1
第 1 章 一元二次方程
1.4 第 3 课时 动态几何问题
知识点 1 三角形中的动点问题
1．教材“问题 6”变式如图 1－4－7，在△ABC 中，AC＝50 m，BC＝40 m，∠C＝90°，
点 P 从点 A 开始沿 AC 边向点 C 以 2 m/s 的速度匀速移动，同时，另一点 Q 由点 C 开始以 3 m/s
的速度沿着射线 CB 匀速移动，当△PCQ 的面积等于 300 m2 时，运动时间为( )
A．5 秒 B．20 秒
C．5 秒或 20 秒 D．不确定
图 1－4－7
图 1－4－8
2．如图 1－4－ 8，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16 cm，AD 为 BC 边上的高，
动点 P 从点 A 出发，沿 A→D 的方向以 2 cm/s 的速度向点 D 运动，四边形 PDFE 为矩形，其
中点 E 在 AC 上，点 F 在 BC 上．设△ABP 的面积为 S1，矩形 PDFE 的面积为 S2，运动的时间为
t s，则 t＝________时，S1＝2S2.
3．如图 1－4－9，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8 cm，AB＝10 cm，点 P，Q 同时由 A，
C 两点出发，分别沿 AC，CB 方向向点 C，B 移动，它们的速度都是 1 cm/s，经过几秒，P，Q
两点相距 2 10 cm？并求此时△PCQ 的面积．
图 1－4－9
知识点 2 矩形中的动点问题
4．如图 1－4－10，在矩形 ABCD 中，AB＝16 cm，AD＝6 cm，2
图 1－4－10
动点 P，Q 分别从点 A，C 同时出发，点 P 以 2 cm/s 的速度向点 B 移动，到达点 B 后停止
运动，点 Q 以 1 cm/s 的速度向点 D 移动，到达点 D 后停止运动，P，Q 两点出发后，经过
________s，线段 PQ 的长是 10 cm.
5．如图 1－4－11，在矩形 ABCD 中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点 E 从点 A 出发，沿 AB 方向
以 1 cm/s 的速度向点 B 移动，同时，点 F 从点 B 出发，沿 BC 方向以 2 cm/s 的速度向点 C
移动，当点 F 到达点 C 时，两点同时停止运动．经过几秒后△EBF 的面积为 5 cm2?
图 1－4－11
6. [2016·兴化校级期末] 如图 1－4－12，在矩形 ABCD 中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点
P 从点 A 出发沿 AB 边以 1 cm/s 的速度向点 B 移动；同时，点 Q 从点 B 出发沿 BC 边以 2 cm/s
的速度向点 C 移动，几秒钟后△DPQ 的面积等于 28 cm2?
图 1－4－12
7．如图 1－4－13，甲、乙两物体分别从正方形广场 ABCD 的顶点 B，C 同时出发，甲由
点 C 向点 D 运动，乙由点 B 向点 C 运动，图中点 F，E 分别对应甲、乙某时刻的位置，甲的速
度为 1 km/min，乙的速度为 2 km/min，当乙到达点 C 时，甲随之停止运动．若正方形广场的
周长为 40 km.
(1)几分钟后两物体相距 2 10 km?
(2)△CEF 的面积能否等于 7 km2？请说明理由．3
图 1－4－13
8．如图 1－4－14 所示，甲、乙两点分别从直径的两端点 A，B 沿顺时针、逆时针的方向
同时沿圆周运动，甲运动的路程 l(cm)与时间 t(s)满足关系：l＝
1
2t2＋
3
2t(t≥0)，乙以 4 cm/s
的速度匀速运动，半圆的长度为 21 cm.
(1)甲运动 4 s 后的路程是________ cm；
(2)求甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间．
图 1－4－14
9．如图 1－4－15 所示，在平面直角坐标系中，四边形 OACB 为矩形，OA＝3 cm，点 C 的
坐标为(3，6)，点 P，Q 分别从点 O，A 同时出发，若点 P 从点 O 沿 OA 向点 A 以 1 cm/s 的速
度运动，点 Q 从点 A 沿 AC 以 2 cm/s 的速度运动，当点 P 运动到点 A 时停止运动，点 Q 也随
之停止运动．
(1)经过多长时间，△PAQ 的面积为 2 cm2?
(2)△PAQ 的面积能否达到 3 cm2?
(3)经过多长时间，P，Q 两点之间的距离为 17 cm?
图 1－4－154
10．如图 1－4－16，在边长为 12cm 的等边三角形 ABC 中，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点
B 以每秒 1 cm 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以每秒 2 cm 的速度移动．若点 P，
Q 分别从点 A，B 同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动．
(1)经过 6 秒后，BP＝________ cm，BQ＝________ cm；
(2)经过几秒后，△BPQ 是直角三角形？
(3)经过几秒后，△BPQ 的面积为 10 3 cm2?
图 1－4－165
详解详析
1．C [解析] 设运动时间为 t s．由题意知 AP＝2t，CQ＝3t，∴PC＝50－2t.∵
1
2PC·CQ
＝300，∴
1
2(50－2t)·3t＝300，解得 t＝20 或 5，∴当运动时间为 20 s 或 5 s 时，△PCQ 的
面积为 300 m2.故选 C.
2．6 [解析] ∵Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16 cm，AD 为 BC 边上的高，∴AD＝
BD＝CD＝8 2 cm.又∵AP＝ 2t cm，∴S1＝
1
2AP·BD＝
1
2× 2t×8 2＝8t(cm2)，PD＝(8 2
－ 2t )cm.易知∠PAE＝∠PEA＝45°，∴PE＝AP＝ 2t cm，∴S2＝PD·PE＝[(8 2－ 2
t)· 2t]cm2.∵S1＝2S2，∴8t＝2(8 2－ 2t)· 2t，解得 t＝6 或 0(舍去)．故答案是
6.
3．解：设经过 x s，P，Q 两点相距 2 10 cm.
由题意，得(8－x)2＋x2＝(2 10)2，
解得 x1＝2，x2＝6.
当 x＝2 时，S△PCQ＝
1
2×(8－2)×2＝6(cm2)；
当 x＝6 时，S△PCQ＝
1
2×(8－6)×6＝6(cm2)．
答：经过 2 s 或 4 s，P，Q 两点相距 2 10 cm，此时△PCQ 的面积为 6 cm2.
4．8 或
8
3 [解析] 连接 PQ，过点 Q 作 QM⊥AB 于点 M，设经过 x s，线段 PQ 的长是 10
cm.
∵点 P 以 2 cm/s 的速度向点 B 移动，点 Q 以 1 cm/s 的速度向点 D 移动，
∴PM＝|16－3x|cm，QM＝6 cm.
根据勾股定理，得|16－3x|2＋62＝102，
解得 x1＝8，x2＝
8
3.
5．解：设经过 t s 后△EBF 的面积为 5 cm2，
则
1
2×2t×(6－t)＝5，
整理，得 t2－6t＋5＝0，解得 t1＝1，t2＝5.
∵0＜t≤4，∴t＝5 舍去．
答：经过 1 s 后△EBF 的面积为 5 cm2.
6．解：设 x s 后△DPQ 的面积等于 28 cm2，则△DAP，△PBQ，△QCD 的面积分别为
1
2
×12x，
1
2×2x(6－x)，
1
2×6×(12－2x)．
根据题意，得 6×12－
1
2×12x－
1
2×2x(6－x)－
1
2×6×(12－2x)＝28，
即 x2－6x＋8＝0，
解得 x1＝2，x2＝4.
答：2 s 或 4 s 后△DPQ 的面积等于 28 cm2.
7．解：(1)设 x min 后两车相距 2 10 km.6
∵正方形广场的周长为 40 km，
∴正方形广场的边长为 10 km.
由甲运动到点 F，乙运动到点 E，可知 FC＝x，EC＝10－2x，
在 Rt△ECF 中，x2＋(10－2x)2＝(2 10)2，
解得 x1＝2，x2＝6.
当 x＝2 时，FC＝2，EC＝10－4＝6＜10，符合题意；
当 x＝6 时，FC＝6，EC＝10－12＝－2＜0，不符合题意，舍去．
答：2 min 后，两物体相距 2 10 km.
(2)△CEF 的面积不能等于 7 km2.理由如下：
设 t min 后△CEF 的面积等于 7 km2.
∵甲的速度为 1 km/min，乙的速度为 2 km/min，
∴CF＝t，CE＝10－2t，∴
1
2·t·(10－2t)＝7，
整理，得 t2－5t＋7＝0.
∵(－5)2－4×7＜0，∴此方程无实数根，
∴△CEF 的面积不能等于 7 km2.
8．解：(1)当 t＝4 时，
l＝
1
2t2＋
3
2t＝8＋6＝14.
故答案为 14.
(2)由图可知，甲、乙第一次相遇时走过的路程和为一个半圆的长度，
故
1
2t2＋
3
2t＋4t＝21，
解得 t＝3 或 t＝－14(不符合题意，舍去)．
答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了 3 s.
9 解：(1)设经过 x s，△PAQ 的面积为 2 cm2.
由题意，得
1
2(3－x)·2x＝2，
解得 x1＝1，x2＝2.
所以经过 1 s 或 2 s，△PAQ 的面积为 2 cm2.
(2)设经过 y s，△PAQ 的面积为 3 cm2.
由题意，得
1
2(3－y)·2y＝3，
即 y2－3y＋3＝0，
在此方程中 b2－4ac＝－3＜0，
所以此方程没有实数根，
所以△PAQ 的面积不能达到 3 cm2.
(3)设经过 t s，P，Q 两点之间的距离为 17 cm，
则 AP＝(3－t)cm，AQ＝2t cm.
由勾股定理，得(3－t)2＋(2t)2＝( 17)2，
解得 t1＝2，t2＝－
4
5(不符合题意，舍去)．
所以经过 2 s，P，Q 两点之间的距离为 17 cm.7
10． (1)6 12
(2)设经过 x 秒后，△BPQ 是直角三角形．
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB＝BC＝12 cm，∠A＝∠B＝∠C＝60°.
由题意，知 BP＝(12－x)cm，BQ＝2x cm.
①当∠PQB＝90°时，∠BPQ＝30°，
∴BP＝2BQ，即 12－x＝2×2x，
∴x＝
12
5 .
②当∠QPB＝90°时，∠PQB＝30°，
∴BQ＝2BP，∴2x＝2(12－x)，∴x＝6.
即经过 6 秒或
12
5 秒后，△BPQ 是直角三角形．
(3)设经过 y 秒后，△BPQ 的面积为 10 3 cm2.如图，过点 Q 作 QD⊥AB 于点 D，∴∠QDB
＝90°，∴∠DQB＝30°，∴DB＝
1
2BQ＝y cm.
在 Rt△DBQ 中，由勾股定理，得 DQ＝ 3y cm，
∴
（12－y） 3y
2 ＝10 3，解得 y1＝10，y2＝2.
∵当 y＝10 时，2y＞12，故舍去，∴y＝2.
答：经过 2 秒后，△BPQ 的面积为 10 3 cm2.
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