1
第 2 章 对称图形——圆
2.5 第 3 课时 三角形的内切圆
知识点 1 三角形内切圆的概念
图 2－5－21
1．[2017·广州] 如图 2－5－21，⊙O 是△ABC 的内切圆，则点 O 是△ABC 的( )
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
知识点 2 三角形内切圆的应用
2．教材练习第 1 题变式如图 2－5－22，点 O 是△ABC 的内心，∠A＝62°，则∠BOC＝
( )
A．59° B．31° C．124° D．121°
图 2－5－22
图 2－5－23
3．如图 2－5－23，⊙O 是△ABC 的内切圆，与 AB，BC，CA 分别切于点 D，E，F，∠DOE＝
120°，∠EOF＝110°，则∠A＝______°，∠B＝______°，∠C＝______°.
4．教材例 4 变式如图 2－5－24，⊙O 是△ABC 的内切圆，与边 BC，CA，AB 的切点分别
为 D，E，F.若∠A＝70°，则∠EDF 的度数为________．
5．△ABC 的三边长分别为 a，b，c，⊙I 是△ABC 的内切圆，半径为 r，则 S△ABC＝
______________．
6 ． 已 知 直 角 三 角 形 的 三 边 长 分 别 为 3 ， 4 ， 5 ， 则 这 个 三 角 形 的 内 切 圆 半 径 是
________．2
图 2－5－24
图 2－5－25
7．如图 2－5－25，已知⊙O 是边长为 2 的等边三角形 ABC 的内切圆，则⊙O 的半径为
________．
8．如图 2－5－26，点 O 是△ABC 的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，求∠BOC 的度数．
图 2－5－26
9．如图 2－5－27，I 是△ABC 的内心，∠BAC 的平分线和△ABC 的外接圆相交于点 D，BD
与 ID 相等吗？为什么？
图 2－5－27
3
图 2－5－28
10．[2016·河北]如图 2－5－28 为 4×4 的网格图，点 A，B，C，D，O 均在格点上，点
O 是( )
A．△ACD 的外心
B．△ABC 的外心
C．△ACD 的内心
D．△ABC 的内心
11．[2017·武汉] 已知一个三角形的三边长分别为 5，7，8，则其内切圆的半径为( )
A.
3
2 B.
3
2 C. 3 D．2 3
12．如图 2－5－29，在△ABC 中，AB＝AC，⊙O 是△ABC 的内切圆，它与 AB，BC，CA 分
别相切于点 D，E，F.
(1)求证：BE＝CE；
(2)若∠A＝90°，AB＝AC＝2，求⊙O 的半径．
图 2－5－29
13．如图 2－5－30，在等腰三角形 ABC 中，AE 是底边 BC 上的高，点 O 在 AE 上，⊙O 与
AB，BC 分别相切于点 D，E.
(1)⊙O 是否为△ABC 的内切圆？请说明理由；
(2)若 AB＝5，BC＝4，求⊙O 的半径．4
图 2－5－30
14．已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式
——海伦公式 S＝ p（p－a）（p－b）（p－c）(其中 a，b，c 是三角形的三边长，p＝
a＋b＋c
2 ，S 为三角形的面积)，并给出了证明．
例如：在 Rt△ABC 中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算：
∵a＝3，b＝4，c＝5，
∴p＝
a＋b＋c
2 ＝6，
∴S＝ p（p－a）（p－b）（p－c）＝ 6 × 3 × 2 × 1＝6.
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦
九韶提出的秦九韶公式等方法解决．
如图 2－5－31，在△ABC 中，BC＝5，AC＝6，AB＝9.
(1)用海伦公式求△ABC 的面积；
(2)求△ABC 的内切圆半径 r.
图 2－5－315
详解详析
1．B 2.D
3．50 60 70
4．55° [解析] 连接 OE，OF.∵∠A＝70°，⊙O 与边 BC，CA，AB 的切点分别为 D，E，
F，
∴∠EOF＝180°－70°＝110°，
∴∠EDF＝
1
2∠EOF＝55°.
5.
1
2r(a＋b＋c)
6．1
7．
3
3
[解析] 设⊙O 与 BC 的切点为 D.连接 OC，OD.
∵CA，CB 都与⊙O 相切，
∴∠OCD＝∠OCA＝30°.
在 Rt△OCD 中，CD＝
1
2BC＝1，∠OCD＝30°，
∴OD＝
3
3 .
8．解：∵∠BAC＝80°，
∴∠ABC＋∠ACB＝180°－80°＝100°.
∵点 O 是△ABC 的内切圆的圆心，
∴BO，CO 分别平分∠ABC，∠BCA，
∴∠OBC＋∠OCB＝50°，
∴∠BOC＝130°.
9．解：BD＝ID.
理由：连接 BI.
∵点 I 是△ABC 的内心，
∴∠BAI＝∠CAI，∠ABI＝∠CBI，
∴BD︵
＝CD︵
，
∴∠BAD＝∠DBC.
∵∠BID＝∠BAI＋∠ABI，∠IBD＝∠CBI＋∠DBC，∴∠IBD＝∠BID，
∴BD＝ID.
10．B [解析] 由图可得 OA＝OB＝OC，所以点 O 是△ABC 的外心．故选 B.
11．C
12．解：(1)证明：如图，连接 OB，OC，OE.
∵⊙O 是△ABC 的内切圆，
∴BO，CO 分别平分∠ABC，∠ACB，6
∴∠OBC＝
1
2∠ABC，∠OCB＝
1
2∠ACB.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，
又∵⊙O 与 BC 相切于点 E，
∴OE⊥BC，∴BE＝CE.
(2)如图，连接 OD，OF.
∵⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为 D，E，F，
∴∠ODA＝∠OFA＝∠A＝90°.
又∵OD＝OF，∴四边形 ODAF 是正方形．
在 Rt△OBD 和 Rt△OBE 中，{OD＝OE，
OB＝OB，
∴△OBD≌△OBE，
∴BD＝BE，同理 CE＝CF.
设 OD＝AD＝AF＝r，
则 BE＝BD＝CF＝CE＝2－r.
在△ABC 中，∠A＝90°，
∴BC＝ AB2＋AC2＝2 2.
又∵BC＝BE＋CE，∴(2－r)＋(2－r)＝2 2，解得 r＝2－ 2，
∴⊙O 的半径是 2－ 2.
13．解：(1)⊙O 是△ABC 的内切圆．
理由：∵⊙O 与 AB 相切于点 D，
连接 OD，则 OD⊥AB 于点 D，过点 O 作 OF⊥AC 于点 F.
∵AE 是底边 BC 上的高，
∴AE 也是顶角∠BAC 的平分线，
∴OF＝OD，∴⊙O 与 AC 相切于点 F.
又∵⊙O 与 BC 相切，
∴⊙O 是△ABC 的内切圆．
(2)连接 OB，OC，设⊙O 的半径为 r.
∵D，E，F 是切点，∴OD＝OE＝OF＝r.
由题意得 AB＝AC＝5，EC＝BE＝
1
2AB＝2.
在 Rt△ABE 中 ，AE＝ AB2－BE2＝ 21，
∴
1
2r(AC＋BC＋AB)＝
1
2AE·BC，
解得 r＝
2 21
7 .
14．解：(1)∵BC＝5，AC＝6，AB＝9，
∴p＝
BC＋AC＋AB
2 ＝
5＋6＋9
2 ＝10，
∴S＝ p（p－a）（p－b）（p－c）＝ 10 × 5 × 4 × 1＝10 2，
故△ABC 的面积 10 2.
(2)∵S＝
1
2r(BC＋AC＋AB)，7
∴10 2＝
1
2r(5＋6＋9)，解得 r＝ 2，
故△ABC 的内切圆半径 r＝ 2.
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