1
第 2 章 对称图形—圆
2.5 第 4 课时 切线长定理
知识点 切线长定理的应用
1．如图 2－5－32，PA，PB 分别切⊙O 于 A，B 两点．若∠P＝60°，PA＝2，则弦 AB 的
长为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
图 2－5－32
图 2－5－33
.如图 2－5－33，CD 是⊙O 的切线，切点为 E，AC，BD 分别与⊙O 相切于点 A，B.如果 CD
＝7，AC＝4，那么 BD 等于( )
A．5 B．4 C．3 D．2
3．[教材习题 2.5 第 13 题变式] 如图 2－5－34，四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 和⊙O
分别相切．若四边形 ABCD 的周长为 20，则 AB＋CD 等于( )
A．5 B．8 C．10 D．12
4．已知线段 PA，PB 分别切⊙O 于点 A，B，AB︵
的度数为 120°，⊙O 的半径为 4，则线段
AB 的长为( )
A．8 B．4 3 C．6 3 D．8 3
图 2－5－34
图 2－5－352
.如图 2－5－35，PA，PB 是⊙O 的切线，A，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠P＝40°，则∠
BAC 的度数为________．
6．如图 2－5－36，PA，PB 分别切⊙O 于点 A，B，∠AOP＝50°，则∠PAB＝________°，∠
OPB＝________°.
图 2－5－36
图 2－5－37
7．如图 2－5－37，PA，PB，DE 分别切⊙O 于点 A，B，C，若⊙O 的半径为 5，OP＝13，
则△PDE 的周长为________．
图 2－5－38
8．如图 2－5－38，P 是⊙O 的直径 AB 的延长线上一点，PC，PD 分别切⊙O 于点 C，D.
若 PA＝6，⊙O 的半径为 2，则∠CPD 的度数为________．
9．如图 2－5－39，PA，PB 为⊙O 的两条切线，A，B 为切点．如果⊙O 的半径为 5，∠OPA
＝30°，求两条切线的夹角∠APB 的度数及切线 PA 的长．
图 2－5－39
3
图 2－5－40
10．[2016·梁溪区一模] 如图 2－5－40，在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC
分别与⊙O 相切于点 E，F，G，过点 D 作⊙O 的切线交 BC 于点 M，切点为 N，则 DM 的长为( )
A.
13
3 B.
9
2 C.
4 13
39 D．2 5
11．如图 2－5－41，PA，PB 是⊙O 的切线，A，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠ACB＝70
°.求∠P 的度数．
图 2－5－41
12．如图 2－5－42，△ABC 的内切圆⊙O 与 AC，AB，BC 分别相切于点 D，E，F，且 AB＝
5 cm，BC＝9 cm，AC＝6 cm，求 AE，BF 和 CD 的长．
图 2－5－42
13．如图 2－5－43，PA，PB 为⊙O 的两条切线，切点分别为 A，B，直线 CD 切⊙O 于点
E.
(1)试探究△PCD 的周长与线段 PA 的数量关系；
(2)若∠P＝α，求∠COD 的度数．4
图 2－5－43
14．如图 2－5－44，AB 是⊙O 的直径，AM，BN 分别切⊙O 于点 A，B，CD 分别交 AM，BN
于点 D，C，DO 平分∠ADC.
(1)求证：CD 是⊙O 的切线；
(2)若 AD＝4，BC＝9，求⊙O 的半径 R.
图 2－5－44
15．如图 2－5－45，PA，PB 分别与⊙O 相切于点 A，B，点 M 在 PB 上，且 OM∥AP，MN⊥
AP，垂足为 N.
(1)求证：OM＝AN；
(2)若⊙O 的半径 R＝3，PB＝9，求 OM 的长．
图 2－5－455
详解详析
1．B
2． C
3．C
4． B
5．20° [解析] ∵PA，PB 是⊙O 的切线，A，B 为切点，∴PA＝PB，∴∠BAP＝∠ABP＝
1
2×(180°－40°)＝70°.由 PA 是⊙O 的切线，A 为切点，AC 是⊙O 的直径，得∠PAC＝90°，∴
∠BAC＝90°－70°＝20°.
6．50 40
7．24 [解析] ∵PA，PB，DE 分别切⊙O 于 A，B，C 三点，∴AD＝CD，CE＝BE，PA＝PB，
OA⊥PA.
在 Rt△OAP 中，根据勾股定理，得 AP＝12，∴△PDE 的周长为 PD＋DE＋PE＝PD＋AD＋BE
＋PE＝2PA＝24.
8．60° [解析] 连接 OC.∵PA＝6，⊙O 的半径为 2，
∴OP＝PA－OA＝4.
∵PC，PD 分别切⊙O 于点 C，D，
∴∠OPC＝∠OPD，OC⊥PC.
∵OP＝2OC，∴∠OPC＝30°，
∴∠CPD＝60°.
9．解：连接 OA，OB，则 OA⊥PA，OB⊥PB.
∵OA＝OB，OP＝OP，
∴Rt△OAP≌Rt△OBP，∴∠OPA＝∠OPB，
∴∠APB＝2∠OPA＝60°.
在 Rt△AOP 中，
可求得 OP＝2OA＝10，
∴PA＝ OP2－OA2＝5 3.
10． A [解析] 如图，连接 OE，OF，ON，OG.
在矩形 ABCD 中，∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4.
∵AD，AB，BC 分别与⊙O 相切于点 E，F，G，
∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°.
又∵OE＝OF＝OG，
∴四边形 AFOE，四边形 FBGO 是正方形，
∴AF＝BF＝AE＝BG＝2，
∴DE＝3.
∵DM 是⊙O 的切线，
∴DN＝DE＝3，MN＝MG，
∴CM＝5－2－MG＝3－MN.
在 Rt△DMC 中，DM2＝CD2＋CM2，
∴(3＋MN)2＝42＋(3－MN)2，6
∴MN＝
4
3，∴DM＝3＋
4
3＝
13
3 .
故选 A.
11．解：连接 AB.
∵AC 是⊙O 的直径，
∴∠CBA＝90°，
∴∠BAC＝90°－∠ACB＝20°.
∵PA，PB 是⊙O 的切线，
∴PA＝PB，∠CAP＝90°，
∴∠PAB＝90°－20°＝70°.
∵PA＝PB，∴∠PBA＝∠PAB＝70°，
∴∠P＝180°－∠PAB－∠PBA＝40°.
12．解：∵⊙O 与△ABC 的三边都相切，
∴AE＝AD，BE＝BF，CD＝CF.
设 AE＝x cm，BF＝y cm，CD＝z cm，
则{x＋y＝5，
y＋z＝9，
z＋x＝6，
解得{x＝1，
y＝4，
z＝5.
即 AE＝1 cm，BF＝4 cm，CD＝5 cm.
13．解：(1)△PCD 的周长＝2PA.理由如下：
∵PA，PB 分别切⊙O 于点 A，B，CD 切⊙O 于点 E，
∴PA＝PB，AC＝CE，BD＝DE，
∴△PCD 的周长＝PD＋DE＋PC＋CE＝PB＋PA＝2PA，即△PCD 的周长＝2PA.
(2)如图，连接 OA，OE，OB.
由切线的性质，得 OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，BD＝DE，AC＝CE.
∵OA＝OE＝OB，
易证△AOC≌△EOC，△EOD≌△BOD，
∴∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD，
∴∠COD＝∠EOC＋∠EOD＝
1
2(∠AOE＋∠BOE)＝
1
2∠AOB.
∵∠P＝α，OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠AOB＝180°－α，
∴∠COD＝90°－
1
2α.
14 解：(1)证明：如图，过点 O 作 OE⊥CD 于点 E.7
∵AM 切⊙O 于点 A，
∴OA⊥AD.
又∵DO 平分∠ADC，
∴OE＝OA.
∵OA 为⊙O 的半径，
∴OE 是⊙O 的半径，
∴CD 是⊙O 的切线．
(2)过点 D 作 DF⊥BC 于点 F.
∵AM，BN 分别切⊙O 于点 A，B，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∴四边形 ABFD 是矩形，
∴AD＝BF，AB＝DF.
又∵AD＝4，BC＝9，∴FC＝9－4＝5.
∵AM，BN，DC 分别切⊙O 于点 A，B，E，
∴AD＝DE，BC＝CE，
∴CD＝DE＋CE＝AD＋BC＝4＋9＝13.
在 Rt△DFC 中，CD2＝DF2＋FC2，
∴DF＝ CD2－FC2＝12，
∴AB＝12，
∴⊙O 的半径 R 为 6.
15．解：(1)证明：如图，连接 OA，则 OA⊥PA.
∵MN⊥PA，
∴MN∥OA.
∵OM∥PA，
∴四边形 ANMO 是平行四边形．
又∵MN⊥AP，
∴▱ANMO 是矩形，
∴OM＝AN.
(2)如图，连接 OB，则 OB⊥PB，
∴∠OBM＝∠MNP＝90°.
∵四边形 ANMO 是矩形，
∴OA＝MN.
又∵OA＝OB，
∴OB＝MN.8
∵OM∥AP，∴∠OMB＝∠MPN，
∴△OBM≌△MNP，∴OM＝MP.
设 OM＝x，则 MP＝x，AN＝x.
∵PA＝PB＝9，∴NP＝9－x.
在 Rt△MNP 中，有 x2＝32＋(9－x)2，
解得 x＝5，即 OM＝5.
微信/支付宝扫码支付