1
第七单元 图形的变化
第 27 课时 图形的平移、对称、旋转与相似
基础达标训练
1. 关注传统文化甲骨文是中国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，是轴
对称图形的是( )
2. (2017 无锡)下列图形中，是中心对称图形的是( )
3. (2017 广东省卷)下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 等边三角形 B. 平行四边形
C. 正五边形 D. 圆
4.(2017 枣庄)将数字“6”旋转 180°，得到数字“9”；将数字“9”旋转 180°，得到数字
“6” .现将数字“69”旋转 180°，得到的数字是( )
A. 96 B. 69 C. 66 D. 99
5. (2017 天津)如图，将△ABC 绕点 B 顺时针旋转 60°得△DBE，点 C 的对应点 E 恰好落在 AB
的延长线上，连接 AD，
第 5 题图2
下列结论一定正确的是( )
A. ∠ABD＝∠E
B. ∠CBE＝∠C
C. AD∥BC
D. AD＝BC
6. (2017 烟台)如图，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为 1，△AOB 与△A′OB′是以
原点 O 为相似中心的相似图形，且相似比为 3∶2，点 A，B 都在格点上，则点 B′的坐标是
________．
第 6 题图 第 7 题图 第 8 题图
7. (2017 兰州)如图，四边形 ABCD 与四边形 EFGH 相似，相似中心是点 O，
OE
OA＝
3
5，则
FG
BC＝
________．
8. (2017 山西)如图，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(0，4)， B(－1，1)， C(－2，
2)．将△ABC 向右平移 4 个单位，得到△A′B′C′，点 A，B，C 的对应点分别为 A′，B′，
C′，再将△A′B′C′绕点 B′顺时针旋转 90°，得到△A″B″C″，点 A′，B′，C′的
对应点分别为 A″，B″，C″，则点 A″的坐标为________．
9. (2017 黄冈)已知：如图，在△AOB 中，∠AOB＝90°，AO＝3 cm，BO＝4 cm，将△AOB 绕
顶点 O，按顺时针方向旋转到△A1OB1 处，此时线段 OB1 与 AB 的交点 D 恰好为 AB 的中点，则
线段 B1D＝________ cm.3
第 9 题图 第 10 题图
10. (2017 随州)如图，∠AOB 的边 OB 与 x 轴正半轴重合，点 P 是 OA 上的一动点，点 N(3，
0)是 OB 上的一定点，点 M 是 ON 的中点，∠AOB＝30°，要使 PM＋PN 最小，则点 P 的坐标为
________．
11. (8 分)(2017 衡阳)如图，方格图中每个小正方形的边长为 1，点 A、B、C 都是格点．
(1)画出△ABC 关于直线 BM 对称的△A1B1C1；
(2)写出 AA1 的长度．
第 11 题图
12. (8 分)(2017 安徽)如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点
△ABC 和△DEF(顶点为网格线的交点)，以及过格点的直线 l.
(1)将△ABC 向右平移两个单位长度，再向下平移两个单位长度，画出平移后的三角形；
(2)画出△DEF 关于直线 l 对称的三角形；
(3)填空：∠C＋∠E＝________°.4
第 12 题图
13. (8 分)(2017 梅溪湖中学月考)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标
分别为 A(－1，2)，B(－3，4)，C(－2，6)．
(1)画出△ABC 绕点 A 顺时针旋转 90°后得到△A1B1C1；
(2)以原点 O 为相似中心，在图中画出将△A1B1C1 三条边放大为原来的 2 倍后的△A2B2C2，并
写出 A2、B2、C2 的坐标．
第 13 题图
能力提升训练
1. (2017 天水)下列给出的函数中，其图象是中心对称图形的是( )
①函数 y＝x；②函数 y＝x2；③函数 y＝
1
x
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. 都不是
2.(2017 株洲)如图，点 E、F、G、H 分别为四边形 ABCD 四条边 AB、BC、CD、DA 的中点，则
关于四边形 EFGH，5
第 2 题图
下列说法正确的是( )
A. 一定不是平行四边形
B. 一定不是中心对称图形
C. 可能是轴对称图形
D. 当 AC＝BD 时，它为矩形
3. (2017 河北)图①和图②中所有的小正方形都全等，将图①的正方形放在图②中①②③④
的某一位置，使它与原来 7 个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是( )
第 3 题图
A. ① B. ② C. ③ D. ④
4. (9 分)(2017 襄阳)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是中线，AC＝BC.一个以点 D 为
顶点的 45°角绕点 D 旋转，使角的两边分别与 AC，BC 的延长线相交，交点分别为点 E，F, DF
与 AC 交于点 M，DE 与 BC 交于点 N.
(1)如图①，若 CE＝CF，求证：DE＝DF；
(2)如图②，在∠EDF 绕点 D 旋转的过程中：
①探究三条线段 AB，CE，CF 之间的数量关系，并说明理由；
②若 CE＝4，CF＝2，求 DN 的长．6
第 4 题图
答案
1.C 【解析】轴对称图形即将一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分完全重合，由此
可知，只有 C 选项是轴对称图形．
2. C 【解析】A，B，D 是轴对称图形，不是中心对称图形，C 既是轴对称图形，也是中心
对称图形．
3.D 【解析】等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；平行四边形不是轴对称图形，
是中心对称图形；正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形；圆既是轴对称图形又是中
心对称图形．
4. B 【解析】将两位数“69”看作整体，旋转 180°，得到的数字是 69.
5. C 【解析】根据旋转的性质得∠C＝∠E，AB＝BD，∠ABC＝∠EBD，
∴∠ABC－∠DBC＝∠EBD－∠DBC，即∠ABD＝∠EBC＝60°，∵AB＝BD，∴△ABD 是等边三角
形，∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝BD，∴∠DAB＝∠EBC＝60°，∴AD∥BC.
6. (－2，
4
3) 【解析】由题图可知点 B(3，－2)，相似比 3∶2，则点 B′的横坐标－
(3×
2
3)＝－2，纵坐标－(－2×
2
3)＝
4
3，∴点 B′的坐标是(－2，
4
3 )．
7.
3
5 【解析】∵四边形 ABCD 与四边形 EFGH 相似，且相似中心为 O 点，
OE
OA＝
3
5，∴相似比
是
3
5，而 FG 和 BC 分别是对应边，∴
FG
BC＝
3
5.
8. (6，0) 【解析】如解图，点 A(0，4)，B(－1，1)向右平移 4 个单位得点 A′(4，4)，
B′(3，1)，再绕点 B′顺时针旋转 90°得点 A″(6，0)．7
9.
3
2 【解析】∵∠AOB＝90°，AO＝3 cm，OB＝4 cm，∴AB＝ AO2＋OB2＝5 cm，∵△A1OB1
是由△AOB 旋转得到的，∴OB＝OB1＝4 cm，∵D 为 Rt△AOB 中 AB 边上的中点，∴OD＝
1
2AB＝
5
2，∴B1D＝OB1－OD＝
3
2 cm.
10. (
3
2，
3
2 ) 【解析】如解图，设点 M 关于 OA 的对称点为 M′，过点 M′作 M′C⊥x 轴，
垂足为点 C.连接 M′N 交 OA 与点 P，连接 MP.由对称点的性质可知：PM′＝PM，∠BOA＝∠
M′OA＝30°.∴∠M′OC＝60°，∵点 M 与点 M′关于 OA 对称，∴OA 垂直平分 MM′，∴OM＝
OM′，∴MP＋PN＝PM′＋PM，即当点 M′、P、N 在一条直线上时，PM＋PN 最小，∵N(3，0)，
M 为 ON 的中点，
∴OM′＝OM＝
3
2，∴OC＝
3
4，CM′＝
3 3
4 .设直线 M′N 的解析式为 y＝kx＋b(k≠0)，将点 M′
和点 N 的坐标代入得：{3k＋b＝0
3
4k＋b＝
3 3
4
，解得 k＝－
3
3 ，b＝ 3，∴M′N 的解析式为 y＝－
3
3
x＋ 3，∵∠AOB＝30°，∴直线 OA 的解析式为 y＝
3
3 x，将 y＝－
3
3 x＋ 3与 y＝
3
3 x
联立，解得：x＝
3
2，y＝
3
2 ，∴点 P 的坐标为(
3
2，
3
2 )．8
11. 解：(1)如解图所示；
(2)如解图可知 AA1＝10.
12. 解：(1)如解图所示；
(2)如解图所示；
(3)45.
【解法提示】根据平移和轴对称变换不改变图形的形状和大小，
∴∠C＋∠E＝∠A′C′F′，
∵△A′C′F′在边长为 1 个长度单位的小正方形组成的网格中的格点三角形，则 A′C′＝
5，A′F′＝ 5，F′C′＝ 10，A′C′2＋A′F′2＝F′C′2，
∴△A′C′F′是直角三角形，
又∵A′C′＝A′F′，
∴△A′C′F′是等腰直角三角形，9
∴∠C＋∠E＝∠A′C′F′＝45°.
13. 解：(1)如解图，△A1B1C1 即为所求；
(2)如解图，△A2B2C2 即为所求，点 A2、B2、C2 的坐标分别为 A2(－2，4)，B2(2，8)，C2(6，
6)．
能力提升训练
1. C 【解析】函数 y＝x 与 y＝
1
x的图象关于原点中心对称，则其图象是中心对称图形，函
数 y＝x2 关于 y 轴对称，其图象是轴对称图形．
2. C 【解析】连接 BD，则 GF 是△CDB 的中位线，∴GF 平行且等于 DB 的一半，同理，EH
平行且等于 DB 的一半，∴GF 平行且等于 EH，∴四边形 EFGH 是平行四边形，∴A 错误；平
行四边形是中心对称图形，∴B 错误；当 AC＝BD 时，平行四边形 EFGH 是菱形，菱形是轴对
称图形，∴C 正确；当 AC＝BD 时，平行四边形 EFGH 是菱形，不一定是矩形，∴D 错误．
3. C 【解析】将图形绕着某个点旋转 180°后，能够与本身重合的图形就是中心对称图形，10
只有将小正方形放在③的位置才能使它与原来 7 个小正方形组成的图形是中心对称图形．
4. (1)证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AD＝BD，
∴∠BCD＝∠ACD＝45°，∠BCE＝∠ACF＝90°，
∴∠BCD＋∠BCE＝∠ACD＋∠ACF，即∠DCE＝∠DCF＝135°，
又∵CE＝CF，CD＝CD，
∴△DCE≌△DCF(SAS)，
∴DE＝DF；
(2)解：①AB2＝4CE·CF.理由如下：
∵∠DCF＝∠DCE＝135°，
∴∠CDF＋∠F＝180°－135°＝45°，
又∵∠CDF＋∠CDE＝45°，
∴∠F＝∠CDE，
∴△CDF∽△CED，
∴
CD
CE＝
CF
CD，即 CD2＝CE·CF，
∵∠ACB＝90°，AD＝BD，
∴CD＝
1
2AB，
∴AB2＝4CE·CF；
②如解图，过点 D 作 DG⊥BC 于点 G，则∠DGN＝∠ECN＝90°，CG＝DG，
当 CE＝4，CF＝2 时，由 CD2＝CE·CF，
得 CD＝2 2，11
在 Rt△DCG 中，CG＝DG＝CD·sin∠DCG＝2 2×sin45°＝2，
∵∠ECN＝∠DGN，∠ENC＝∠DNG，
∴△CEN∽△GDN，
∴
CN
GN＝
CE
DG＝
4
2＝2，
∴GN＝
1
3CG＝
2
3，
∴DN＝ GN2＋DG2＝ （
2
3）2＋22＝
2 10
3 .
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