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第 2 章 对称图形——圆
2.4 第 3 课时 圆的内接四边形
知识点 圆内接四边形的性质
1．如图 2－4－30 所示，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形．若∠BCD＝110°，则∠BAD
的度数为( )
A．140° B．110° C．90° D．70°
图 2－4－30
图 2－4－31
2．如图 2－4－31，四边形 ABCD 是圆内接四边形，E 是 BC 延长线上一点．若∠BAD＝105
°，则∠DCE 的大小是( )
A．115° B．105° C．100° D．95°
3．在圆内接四边形 ABCD 中，若∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠D 的度数是( )
A．60° B．90° C．120° D．30°
4．如图 2－4－32，四边形 ABCD 内接于⊙O.若四边形 ABCO 是平行四边形，则∠ADC 的大
小为( )
A．45° B．50° C．60° D．75°
图 2－4－32
图 2－4－33
.如图 2－4－33，已知 AB 是⊙O 的直径，C，D 是⊙O 上两点，且∠D＝130°，则∠BAC＝
________°.2
6．如图 2－4－34，四边形 ABCD 内接于⊙O.若∠BOD＝130°，则∠DCE＝________°.
图 2－4－34
7．如图 2－4－35，四边形 ABCD 为圆的内接四边形，DA，CB 的延长线交于点 P，∠P＝30
°，∠ABC＝100°，则∠C＝________°.
图 2－4－35
图 2－4－36
8．如图 2－4－36，△ABC 为⊙O 的内接等边三角形，D 为⊙O 上一点，则∠ADB＝________
°.
9．如图 2－4－37，已知 A，B，C，D 是⊙O 上的四点，延长 DC，AB 相交于点 E.若 BC＝
BE.求证：△ADE 是等腰三角形．
图 2－4－37
10．已知：如图 2－4－38，四边形 ABCD 是圆的内接四边形，延长 AD，BC 相交于点 E，F
是 BD 延长线上的点，且 DE 平分∠CDF.求证：AB＝AC.3
图 2－4－38
11．[2016·淮安清河区二模] 如图 2－4－39，在⊙O 的内接五边形 ABCDE 中，∠CAD＝35
°，∠AED＝115°，则∠B 的度数是( )
A．50° B．75° C．80° D．100°
图 2－4－39
图 2－4－40
12．如图 2－4－40，⊙O 是钝角三角形 ABC 的外接圆，连接 OC.已知∠BAC＝y°，∠BCO
＝x°，则 y 与 x 之间的函数表达式为______________(不必写出自变量的取值范围)．
13．教材练习第 3 题变式如图 2－4－41，在⊙O 中，点 A，B，C 在⊙O 上，且∠ACB＝110
°，则∠α＝________．
14.[2016·南京高淳区一模]四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠
BCD 的度数为________．
图 2－4－41
图 2－4－42
15．[2016·南京溧水区一模] 如图 2－4－42，在⊙O 的内接四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠4
C＝110°.点 E 在AD︵
上，则∠E＝________°.
16．如图 2－4－43，AD 为圆内接三角形 ABC 的外角∠EAC 的平分线，它与圆交于点 D，F
为 BC 上的点．
(1)求证：DB＝DC；
(2)请你再补充一个条件使直线 DF 一定经过圆心，并说明理由．
图 2－4－43
17．如图 2－4－44，⊙O 的内接四边形 ABCD 两组对边的延长线分别相交于点 E，F.
(1)若∠E＝∠F，求证：∠ADC＝∠ABC；
(2)若∠E＝∠F＝42°，求∠A 的度数；
(3)若∠E＝α，∠F＝β，且 α≠β，请你用含有 α，β的代数式表示∠A 的大小．
图 2－4－445
详解详析
1．D [解析] ∵四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，
∴∠BCD＋∠BAD＝180°(圆内接四边形的对角互补)．
又∵∠BCD＝110°，
∴∠BAD＝70°.故选 D.
2．B [解析] ∵四边形 ABCD 是圆内接四边形，
∴∠BAD＋∠BCD＝180°，
而∠BCD＋∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝∠BAD.
而∠BAD＝105°，
∴∠DCE＝105°.
故选 B.
3．B [解析] ∵∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，
∴设∠A＝2x，则∠B＝3x，∠C＝4x.
∵四边形 ABCD 为圆内接四边形，
∴∠A＋∠C＝180°，
即 2x＋4x＝180°，解得 x＝30°，
∴∠B＝3x＝90°，
∴∠D＝180°－∠B＝180°－90°＝90°.故选 B.
4． C
5．40 [解析] ∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵∠B＝180°－∠D＝50°，
∴∠BAC＝90°－∠B＝40°.
6．65 [解析] ∵∠BOD＝130°，
∴∠A＝
1
2∠BOD＝65°.
∵∠A＋∠BCD＝180°，∠DCE＋∠BCD＝180°，
∴∠DCE＝∠A＝65°.
7．70 [解析] ∵∠ABC＝100°，∠P＝30°，
∴∠PAB＝∠ABC－∠P＝70°.
∵四边形 ABCD 为圆的内接四边形，
∴∠C＋∠BAD＝180°.
∵∠BAD＋∠PAB＝180°，
∴∠C＝∠PAB＝70°.
8．120.
9．证明：∵A，B，C，D 是⊙O 上的四点，
∴四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，
∴∠A＋∠DCB＝180°.
又∵∠BCE＋∠DCB＝180°，
∴∠A＝∠BCE.
∵BC＝BE，
∴∠BCE＝∠E，∴∠A＝∠E，
∴AD＝DE，即△ADE 是等腰三角形．6
10．证明：∵四边形 ABCD 是圆内接四边形，
∴∠ABC＋∠ADC＝180°.
∵∠ADC＋∠CDE＝180°，
∴∠ABC＝∠CDE.
∵∠FDE＝∠ADB＝∠ACB，∠CDE＝∠FDE，∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC.
11．D [解析] ∵四边形 ACDE 是圆内接四边形，
∴∠AED＋∠ACD＝180°.
∵∠AED＝115°，
∴∠ACD＝65°.
∵∠CAD＝35°，
∴∠ADC＝80°.
∵四边形 ABCD 是圆内接四边形，
∴∠B＋∠ADC＝180°，
∴∠B＝100°，故选 D.
12．y＝x＋90
13．140°
14． 130°或 50°
15．125
16． (1)证明：∵∠DCB＋∠BAD＝180°，∠BAD＋∠DAE＝180°，
∴∠DCB＝∠DAE.
∵∠DBC＝∠CAD，∠CAD＝∠DAE，
∴∠DBC＝∠CAD＝∠DAE＝∠DCB，
∴DB＝DC.
(2)答案不唯一，如：
若 F 为 BC 的中点，则 DF 经过圆心．
理由：∵△DBC 是等腰三角形，F 是 BC 的中点，
∴DF 是底边 BC 的垂直平分线．
∵圆内接三角形的圆心是三边垂直平分线的交点，
∴DF 必过圆心．
17． (1)证明：∵∠E＝∠F，∠ECD＝∠FCB，
∴∠E＋∠ECD＝∠F＋∠FCB，
即∠ADC＝∠ABC.
(2)∵∠A＋∠BCD＝180°，∠ECD＋∠BCD＝180°，
∴∠A＝∠ECD.
∵∠EDC＝∠A＋∠F，
∠EDC＋∠E＋∠ECD＝180°，
∴2∠A＋∠E＋∠F＝180°.
又∵∠E＝∠F＝42°，∴∠A＝48°.
(3)由(2)中的结论可知 2∠A＋∠E＋∠F＝180°，
∴2∠A＋α＋β＝180°，解得∠A＝90°－
1
2(α＋β)．
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