2018中考数学复习第19课时全等三角形测试.doc

1 第四单元 三角形 第十九课时 全等三角形 基础达标训练 1. 下列说法正确的是(　　) A. 全等三角形是指形状相同的两个三角形 B. 全等三角形是指面积相等的两个三角形 C. 两个等边三角形是全等三角形 D. 全等三角形是指两个能完全重合的三角形 2. 如图，在△ABC 和△DEF 中，AB＝DE，∠B＝∠DEF，补充下列哪一条件后， 能应用“SAS”判定△ABC≌△DEF(　　) 第 2 题图 A. ∠A＝∠D B. ∠ACB＝∠DFE C. AC＝DF D. BE＝CF 3. 如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论①AC＝AF，②∠FAB＝∠EAB，③EF ＝ BC ， ④∠EAB ＝ ∠FAC ， 其 中 正 确 结 论 的 个 数 是 ( 　 　 ) 2 第 3 题图 第 4 题图 4. (2017 眉山)如图，EF 过▱ABCD 对角线的交点 O，交 AD 于 E，交 BC 于 F，若▱ABCD 的周长 为 18，OE＝1.5，则四边形 EFCD 的周长为(　　) A. 14 B. 13 C. 12 D. 10 5. (2017 黔东南州)如图，点 B、F、C、E 在一条直线上，已知 FB＝CE，AC∥DF，请你添加 一个适当的条件________使得△ABC≌△DEF. 第 5 题图　 第 6 题图 6. 如图，Rt△ABC≌Rt△DCB，两斜边交于点 O，如果 AC＝3，那么 OD 的长为________． 7. (2017 达州)△ABC 中，AB＝5，AC＝3，AD 是△ABC 的中线，设 AD 长为 m，则 m 的取值范 围是________． 第 8 题图 8. (2017 新疆建设兵团)如图，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，CB＝CD，对角线 AC，BD 相交于 点 O，下列结论中：①∠ABC＝∠ADC；②AC 与 BD 相互平分；③AC，BD 分别平分四边形 ABCD 的两组对角；④四边形 ABCD 的面积 S＝ 1 2AC·BD.正确的是__________．(填写所有正确结论 的序号) 9. (6 分)(2017 云南)如图，点 E、C 在线段 BF 上，BE＝CF，AB＝DE，AC＝DF. 求证：∠ABC＝∠DEF.3 第 9 题图 10. (6 分)(2017 南充)如图，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别是点 E，F，DE＝CF，AE＝BF.求证： AC∥BD. 第 10 题图 11. (6 分)(2017 郴州)已知△ABC 中，∠ABC＝∠ACB，点 D、E 分别为边 AB、AC 的中点． 求证：BE＝CD. 第 11 题图 12. (8 分)(2017 株州模拟)已知△ABN 和△ACM 位置如图，AB＝AC＝3，BD＝CE＝2，∠B＝ ∠C. (1)求证：∠1＝∠2； (2)若 CM∥AB，求线段 CM 的长度．4 第 12 题图 13.(8 分)(2017 苏州)如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点 D 在 AC 边上，∠1＝∠2，AE 和 BD 相交 于点 O. (1)求证：△AEC≌△BED； (2)若∠1＝42°，求∠BDE 的度数． 第 13 题图 14. (8 分)(2017 湘潭)如图，在▱ABCD 中，DE＝CE，连接 AE 并延长交 BC 的延长线于点 F. (1)求证：△ADE≌△FCE； (2)若 AB＝2BC，∠F＝36°，求∠B 的度数． 第 14 题图 15. (8 分)(2017 广西四市)如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 在 BD 上， BE＝DF. (1)求证：AE＝CF；5 (2)若 AB＝6，∠COD＝60°，求矩形 ABCD 的面积． 第 15 题图 16. (8 分)(2017 长沙中考模拟卷一)如图，已知△ABC 是等边三角形，点 D、E 分别是 AC、BC 上的两点，AD＝CE，且 AE 与 BD 交于点 P，BF⊥AE 于点 F. (1)求证：△ABD≌△CAE； (2)若 BP＝6，求 PF 的长． 第 16 题图 能力提升训练 1. 在等腰 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，D 是 AC 的中点，EC⊥BD 于 E，交 BA 的延长线于点 F， 若 BF＝12，则△FBC 的面积为(　　) A. 40　　　　 B. 46　　　 C. 48　　　 D. 50 第 1 题图　 第 2 题图 2. 如图，点 C 为线段 AB 上一点，△DAC、△ECB 都是等边三角形，AE、DC 交于点 M，DB、EC 交于点 N，DB、AE 交于点 P，连接 MN，下列说法中正确的个数有(　　) ①MN∥AB；②∠DPM＝60°；③∠DAP＝∠PEC；④△ACM≌△DCN；⑤若∠DBE＝30°，则∠AEB6 ＝80°. A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 3. (2017 哈尔滨)如图，点 P 为定角∠AOB 的平分线上的一个定点，且∠MPN 与∠AOB 互补， 若∠MPN 在绕点 P 旋转的过程中，其两边分别与 OA、OB 相交于 M、N 两点，则以下结论：(1)PM ＝PN 恒成立；(2)OM＋ON 的值不变；(3)四边形 PMON 的面积不变；(4)MN 的长不变，其中正 确的个数为(　　) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 第 3 题图 4.(9 分)(2017 重庆 B 卷)如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点 E 是 AC 上一点，连接 BE. (1)如图①，若 AB＝4 2，BE＝5，求 AE 的长； (2)如图②，点 D 是线段 BE 延长线上一点，过点 A 作 AF⊥BD 于点 F，连接 CD，CF.当 AF＝ DF 时，求证：DC＝BC. 第 4 题图 5. 注重开放探究(9 分)已知四边形 ABCD 中，AB＝AD, AB⊥AD，连接 AC，过点 A 作 AE⊥AC， 且使 AE＝AC，连接 BE，过点 A 作 AH⊥CD 于 H，交 BE 于 F. (1)如图①，当 E 在 CD 的延长线上时，求证：①△ABC≌△ADE；②BF＝EF；7 (2)如图②，当 E 不在 CD 的延长线上时，BF＝EF 还成立吗？请证明你的结论． 第 5 题图 拓展培优训练 如图，在△ABC 中，∠BAC、∠BCA 的平分线相交于点 I，若∠B＝35°，BC＝AI＋AC，则∠BAC 的度数为________． 第 1 题图 答案 1. D　2. D　3. C　 4. C　【解析】∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴OA＝OC，AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，在△OAE 和△OCF 中，{∠DAC＝∠ACB OA＝OC ∠AOE＝∠COF ，∴△OAE≌△OCF(ASA)，∴CF＝AE，OE＝OF，∵OE＝1.5，∴EF ＝2OE＝3，∵▱ABCD 的周长为 18，∴AD＋DC＝9，∴四边形 EFCD 的周长＝DE＋EF＋CF＋CD＝ DE＋AE＋CD＋EF＝AD＋CD＋EF＝9＋3＝12. 5. AC＝DF(答案不唯一)　【解析】∵FB＝CE，∴BC＝EF，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，由 三 角 形 全 等 的 判 定 定 理 可 知 添 加 的 条 件 为 ：AC＝DF(SAS) 或 ∠B＝ ∠E(ASA) 或 ∠A＝ ∠D(AAS)． 6. 1.5　【解析】如解图，连接 AD，∵Rt△ABC≌Rt△DCB，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，且 AB＝ CD，∴AB∥CD，∴四边形 ABCD 是矩形，∴OD＝ 1 2BD＝ 1 2AC＝1.5.8 第 6 题解图 7. 1＜m＜4　【解析】如解图，延长 AD 到点 E，使 AD＝ED，连接 CE，∵AD 是△ABC 的中线， ∴BD＝CD，∵在△ABD 和△ECD 中，BD＝CD，DE＝AD，∠ADB＝∠EDC，∴△ABD≌△ECD，∴AB ＝EC，∴在△AEC 中，AC＋EC＞AE，且 EC－AC＜AE，即 AB＋AC＞2AD，AB－AC＜2AD，∴2＜ 2AD＜8，∴1＜AD＜4，即 1＜m＜4. 第 7 题解图 8. ①④　【解析】在△ABC 与△ADC 中，{AB＝AD BC＝DC AC＝AC ，∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠ABC＝∠ADC， 故①正确；∵△ABC≌△ADC，∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，∴AC 平分∠BAD 和∠BCD， 而 AB 与 BC 不一定相等，∴BD 不一定平分∠ABC 和∠ADC，故③错误；又∵AB＝AD，∠BAC＝ ∠CAD，∴OB＝OD，∴AC，BD 互相垂直，但不互相平分，故②错误；∵AC，BD 互相垂直，∴ 四边形 ABCD 的面积 S＝ 1 2AC·BO＋ 1 2AC·OD＝ 1 2AC·BD.故④正确，综上所述，正确的结论是 ①④. 9. 证明：∵BE＝CF， ∴BE＋EC＝CF＋EC，即 BC＝EF， 在△ABC 和△DEF 中，9 {AB＝DE BC＝EF AC＝DF ， ∴△ABC≌△DEF(SSS) ∴∠ABC＝∠DEF. 10. 证明：∵DE⊥AB，CF⊥AB， ∴∠AFC＝∠BED＝90°， 又∵AE＝BF， ∴AE＋EF＝BF＋EF， ∴AF＝BE， 在△ACF 和△BDE 中， {AF＝BE ∠AFC＝∠BED CF＝DE ， ∴△ACF≌△BDE(SAS)， ∴∠A＝∠B， ∴AC∥BD. 11. 证明：∵∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， ∵点 D、E 分别为边 AB、AC 的中点， ∴BD＝ 1 2AB，CE＝ 1 2AC， ∴BD＝CE， 又∵∠ABC＝∠ACB，BC＝CB， ∴△CBE≌△BCD(SAS)， ∴BE＝CD. 12. (1)证明：在△ABD 与△ACE 中，10 {AB＝AC ∠B＝∠C BD＝CE ， ∴△ABD≌△ACE(SAS)， ∴∠1＝∠2； (2)解：∵CM∥AB， ∴∠M＝∠1， 又∵∠C＝∠B， ∴△AMC∽△DAB， ∴ MC AB＝ AC BD， ∴MC＝ AB·AC BD ＝ 9 2. 13. (1)证明：∵AE 和 BD 相交于点 O， ∴∠AOD＝∠BOE， 在△AOD 和△BOE 中，∠A＝∠B， ∴∠BEO＝∠2， 又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠BEO， ∴∠AEC＝∠BED， 在△AEC 和△BED 中， {∠A＝∠B AE＝BE ∠AEC＝∠BED ， ∴△AEC≌△BED(ASA)； (2)解：∵△AEC≌△BED， ∴EC＝ED，∠C＝∠BDE， ∵在△EDC 中，EC＝ED，∠1＝42°， ∴∠C＝∠EDC＝69°，11 ∴∠BDE＝∠C＝69°. 14. (1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠CFE， 又∵∠AED＝∠FEC，DE＝CE， ∴△ADE≌△FCE(AAS)； (2)解：由(1)知，△ADE≌△FCE， ∴AD＝FC， ∵在▱ABCD 中，AD＝BC，AB＝2BC， ∴AB＝FB， ∴∠BAF＝∠F＝36°， ∴∠B＝180°－2×36°＝108°. 15. (1)证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF， ∴在△ABE 与△CDF 中， {AB＝CD ∠ABE＝∠CDF BE＝DF ， ∴△ABE≌△CDF(SAS)， ∴AE＝CF； (2)解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AO＝OB， ∵∠COD＝60°， ∴∠AOB＝60°， ∴△AOB 为等边三角形， ∴AO＝AB＝6，12 ∴AC＝12， 在 Rt△ABC 中，由勾股定理可得 BC＝ AC2－AB2＝6 3， ∴矩形 ABCD 的面积＝AB·BC＝6×6 3＝36 3. 16. (1)证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝∠C， 在△ABD 和△CAE 中， {AB＝CA ∠BAD＝∠C AD＝CE ， ∴△ABD≌△CAE(SAS)； (2)解：∵△ABD≌△CAE， ∴∠ABD＝∠CAE， ∴∠APD＝∠ABP＋∠PAB＝∠BAC＝60°， ∴∠BPF＝∠APD＝60°， ∴在 Rt△BFP 中，∠PBF＝30°， ∴PF＝ 1 2BP＝ 1 2×6＝3. 能力提升训练 1. C　【解析】∵CE⊥BD，∴∠BEF＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠CAF＝90°，∴∠FAC＝∠BAD ＝90°，∠ABD＋∠F＝90°，∠ACF＋∠F＝90°，∴∠ABD＝∠ACF，∵在△ABD 和△ACF 中， {∠BAD＝∠CAF AB＝AC ∠ABD＝∠ACF ，∴△ABD≌△ACF(ASA)，∴AD＝AF，∵AB＝AC，D 为 AC 中点，∴AB＝AC＝2AD ＝2AF，∵BF＝AB＋AF＝12，∴3AF＝12，∴AF＝4，∴AB＝AC＝2AF＝8，∴△FBC 的面积＝ 1 2 ×BF×AC＝ 1 2×12×8＝48. 2. C　【解析】∵△DAC、△ECB 都是等边三角形，∴AC＝CD，BC＝CE，∠ACD＝∠BCE＝ 60°，∴∠ADC＝∠DCE＝60°，∴∠ACE＝∠BCD，∵∠DCE＝60°，∴AD∥CE，∴∠DAP＝13 ∠PEC，故③正确；在△ACE 与△DCB 中，{AC＝CD ∠ACE＝∠BCD CE＝CB ，∴△ACE≌△DCB(SAS)，∴∠CAE＝ ∠CDB，又∵∠PMD＝∠AMC，∴∠DPM＝∠ACM＝60° ，故② 正确；在△ACM 与△DCN 中， {∠CAM＝∠CDN AC＝CD ∠ACM＝∠DCN＝60° ，∴△ACM≌△DCN(ASA)，故④正确；∴CM＝CN，∴△CMN 是等边三角 形，∴∠CMN＝60°，∴∠CMN＝∠ACD，∴MN∥AB，故①正确；∵∠DBE＝30°，∠BPE＝∠APD ＝60°，∴∠AEB＝90°，故⑤错误．综上所述，正确的个数是①②③④，共 4 个． 第 3 题解图 3. B　【解析】如解图，过点 P 分别作 OA、OB 的垂线 PC、PD，根据角平分线的性质可得 PC ＝PD，∵OP 为定值，∴OC＝OD，∵∠AOB 为定角，∠MPN 与∠AOB 互补，∴∠MPN 也为定角， ∵∠CPD 与∠AOB 也互补，∴∠MPN＝∠CPD，∴∠MPC＝∠NPD，∴△MPC≌△NPD，∴CM＝DN， MP＝NP，故(1)正确；∵OM＋ON＝OC＋CM＋OD－DN，∴OM＋ON＝OC＋OD，∵OC＝OD 为定长， ∴OM＋ON 为定长，故(2)正确；∵△MPC≌△NPD，∴S 四边形 MONP＝S△CMP＋S 四边形 CONP＝S△NPD＋ S 四边形 CONP＝S 四边形 CODP，∴四边形 MONP 面积为定值，故(3)正确；∵Rt△MPC 中，MP 为斜边， CP 为直角边，∴可设 MP＝k·CP，∴PN＝k·DP，∵∠MPN＝∠CPD，∴△MPN∽△CPD，其相 似比为 k，∴MN＝k·CD，当点 M 与点 C 重合，点 N 和点 D 重合时，MN＝CD，当点 M 与点 C 不重合，点 N 与点 D 不重合时，MN≠CD，∴MN 的长度在发生变化，故(4)错误． 4. (1)解：在△ABC 中，∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠BAC＝∠ABC＝45°， ∴AC＝BC＝AB·sin45°＝4， ∴在 Rt△BCE 中，CE＝ BE2－BC2＝3，14 ∴AE＝AC－CE＝4－3＝1； (2)证明：如解图，过 C 点作 CM⊥CF 交 BD 于点 M， 第 4 题解图 ∴∠FCM＝90°， ∴∠FCA＝∠MCB， ∵AF⊥BD， ∴∠AFB＝90°， ∴∠AFE＝∠ACB， ∵∠AEF＝∠BEC， ∴∠CAF＝∠CBM， 在△ACF 和△BCM 中， {∠FCA＝∠MCB AC＝BC ∠CAF＝∠CBM ， ∴△ACF≌△BCM(ASA)， ∴FC＝MC， 又∵∠FCM＝90°， ∴∠CFM＝∠CMF＝45°， ∴∠AFC＝∠AFB＋∠CFM＝90°＋45°＝135°， ∠DFC＝180°－∠CFM＝180°－45°＝135°， ∴∠AFC＝∠DFC， 在△ACF 和△DCF 中，15 {AF＝DF ∠AFC＝∠DFC CF＝CF ， ∴△ACF≌△DCF(SAS)， ∴AC＝DC， ∵AC＝BC， ∴DC＝BC. 5. 解：(1)证明：①∵AB⊥AD，AE⊥AC， ∴∠BAD＝∠CAE＝90°， ∴∠BAD－∠CAD＝∠CAE－∠CAD， 即∠BAC＝∠DAE， 又∵AB＝AD，AC＝AE， ∴△ABC≌△ADE(SAS)； ②由①知△ABC≌△ADE，AE＝AC，∠ACB＝∠AED， ∵AH⊥CD， ∴∠AED＝∠ACD＝45°，CH＝HE， ∴∠ACB＝∠AED＝45°， ∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°， ∴AH∥BC， ∴点 F 是 BE 的中点，即 BF＝EF； 第 5 题解图 (2)成立．证明如下：如解图，过点 B 作 BG∥AE，交 AH 于点 G， ∵AE∥BG，16 ∴∠AGB＝∠GAE， ∵∠ACH＋∠CAH＝90°，∠GAE＋∠CAH＝90°， ∴∠ACH＝∠GAE， ∴∠AGB＝∠ACD， ∵∠BAG＋∠DAH＝90°，∠ADC＋∠DAH＝90°， ∴∠BAG＝∠ADC， 又∵AB＝AD， ∴△ABG≌△DAC(AAS)， ∴BG＝AC， ∵AC＝AE， ∴BG＝AE， ∵BG∥AE， ∴∠AEF＝∠GBF， ∴△BFG≌△EFA(AAS)， ∴BF＝EF. 拓展培优训练 1. 70°　【解析】如解图①，在 BC 上取 CD＝AC，连接 BI、DI，∵CI 平分∠ACB，∴∠ACI ＝∠BCI，在△ACI 与△DCI 中，{AC＝CD ∠ACI＝∠DCI CI＝CI ，∴△ACI≌△DCI(SAS)，∴AI＝DI，∠CAI＝ ∠CDI，∵BC＝AI＋AC，∴BD＝AI，∴BD＝DI，∴∠IBD＝∠BID，∴∠CDI＝∠IBD＋∠BID＝ 2∠IBD，又∵AI、CI 分别是∠BAC、∠ACB的平分线，∴BI 是∠ABC 的平分线，∴∠ABC＝2∠IBD， ∠BAC＝2∠CAI，∴∠CDI＝∠ABC，∴∠BAC＝2∠CAI＝2∠CDI＝2∠ABC，∵∠B＝35°， ∴∠BAC＝35°×2＝70°.17 【一题多解】如解图②，延长 CA 到 D，使 AD＝AI，∴∠D＝∠AID，∵BC＝AI＋AC，∴BC＝ CD，在△BCI 与△DCI 中，{BC＝CD ∠BCI＝∠DCI CI＝CI ，∴△BCI≌△DCI(SAS)，∴∠D＝∠CBI，∵AI、CI 分别是∠BAC、∠ACB的平分线，∴BI 是∠ABC 的平分线，∴∠ABC＝2∠CBI，又∵∠CAI＝∠D ＋∠AID＝2∠D，∠BAC＝2∠CAI＝2∠ABC，∵∠B＝35°，∴∠BAC＝2×35°＝70°.