2π C.
π
2 D．4π
图 2－7－6
图 2－7－7
14．[2016·高淳区一模] 如图 2－7－7，在 Rt△OAB 中，∠AOB＝45°，AB＝2，将 Rt△
OAB 绕点 O 顺时针旋转 90°得到 Rt△OCD，则 AB 扫过的面积(图中阴影部分面积)为________．
15．如图 2－7－8，△ABC 是等边三角形，曲线 CDEF 叫做等边三角形的渐开线，其中CD︵
，
DE︵
， EF︵
的圆心依次是 A，B，C.如果 AB＝1，求曲线 CDEF 的长．
图 2－7－8
16. [2016·江宁区二模] 如图 2－7－9，正方形 ABCD 的边长为 2 cm，以边 BC 为直径作4
半圆 O，点 E 在 AB 上，且 AE＝1.5 cm，连接 DE.
(1)DE 与半圆 O 相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由．
(2)求阴影部分的面积．
图 2－7－9
17．如图 2－7－10，菱形 OABC 的顶点 A 的坐标为(2，0)，∠COA＝60°.将菱形 OABC 绕
坐标原点 O 逆时针旋转 120°得到菱形 ODEF.
(1)直接写出点 F 的坐标；
(2)求线段 OB 的长及图中阴影部分的面积．
图 2－7－105
详解详析
1．B [解析] ∵扇形的半径为 6，圆心角为 120°，
∴此扇形的弧长＝
120π × 6
180 ＝4π.
2．C
3．90° [解析] 设扇形的圆心角为 n°，则根据题意可得，4π＝
8nπ
180 ，n＝90.故答案
为 90°.
4．解：连接 CD.
∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠CDA.
∵∠ACB＝90°，∠B＝15°，∴∠CAD＝75°，
∴∠ACD＝30°.
∵AC＝6，∴AD︵
的长度为
30 × π × 6
180 ＝π.
5．D 6.B
7．3π
8．π－2
9．2 3－
2π
3
10．解：设扇形的半径为 R cm.
∵扇形的圆心角为 120°，面积为
25
3π cm2，
∴
120π × R2
360 ＝
25
3π，又 R>0，
∴R＝
5
π，
∴扇形的弧长＝
120
180πR＝
2
3π×
5
π＝
10
3 (cm)．
11．解：∵AB＝25 cm，BD＝15 cm，
∴AD＝25－15＝10(cm)．
∵S 扇形 ABC＝
120π × 252
360 ＝
625π
3 (cm2)，
S 扇形 ADE＝
120π × 102
360 ＝
100π
3 (cm2)，
∴贴纸部分的面积＝
625π
3 －
100π
3 ＝175π(cm2)．
12．C
13．B [解析] S 阴影＝S 扇形 BAA′＋S 半圆－S 半圆＝S 扇形 BAA′＝
45 × π × 42
360 ＝2π.故选 B.
14．π
[解析] ∵在 Rt△OAB 中，∠AOB＝45°，AB＝2，
∴AO＝2，BO＝2 2.
∵将 Rt△OAB 绕点 O 顺时针旋转 90°得到 Rt△OCD，
∴△OCD≌△OAB，6
∴CO＝AO＝2，DO＝BO＝2 2，
∴ 阴 影 部 分 的 面 积 ＝ S 扇 形 OBD ＋ S △ OAB － S 扇 形 OAC － S △ OCD ＝ S 扇 形 OBD － S 扇 形 OAC ＝
90·π × （2 2）2
360 －
90·π × 22
360 ＝π.
15．解：CD︵
的长是
120π × 1
180 ＝
2π
3 ，
DE︵
的长是
120π × 2
180 ＝
4π
3 ，
EF︵
的长是
120π × 3
180 ＝2π，
则曲线 CDEF 的长是
2π
3 ＋
4π
3 ＋2π＝4π.
16．解：(1)DE 与半圆 O 相切．
证明：过点 O 作 OF⊥DE，垂足为 F.
在 Rt△ADE 中，AD＝2 cm，AE＝1.5 cm，
∴DE＝2.5 cm.连接 OE，OD.
由题意，知 OB＝OC＝1 cm，BE＝AB－AE＝0.5 cm.
∵S 四边形 BCDE＝S△DOE＋S△BOE＋S△CDO，
∴
1
2×(0.5＋2)×2＝
1
2×2.5·OF＋
1
2×1×0.5＋
1
2×1×2，
∴OF＝1 cm，
即 OF 的长等于半圆 O 的半径．
又∵OF⊥DE，
∴DE 与半圆 O 相切．
(2)阴影部分的面积＝正方形 ABCD 的面积－△ADE 的面积－半圆的面积＝2×2－
1
2×
3
2
×2－
1
2×π×12＝
5－π
2 (cm2)．
即阴影部分的面积为
5－π
2 cm2.
17．解：(1)因为点A 的坐标为(2，0)，所以 OA＝2.因为四边形 OABC 是菱形，所以 OC＝
OA＝2，所以 OF＝2，所以点 F 的坐标为(－2，0)．
(2)过点 B 作 BG⊥x 轴，垂足为 G，
在 Rt△BAG 中，∠BAG＝∠COA＝60°，
所以∠ABG＝30°，
所以 AG＝
1
2AB＝
1
2OA＝1，
所以 BG＝ 3.
在 Rt△OBG 中，OG＝3，BG＝ 3，
所以 OB＝ 32＋3＝2 3，
S 阴影＝S 扇形 OBE－2S△OBC＝S 扇形 OBE－2S△OBA＝
1
3×π×(2 3)2－2×
1
2×2× 3＝4π－2
3.
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