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第 2 章 对称图形——圆
2.4 第 1 课时 圆周角的概念与性质
知识点 1 圆周角的定义
1．下列四个图中，∠x 是圆周角的是( )
图 2－4－1
知识点 2 圆周角的性质及运用
2．教材练习第 2 题变式如图 2－4－2，A，B，C，D，E 是⊙O 上的五个点，则BC︵
所对的
圆周角有________个，分别为________________，它们之间的数量关系是________，BC︵
所对
的圆心角有________个，为________．若∠ BAC＝35°，则∠BDC＝________°，∠ BOC＝
________°.
图 2－4－2
图 2－4－3
3．[2017·衡阳] 如图 2－4－3，点 A，B，C 都在⊙O 上，且点 C 在弦 AB 所对的优弧
上．如果∠AOB＝64°，那么∠ACB 的度数是( )
A．26° B．30° C．32° D．64°
4．[2017·哈尔滨] 如图 2－4－4，在⊙O 中，弦 AB，CD 相交于点 P，∠A＝42°，∠APD
＝77°，则∠B 的大小是( )
A．43° B．35° C．34° D．44°
图 2－4－42
图 2－4－5
5．[2017·武威] 如图 2－4－5，△ABC 内接于⊙O，若∠OAB＝32，则∠C＝_______.
6．[2017·随州]如图 2－4－6，已知 AB 是⊙O 的弦，半径 OC⊥AB，D 是⊙O 上一点，且
点 D 与点 C 位于弦 AB 的两侧，连接 AD，CD，OB.若∠BOC＝70°，则∠ADC＝____.
图 2－4－6
图 2－4－7
7．[2017·包头] 如图 2－4－7，A，B，C 为⊙O 上的三个点，∠BOC＝2∠AOB，∠BAC＝
40°，则∠ACB＝________°.
8．如图 2－4－8，△ABC 内接于⊙O，AB＝AC，D 是AC︵
上一点，连接 BD，E 是 BD 上一点，
且 BE＝CD.求证：∠AED＝∠ADE.
图 2－4－8
9．如图 2－4－9 所示，AB，CD 是⊙O 的直径，DF，BE 是弦，且 DF＝BE.求证：∠D＝
∠B.3
图 2－4－9
10．如图 2－4－10，在⊙O 中，直径 CD⊥弦 AB.若∠C＝25°，则∠ABO 的度数是( )
A．25° B．30° C．40° D．50°
图 2－4－10
图 2－4－11
11．[2016·吴江青云中学二模] 如图 2－4－11，在⊙O 中，CD 是直径，弦 AB⊥CD，垂
足为 E.若∠C＝15°，AB＝6 cm，则⊙O 的半径为________cm.
12．已知：如图 2－4－12，AB 是⊙O 的直径，点 C，D 为圆上两点，且CB︵
＝CD︵
，CF⊥AB
于点 F，CE⊥AD 交其延长线于点 E.
求证：DE＝BF.
图 2－4－124
13．如图 2－4－13，在半径为 5 cm 的⊙O 中，直径 AB 与弦 CD 相交于点 P，∠CAB＝50
°，∠APD＝80°.
(1)求∠ABD 的大小；
(2)求弦 BD 的长．
图 2－4－13
14．如图 2－4－14 所示，AD 是⊙O 的直径．
图 2－4－14
(1)如图(a)，垂直于 AD 的两条弦 B1C1，B2C2 把圆周 4 等分，则∠B1 的度数是________，∠
B2 的度数是________；
(2)如图(b)，垂直于 AD 的三条弦 B1C1，B2C2，B3C3 把圆周 6 等分，分别求∠B1，∠B2，∠
B3 的度数；
(3)如图(c)，垂直于 AD 的 n 条弦 B1C1，B2C2，B3C3，…，BnCn 把圆周 2n 等分，请你用含
n 的代数式表示∠Bn 的度数(只需直接写出答案)．5
详解详析
1．C
2．3 ∠BAC，∠BEC，∠BDC 相等 1 ∠BOC 35 70
3．C 4.B
5．58 6.35 7.20
8．证明：在△ABE 和△ACD 中，
∵AB＝AC，∠ABE＝∠ACD，BE＝CD，
∴△ABE≌△ACD(SAS)，
∴AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE.
9．证明：∵AB，CD 是⊙O 的直径，
∴∠AOD＝∠COB，
∴AFD︵
＝BEC︵
.
又∵DF＝BE，∴DF︵
＝BE︵
，
∴AFD︵
－DF︵
＝BEC︵
－BE︵
，即AF︵
＝EC︵
，
∴ AF︵
＋AC︵
＝EC︵
＋AC︵
，
即FAC︵
＝ACE︵
，
∴∠D＝∠B.
10．C [解析] ∵在⊙O 中，直径 CD⊥弦 AB，
∴AD︵
＝BD︵
，
∴∠DOB＝2∠C＝50°.
∴∠ABO＝90°－∠DOB＝40°.
11．6 [解析] 连接 OA，如图所示，则∠AOE＝2∠C＝30°.∵AB⊥CD，∴AE＝BE＝
1
2AB＝
3 cm，∴OA＝2AE＝6 cm，即⊙O 的半径为 6 cm.
12．证明：∵CB︵
＝CD︵
，
∴∠BAC＝∠EAC，CB＝CD.
∵CE⊥AE，CF⊥AF，
∴CE＝CF.
在 Rt△CED 和 Rt△CFB 中，{CE＝CF，
CD＝CB，
∴Rt△CED≌Rt△CFB(HL)，6
∴DE＝BF.
13．：(1)∵∠APD 是△APC 的外角，∠CAB＝50°，∠APD＝80°，
∴∠C＝∠APD－∠CAB＝80°－50°＝30°，
∴∠ABD＝∠C＝30°.
(2)过点 O 作 OE⊥BD 于点 E，则 BD＝2BE.
∵∠ABD＝30°，OB＝5 cm，
∴OE＝
1
2OB＝
5
2 cm，
∴BE＝
5 3
2 cm，
∴BD＝2BE＝5 3 cm.
14．(1)22.5° 67.5°
(2)∵圆周被 6 等分，
∴B1C1︵
＝C1C2︵
＝C2C3︵
，且它们所对的圆心角都为 360°÷6＝60°.
∵直径 AD⊥B1C1，则AC1︵
的度数为 30°，
∴∠B1＝15°，
∠B2＝
1
2×(30°＋60°)＝45°，
∠B3＝
1
2×(30°＋60°＋60°)＝75°.
(3)∠Bn ＝
1
2[1
2 ×
360°
2n ＋（n－1） ×
360°
2n ]＝
（90n－45）°
n
(或∠Bn＝90°－
360°
8n ＝90°－
45°
n ).
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