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第 1 章 一元二次方程
本章中考演练
1．[2017·南京] 若方程(x－5)2＝19 的两个根为 a 和 b，且 a>b，则下列结论中正确的
是( )
A．a 是 19 的算术平方根
B．b 是 19 的平方根
C．a－5 是 19 的算术平方根
D．b＋5 是 19 的平方根
2．[2017·扬州] 一元二次方程 x2－7x－2＝0 的实数根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能确定
3．[2017·苏州] 若关于 x 的一元二次方程 x2－2x＋k＝0 有两个相等的实数根，则 k 的
值为( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
4．[2017·无锡] 某商店今年 1 月份的销售额是 2 万元，3 月份的销售额是 4.5 万元，
从 1 月份到 3 月份，该店销售额平均每月的增长率是( )
A．20% B．25% C．50% D．62.5%
图 1－Y－1
5．2016·徐州图 1－Y－1 是由三个边长分别为 6，9 和 x 的正方形所组成的图形．若直
线 AB 将它分成面积相等的两部分，则 x 的值是( )
A．1 或 9 B．3 或 5 C．4 或 6 D．3 或 6
6．[2017·常州] 已知 x＝1 是关于 x 的方程 ax 2 －2x＋3＝0 的一个根，则 a＝
________．
7．2016·泰州若方程 2x－4＝0 的解是关于 x 的方程 x2＋mx＋2＝0 的一个根，则 m 的值
为________．
8．2016·盐城方程 x－
2
x＝1 的正根为________．
9．[2017·淮安]若关于 x 的一元二次方程 x2－x＋k＋1＝0 有两个不相等的实数根，则
k 的取值范围是________．
10 ． [2017· 泰 州 ] 方 程 2x2 ＋ 3x － 1 ＝ 0 的 两 个 根 为 x1 ， x2 ， 则
1
x1＋
1
x2的 值 等 于
________．
11．[2017·南京] 已知关于 x 的方程 x2＋px＋q＝0 的两个根分别是－3 和－1，则 p＝
________，q＝________．
12．2016·南京设 x1，x2 是方程 x2－4x＋m＝0 的两个根，且 x1＋x2－x1x2＝1，则 x1＋x2
＝________，m＝________．2
图 1－Y－2
13．2016·无锡如图 1－Y－2，矩形 ABCD 的面积是 15，边 AB 的长比 AD 的长大 2，则 AD
的长是________．
14．[2017·镇江] 已知实数 m 满足 m2－3m＋1＝0，则代数式 m2＋
19
m2＋2的值等于________．
15．2016·南通平面直角坐标系 xOy 中，已知点(a，b)在直线 y＝2mx＋m2＋2(m＞0)上，
且满足 a2＋b2－2(1＋2bm)＋4m2＋b＝0，则 m＝________．
16．解方程：
(1)2016·淄博 x2＋4x－1＝0；
(2)[2017·丽水] (x－3)(x－1)＝3；
(3)2016·山西 2(x－3)2＝x2－9.
17．2016·泰州随着互联网的迅速发展，某购物网站的年销售额从 2013 年的 200 万元增
长到 2015 年的 392 万元．求该购物网站平均每年销售额增长的百分率．3
18．2015·淮安水果店张阿姨以每千克 2 元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千
克 4 元的价格出售，每天可售出 100 千克．通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低 0.1
元，每天可多售出 20 千克．为保证每天至少售出 260 千克，张阿姨决定降价销售．
(1)若将这种水果每千克的售价降低 x 元，则每天的销售量是________千克(用含 x 的代
数式表示)；
(2)销售这种水果要想每天盈利 300 元，张阿姨应将每千克的售价降至多少元？
19．[2017·十堰] 已知关于 x 的方程 x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0 有两个实数根 x1，x2.
(1)求实数 k 的取值范围；
(2)若 x1，x2 满足 x12＋x22＝16＋x1x2，求实数 k 的值．
20．[2017·盐城] 某商店在 2014 年至 2016 年期间销售一种礼盒.2014 年，该商店用
3500 元购进了这种礼盒并且全部售完；2016 年，这种礼盒的进价比 2014 年下降了 11 元/盒，
该商店用 2400 元购进了与 2014 年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为 60 元/盒．4
(1)2014 年这种礼盒的进价是多少元/盒？
(2)若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，则年增长率是多少？5
1．C [解析] ∵方程(x－5)2＝19 的两个根为 a 和 b，∴x－5 是 19 的平方根，即 a－5
与 b－5 均为 19 的平方根．又∵a>b，∴a－5 是 19 的算术平方根．故选 C.
2．A
3．A [解析] ∵方程有两个相等的实数根，∴b2－4ac＝(－2)2－4k＝0，化简得 4－4k＝
0，解得 k＝1.故选 A.
4．C [解析] 设平均每月的增长率是x，则 2(1＋x)2＝4.5，解得 x1＝0.5，x2＝－2.5(舍
去)，所以平均每月的增长率是 50%.
5．D [解析] 将图形按如图方式补全为矩形，根据题意，得 x(9－x)＝6×3，x2－9x＋
18＝0，
解得 x1＝3，x2＝6，故选 D.
6．－1 [解析] 将 x＝1 代入方程 ax2－2x＋3＝0，得 a－2＋3＝0，解得 a＝－1.
7．－3 [解析] ∵2x－4＝0，∴x＝2，
∴4＋2m＋2＝0，∴m＝－3.故答案为－3.
8．2 [解析] 去分母，得 x2－2＝x，整理，得 x2－x－2＝0，解得 x1＝－1，x2＝2，
经检验，x1＝－1，x2＝2 是原方程的根．
∵x＞0，∴x＝2.故答案为 2.
9．k＜－
3
4 [解析] ∵方程 x2－x＋k＋1＝0 有两个不相等的实数根，∴b2－4ac＞0，
即(－1)2－4×1×(k＋1)＞0，解得 k＜－
3
4.
10．3 [解析] x1＋x2＝－
b
a＝－
3
2，x1x2＝
c
a＝－
1
2，∴
1
x1＋
1
x2＝
x2＋x1
x1x2 ＝3.
11．4 3 [解析] ∵方程x2＋px＋q＝0 的两个根分别是－3 和－1，∴p＝－(－3－1)＝
4，q＝(－3)×(－1)＝3.故答案为 4，3.
12．4 3 [解析] 由根与系数的关系，得x1＋x2＝4，x1x2＝m，则 x1＋x2－x1x2＝4－m＝
1，∴m＝3.故答案为 4，3.
13．3 [解析] 设 AD＝x，则 AB＝2＋x，则 x(x＋2)＝15，解得 x1＝3，x2＝－5(舍
去)．故答案为 3.
14．9 [解析] 由m2－3m＋1＝0 可得 m2＝3m－1，则 m2＋
19
m2＋2＝(3m－1)＋
19
（3m－1）＋2
＝(3m－1)＋
19
3m＋1＝
（9m2－1）＋19
3m＋1 ＝
9（3m－1）＋18
3m＋1 ＝
9（3m＋1）
3m＋1 ＝9.故答案为 9.
15. 3－1 [解析] ∵点(a，b)在直线 y＝2mx＋m2＋2(m＞0)上，∴b＝2am＋m2＋2，即
b－2＝2am＋m2.∵a2＋b2－2(1＋2bm)＋4m2＋b＝0，∴a2＋b2－2－4bm＋4m2＋b＝0，∴a2＋b2－
4bm＋4m2＋2am＋m2＝0，∴(a＋m)2＋(b－2m)2＝0，∴a＝－m，b＝2m，∴2m－2＝－2m2＋m2，
解得 m＝－1± 3.∵m＞0，∴m＝ 3－1.
16．解：(1)方法一：x2＋4x－1＝0.
∵b2－4ac＝42＋4＝20>0，
∴x＝
－4 ± 20
2 ＝－2± 5.6
∴x1＝－2＋ 5，x2＝－2－ 5.
方法二：x2＋4x－1＝0，x2＋4x＝1，
∴x2＋4x＋4＝1＋4，
∴(x＋2)2＝5，∴x＝－2± 5，
∴x1＝－2＋ 5，x2＝－2－ 5.
(2)(x－3)(x－1)＝3.
去括号，得 x2－4x＋3＝3.
移项、合并同类项，得 x2－4x＝0.
因式分解，得 x(x－4)＝0.
解得 x1＝0，x2＝4.
(3)原方程可化为 2(x－3)2＝(x＋3)(x－3)，
2(x－3)2－(x＋3)(x－3)＝0，
(x－3)[2(x－3)－(x＋3)]＝0，
(x－3)(x－9)＝0，
∴x－3＝0 或 x－9＝0，
∴x1＝3，x2＝9.
17．解：设该购物网站平均每年销售额增长的百分率为 x.
由题意，得 200(1＋x)2＝392，
∴(1＋x)2＝1.96，即 1＋x＝±1.4，
∴x1＝0.4，x2＝－2.4(不合题意，舍去)．
答：该购物网站平均每年销售额增长的百分率为 40%.
18．解：(1)每天的销售量是(100＋200x)千克．
(2)根据题意，得(2－x)(100＋200x)＝300，
即 2x2－3x＋1＝0，
解得 x1＝1，x2＝
1
2.
当 x＝1 时，每天的销量为 300 千克；
当 x＝
1
2时，每天的销量为 200 千克．
因为要保证每天至少售出 260 千克，
所以 x2＝
1
2不合题意，应舍去．
当 x＝1 时，每千克的售价为 4－1＝3(元)．
答：销售这种水果要想每天盈利 300 元，张阿姨应将每千克的售价降至 3 元．
19．解：(1)∵关于 x 的方程 x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0 有两个实数根 x1，x2，
∴(2k－1)2－4(k2－1)＝－4k＋5≥0，
∴k≤
5
4.
(2)由题意可知 x1＋x2＝－(2k－1)，x1·x2＝k2－1，
∵x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝16＋x1x2，
∴(x1＋x2)2＝16＋3x1x2，
∴[－(2k－1)]2＝16＋3(k2－1)，
即 k2－4k－12＝0，
∴(k－6)(k＋2)＝0，7
∴k1＝6，k2＝－2.
∵k≤
5
4，∴k＝－2.
20．解：(1)设 2014 年这种礼盒的进价是 x 元/盒．
由题意，得
3500
x ＝
2400
x－11，
解得 x＝35.
经检验，x＝35 是原方程的解且符合题意．
答：2014 年这种礼盒的进价是 35 元/盒．
(2)设年增长率为 y.由(1)得 2014 年售出礼盒的数量为 3500÷35＝100(盒)，2016 年礼
盒的进价是 35－11＝24(元/盒)．
∴(60－35)×100(1＋y)2＝(60－24)×100，
解得 y1＝0.2，y2＝－2.2(不符合题意，舍去)．
答：年增长率是 20%.
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