1
第 2 章 对称图形——圆
2.2 第 2 课时 圆的轴对称性
知识点 1 圆的轴对称性
1．圆是轴对称图形，____________都是它的对称轴，因此圆有________条对称轴．
知识点 2 垂径定理
2．如图 2－2－12，已知⊙O 的直径 AB⊥CD 于点 E，则下列结论中不一定正确的是( )
A．CE＝DE B．AE＝OE
C.BC︵
＝BD︵
D．△OCE≌△ODE
3．在⊙O 中，非直径的弦 AB＝8 cm，OC⊥AB 于点 C，则 AC 的长为( )
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
图 2－2－12
图 2－2－13
4．教材习题 2.2 第 5 题变式如图 2－2－13，AB 是⊙O 的弦，半径 OC⊥AB 于点 D.若⊙O
的半径为 5，AB＝8，则 CD 的长是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图 2－2－14，⊙O 的直径 CD 垂直弦 AB 于点 E，且 CE＝2，DE＝8，则 AB 的长为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
图 2－2－14
图 2－2－152
6．如图 2－2－15，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点．若 BC＝6，AB＝10，OD⊥BC 于
点 D，则 OD 的长为________．
7．[2017·长沙] 如图 2－2－16，AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，已知 CD＝6，EB
＝1，则⊙O 的半径为________．
图 2－2－16
图 2－2－17
8．如图 2－2－17 是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点 A，
B，外圆半径 OC⊥AB 于点 D 交外圆于点 C.测得 CD＝10 cm，AB＝60 cm，则这个车轮的外圆半
径是________cm.
9．[2016 秋·盐都区月考]已知：如图 2－2－18，在⊙O 中，弦 AB 的长为 8，圆心 O 到
AB 的距离为 3.
(1)求⊙O 的半径；
(2)若 P 是 AB 上的一动点，试求 OP 的最大值和最小值．
图 2－2－18
10．如图 2－2－19，已知在以点 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于点 C，
D.3
(1)求证：AC＝BD；
(2)若大圆的半径 R＝10，小圆的半径 r＝8，且圆心 O 到直线 AB 的距离为 6，求 AC 的
长．
图 2－2－19
图 2－2－20
11．如图 2－2－20，已知在⊙O 中，AB 是弦，半径 OC⊥AB，垂足为 D.要使四边形 OACB
为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是( )
A．AD＝BD
B．OD＝CD
C．∠CAD＝∠CBD
D．∠OCA＝∠OCB
12．如图 2－2－21，AB 是⊙O 的弦，AB 的长为 8，P 是⊙O 上一个动点(不与点 A，B 重
合)，过点 O 作 OC⊥AP 于点 C，OD⊥PB 于点 D，则 CD 的长为________．
图 2－2－21
图 2－2－22
13．[2017·遵义] 如图 2－2－22，AB 是⊙O 的直径，AB＝4，M 是 OA 的中点，过点 M 的
直线与⊙O 交于 C，D 两点．若∠CMA＝45°，则弦 CD 的长为________．4
14．已知：如图 2－2－23，∠PAQ＝30°，在边 AP 上顺次截取 AB＝3 cm，BC＝10 cm，
以 BC 为直径作⊙O 交射线 AQ 于 E，F 两点，求：
(1)圆心 O 到 AQ 的距离；
(2)线段 EF 的长．
图 2－2－23
15．如图 2－2－24，某地有一座圆弧形拱桥，圆心为 O，桥下水面宽度 AB 为 7.2 m，过
点 O 作 OC⊥AB 于点 D，交圆弧于点 C，CD＝2.4 m．现有一艘宽 3 m、船舱顶部为方形并高出
水面 2 m 的货船要经过拱桥，则此货船能否顺利通过这座拱桥？
图 2－2－24
16．如图 2－2－25，AB，CD 是半径为 5 的⊙O 的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN 是直径，AB
⊥MN 于点 E，CD⊥MN 于点 F，P 为 EF 上的任意一点，试求 PA＋PC 的最小值．
图 2－2－255
详解详析
1．过圆心的任意一条直线 无数
2．B 3.B 4.A
5．D [解析] ∵CE＝2，DE＝8，
∴CD＝10，∴OB＝OC＝5，∴OE＝3.
∵AB⊥CD，∴在 Rt△OBE 中，BE＝ OB2－OE2＝4，∴AB＝2BE＝8.故选 D.
6．4
7．5 [解析] 如图，连接 OC.设 OC＝x.∵CD⊥AB，AB 为⊙O 的直径，∴CE＝DE＝3.在Rt
△OCE 中，OC2＝OE2＋CE2，即 x2＝(x－1)2＋32，解得 x＝5，故⊙O 的半径为 5.
8．50
9．解：(1)如图，连接 AO，过点 O 作 OD⊥AB 于点 D.
∵弦 AB 的长为 8，
∴AD＝4.
∵圆心 O 到 AB 的距离为 3，
∴DO＝3，
∴AO＝ AD2＋DO2＝ 42＋32＝5，
∴⊙O 的半径是 5.
(2)∵P 是 AB 上的一动点，
∴OP 的最大值是 5，最小值是 3.
10．解：(1)证明：过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，则 CE＝DE，AE＝BE，
∴AE－CE＝BE－DE，即 AC＝BD.
(2)由(1)可知，OE⊥AB 且 OE⊥CD.连接 OC，OA.
∵OE＝6，∴CE＝ OC2－OE2＝2 7，AE＝ OA2－OE2＝8，
∴AC＝AE－CE＝8－2 7.
11．B
12．4 [解析] ∵OC⊥AP，OD⊥PB，
∴由垂径定理，得 AC＝PC，PD＝BD，
∴CD 是△APB 的中位线，
∴CD＝
1
2AB＝
1
2×8＝4.
13. 14
14．解：(1)过点 O 作 OH⊥EF，垂足为 H.
∵OH⊥EF，∴∠AHO＝90°.
在 Rt△AOH 中，6
∵∠AHO＝90°，∠PAQ＝30°，∴OH＝
1
2AO.
∵BC＝10 cm，∴BO＝5 cm.
∵AO＝AB＋BO，AB＝3 cm，
∴AO＝3＋5＝8(cm)，
∴OH＝4 cm，即圆心 O 到 AQ 的距离为 4 cm.
(2)连接 OE.在 Rt△EOH 中，
∵∠EHO＝90°，∴EH2＋OH2＝EO2.
∵EO＝BO＝5 cm，OH＝4 cm，
∴EH＝ EO2－OH2＝ 52－42＝3(cm)．
∵OH 过圆心 O，OH⊥EF，
∴EF＝2EH＝6 cm.
15．解：如图，连接 ON，OB.
∵OC⊥AB，∴D 为 AB 的中点．
∵AB＝7.2 m，
∴BD＝
1
2AB＝3.6 m.
设 OB＝OC＝ON＝r m，则 OD＝(r－2.4)m.
在 Rt△BOD 中，根据勾股定理，得 r2＝(r－2.4)2＋3.62，解得 r＝3.9，
∴OD＝r－2.4＝1.5(m)．
∵船宽 3 m，根据垂径定理，得 EN＝DF＝1.5 m，
∴OE＝ ON2－EN2＝ 3.92－1.52＝3.6(m)，
∴FN＝DE＝OE－OD＝2.1 m＞2 m，
∴此货船能顺利通过这座拱桥．
16．解：如图，连接 BC，OB，OC，当点 P 位于 BC 与 MN 的交点处时，PA＋PC 的值最小，
为 BC 的长度，过点 C 作 CH⊥AB 于点 H.
根据垂径定理，得 BE＝
1
2AB＝4，CF＝
1
2CD＝3，
∴OE＝ OB2－BE2＝ 52－42＝3，
OF＝ OC2－CF2＝ 52－32＝4，
∴CH＝EF＝OE＋OF＝3＋4＝7，
BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝4＋3＝7.
在 Rt△BCH 中，根据勾股定理，得 BC＝7 2，
则 PA＋PC 的最小值为 7 2.
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