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第 1 章 一元二次方程
1 .2 第 2 课时 用配方法解一元二次方程(二次项系数为 1)
知识点 1 用配方法把方程转化为(x＋m)2＝n 的形式
1．用配方法解方程 x2－6x＝16 时，应在方程两边同时加上( )
A．3 B．9 C．6 D．36
2．[2017·舟山] 用配方法解方程 x2＋2x－1＝0 时，配方结果正确的是( )
A．(x＋2)2＝2 B．(x＋1)2＝2
C．(x＋2)2＝3 D．(x＋1)2＝3
3．将一元二次方程 x2－6x－3＝0 化成(x＋a)2＝b 的形式，则 b 等于( )
A．－4 B．4 C．－12 D．12
4．若将方程 x2＋6x＝7 化为(x＋m)2＝16，则 m＝________．
5．若把一元二次方程 x2－ax＋47＝0 配方后，变为(x－7)2＝2，则 a＝________．
知识点 2 用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程
6．一元二次方程 a2－4a－7＝0 的解为________．
7．教材例 3 变式若 a，b 为方程 x2－4(x＋1)＝1 的两根，且 a＞b，则
a
b＝________．
8．解方程：x2＋6x＝－3.
解：在方程 x2＋6x＝－3 的两边都加上 9，
得 x2＋6x＋9＝6，
即(________)2＝6.
直接开平方，得________，
所以 x＝________，
即 x1＝________，x2＝________．
9．用配方法解下列方程：
(1)y2－2y＝3； (2)x2－6x－6＝0；
(3)x2＋9＝6x; (4)x2－
2
3x－
8
9＝0.2
10．当 x 取什么值时，代数式 x2－1 的值与 2x＋1 的值相等？
11．如果方程 x2－6x＋q＝0 可以配方成(x－p)2＝7 的形式，那么 x2－6x＋q＝2 可以配
方成( )
A．(x－p)2＝5 B．(x－p)2＝9
C．(x－p＋2)2＝9 D．(x－p＋2)2＝5
12．用配方法解关于 x 的方程 x2＋mx＋n＝0，此方程可变形为( )
A．(x＋
m
2)2＝
4n－m2
4
B．(x＋
m
2)2＝
m2－4n
4
C．(x＋
m
2)2＝
m2－4n
2
D．(x＋
m
2)2＝
4n－m2
2
13．若关于 x 的一元二次方程 x2＋(k－1)x＋16＝0 的左边恰好是一个完全平方式，则 k
＝________．
14．若 x＝0 是一元二次方程(m－2)x2＋3x＋m2＋2m－8＝0 的解，则 m＝________．
15．王洪同学在解方程 x2－2x－1＝0 时是这样做的：
解：方程 x2－2x－1＝0 变形为 x2－2x＝1，
第一步
∴x(x－2)＝1，第二步
∴x＝1 或 x－2＝1，第三步
∴x1＝1，x2＝3.第四步
(1)王洪的解法从第________步开始出现错误；
(2)请你选择适当的方法，正确解此方程．
16．已知实数 a，b 满足(a2＋b2)2－8(a2＋b2)－9＝0，求 a2＋b2 的值．3
17．已知当 x＝2 时，二次三项式 x2－2mx＋8 的值等于 4，那么当 x 为何值时，这个二
次三项式的值是 9?
18．对于多项式 x2－3x＋
19
4 ，无论 x 取何值，计算出的多项式的值总为正数，你能说明
其中的道理吗？你知道当 x 取何值时，多项式的值最小吗？最小值是多少？4
详解详析
1．B 2.B
3．D [解析] ∵x2－6x－3＝0，∴x2－6x＝3，∴x2－6x＋9＝3＋9，
即(x－3)2＝12，∴b＝12.
4．3 [解析] 在方程 x2＋6x＝7 的两边同时加上一次项系数一半的平方，得
x2＋6x＋32＝7＋32，整理，得(x＋3)2＝16，所以 m＝3.
5．14
6．a1＝2＋ 11，a2＝2－ 11
7．－5
8．x＋3 x＋3＝± 6 －3± 6 －3＋ 6
－3－ 6
9．解：(1)配方，得 y2－2y＋1＝3＋1，
即(y－1)2＝4.
两边开平方，得 y－1＝±2，
所以 y1＝3，y2＝－1.
(2)移项、配方，得(x－3)2＝15.
两边开平方，得 x－3＝± 15，
所以 x1＝3＋ 15，x2＝3－ 15.
(3)移项，得 x2－6x＋9＝0，
即(x－3)2＝0，解得 x1＝x2＝3.
(4)移项，得 x2－
2
3x＝
8
9.
配方，得 x2－
2
3x＋(1
3 ) 2
＝
8
9＋(1
3 ) 2
，
即(x－
1
3 ) 2
＝1.
两边开平方，得 x－
1
3＝±1，
所以 x1＝
4
3，x2＝－
2
3.
10．解：根据题意，得 x2－1＝2x＋1，
即 x2－2x＝2.
配方，得 x2－2x＋1＝2＋1，
即(x－1)2＝3.
开方，得 x－1＝± 3，解得 x＝1± 3，
∴当 x＝1± 3时，代数式 x2－1 的值与 2x＋1 的值相等．
11．B [解析] ∵x2－6x＋q＝0，
∴x2－6x＝－q，
∴x2－6x＋9＝－q＋9，∴(x－3)2＝9－q.
根据题意，得 p＝3，9－q＝7，
∴p＝3，q＝2，
则 x2－6x＋q＝2 即方程 x2－6x＋2＝2，
∴x2－6x＝0，∴x2－6x＋9＝9，
∴(x－3)2＝9，5
即(x－p)2＝9.
12．B
13．9 或－7
14．－4
15．解：(1)王洪的解法从第三步开始出现错误．
(2)x2－2x＝1，
x2－2x＋1＝1＋1，
(x－1)2＝2，
x－1＝± 2，
∴x1＝1＋ 2，x2＝1－ 2.
16．解：令 x＝a2＋b2.
则原方程可化为 x2－8x－9＝0.
配方，得(x－4)2＝25，
解得 x1＝－1，x2＝9.
又∵a2＋b2≥0，∴a2＋b2＝9.
17．解：把 x＝2 代入 x2－2mx＋8＝4，得
4－4m＋8＝4，∴m＝2.
把 m＝2 代入 x2－2mx＋8＝9，得
x2－4x＋8＝9，即 x2－4x＝1，
配方，得(x－2)2＝5，
∴x1＝2＋ 5，x2＝2－ 5.
即当 x 等于 2＋ 5或 2－ 5时，这个二次三项式的值是 9.
18． [解析] 多项式 x2－3x＋
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4 可配方变形为(x－
3
2 ) 2
＋
5
2，而(x－
3
2 ) 2
≥0，所以
(x－
3
2 ) 2
＋
5
2≥
5
2，
故当 x＝
3
2时，原多项式有最小值，为
5
2.
解：x2－3x＋
19
4 ＝(x－
3
2 ) 2
＋
5
2.
∵(x－
3
2 ) 2
≥0，
∴(x－
3
2 ) 2
＋
5
2≥
5
2，
故对于多项式 x2－3x＋
19
4 ，无论 x 取何值，计算出的多项式的值总为正数，当 x＝
3
2时，
多项式的值最小，最小值为
5
2.
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