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第三单元 函数
第十四课时 二次函数的实际应用
1. (8 分)(2017 眉山)东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)
的产品每天生产 76 件，每件利润 10 元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品
每件利润增加 2 元．
(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为 14 元，此批次蛋糕属第几档次产品；
(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少 4 件，若生产的某档次
产品一天的总利润为 1080 元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？
2. (8 分)(2017 济宁)某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个 30 元，市场
调查发现，这种双肩包每天的销售量 y(单位：个)与销售单价 x(单位：元)有如下关系：
y＝－x＋60(30≤x≤60)．
设这种双肩包每天的销售利润为 w 元．
(1)求 w 与 x 之间的函数解析式；
(2)这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于 48 元，该商店销售这种双肩包每天要获
得 200 元的销售利润，销售单价应定为多少元？
3. (8 分)(2017 成都)随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的
选择．李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的 A，B，C，D，E 中的某一站出
地铁，再骑共享单车回家．设他出地铁的站点与文化宫的距离为 x(单位：千米)，乘坐地铁
的时间 y1(单位：分钟)是关于 x 的一次函数，其关系如下表：
地铁站 A B C D E
x(千米) 8 9 10 11.5 13
y1(分钟) 18 20 22 25 28
(1)求 y1 关于 x 的函数表达式；2
(2)李华骑单车的时间 y2(单位：分钟)也受 x 的影响，其关系可以用 y2＝
1
2x2－11x＋78 来描
述．请问：李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫站回到家所需要的时间最短？并
求出最短时间．
4. (8 分)(2017 青岛)青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格
比淡季上涨
1
3.下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：
淡季 旺季
未入住房间数 10 0
日总收入(元) 24000 40000
(1)该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？
(2)今年旺季来临，豪华间的间数不变．经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季价
格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加 25 元，每天未入住房间数增加 1
间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高
日总收入是多少元？
5. (9 分)(2017 河北)某厂按用户的月需求量 x(件)完成一件产品的生产，其中 x>0.每件的
售价为 18 万元，每件的成本 y(万元)是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动
价与月需要量 x(件)成反比．经市场调研发现，月需求量 x 与月份 n(n 为整数，1≤n≤12)
符合关系式 x＝2n2－2kn＋9(k＋3)(k 为常数)，且得到了表中的数据．
月份 n(月) 1 2
成本 y(万元/件) 11 12
需求量 x(件/月) 120 100
(1)求 y 与 x 满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是 12 万元；
(2)求 k，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；
(3)在这一年 12 个月中，若第 m 个月和第(m＋1)个月的利润相差最大，求 m.
6.(9 分)(2017 南雅中学一模)九年级(3)班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第3
x 天(1≤x≤90，且 x 为整数)的售价与销售量的相关信息如下，已知商品的进价为 30 元/件，
设该商品的售价为 y(单位：元/件)，每天的销售量为 p(单位：件)，每天的销售利润为 w(单
位：元).
时间 x(天) 1 30 60 90
每天销售量 p(件) 198 140 80 20
(1)求出 w 与 x 的函数关系式；
(2)问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；
(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于 5600 元？请直接写出结果．
第 6 题图
答案
1. 解：(1)当每件蛋糕利润是 14 元时，提高了(14－10)÷2＝2 个档次，
∵提高 2 个档次，
∴此批次蛋糕属第 3 档次产品；
(2)设烘焙店生产的是第 x 档次的产品，则每件的利润为 10＋2(x－1)，每天的产量为 76－
4(x－1)，
由题意可得[10＋2(x－1)][76－4(x－1)]＝1080，
整理得 8x2－128x＋440＝0，
解得 x1＝5，x2＝11(∵11＞6，不符合题意，舍去)，
答：该烘焙店生产的是第 5 档次的产品．
2. 解：(1)w＝(x－30)·y＝(x－30)·(－x＋60)＝－x2＋90x－1800，
∴w 与 x 的函数关系式为 w＝－x2＋90x－1800(30≤x≤60)；4
(2)w＝－x2＋90x－1800＝－(x－45)2＋225，
∴当 x＝45 时，w 有最大值，w 最大值为 225，
答：销售单价定为 45 元时，每天销售利润最大，最大销售利润 225 元；
(3)当 w＝200 时，可列方程－(x－45)2＋225＝200，
解得 x1＝40，x2＝50，
∵50＞48，
∴x2＝50(不符合题意，应舍去)，
答：该商店销售这种双肩包每天想要获得 200 元的销售利润，销售单价应定为 40 元．
3. 解：(1)设一次函数为 y1＝kx＋b(k≠0)，
将 x＝8，y＝18 和 x＝9，y＝20 代入，
得{8k＋b＝18
9k＋b＝20，解得{k＝2
b＝2 ，
∴y1 与 x 的函数关系式为 y1＝2x＋2；
(2)设李华从文化宫乘地铁和骑单车回家共需 y 分钟，
∵y2＝
1
2x2－11x＋78，
∴y＝y1＋y2＝
1
2x2－9x＋80＝
1
2(x－9)2＋
79
2 ，
∵
1
2>0，
∴当 x＝9 时，y 最小＝
79
2 (分钟)，
答：李华应选择在 B 站出地铁，才能使他从文化宫回到家的时间最短，最短时间为
79
2 分
钟．
4. 解：(1)设该酒店有豪华间 a 间，则：
40000
a ＝
24000
a－10(1＋
1
3)，
解得 a＝50，
经检验 a＝50 是原方程的解，符合题意，
∴旺季每间＝40000÷50＝800(元)，
答：该酒店豪华间有 50 间，旺季每间价格为 800 元；5
(2)设该酒店豪华间上涨 x 元，日总收入为 w 元，则
w＝(x＋800)(50－
x
25)＝－
1
25x2＋18x＋40000＝－
1
25(x－225)2＋42025，
∵－
1
25＜0，
∴当 x＝225 时，w 有最大值，此时 wmax＝42025，
答：当每间价格上涨 225 元时，日总收入最高，最高总收入为 42025 元．
5. 解：(1)由题意，设 y＝a＋
b
x，由表中数据，
得{11＝a＋
b
120
12＝a＋
b
100
，解得{a＝6
b＝600，
∴y＝6＋
600
x ，
由题意，若 12＝18－(6＋
600
x )，
则
600
x ＝0，∵x>0，∴
600
x >0，
∴一件产品的利润不可能是 12 万元；
(2)将 n＝1，x＝120 代入 x＝2n2－2kn＋9(k＋3)，得 120＝2－2k＋9k＋27，
解得 k＝13，
将 n＝2，x＝100 代入 x＝2n2－2kn＋9(k＋3)，得 100＝8－4k＋9(k＋3)，
解得 k＝13，
由题意，得 18＝6＋
600
x ，解得 x＝50，
∴50＝2n2－26n＋144，即 n2－13n＋47＝0，
∵b2－4ac＝(－13)2－4×1×47
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