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第四单元 三角形
第十八课时 等腰三角形与直角三角形
基础达标训练
1. 若等腰三角形的两边长为 3 和 7，则该等腰三角形的周长为( )
A. 10 B. 13 C. 17 D. 13 或 17
2. (2017 滨州)如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 为 BC 上一点，且 DA＝DC，BD＝BA，则∠B 的
大小为( )
A. 40° B. 36° C. 30° D. 25°
第 2 题图 第 3 题图
3. (2017 荆州)如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝30°，AB 的垂直平分线 l 交 AC 于点 D，
则∠CBD 的度数为( )
A. 30° B. 45° C. 50° D. 75°
4. 如图，等边△OAB 的边长为 2，则点 B 的坐标为( )
A. (1，1) B. ( 3，1) C. ( 3， 3) D. (1， 3)
第 4 题图 第 5 题图
5. 如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE 是角平分线，则图中的等腰三角形共有2
( )
A. 8 个 B. 7 个 C. 6 个 D. 5 个
6. (2017 大连)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为 D，点 E 是 AB 的中点，CD
＝DE＝a，则 AB 的长为( )
A. 2a B. 2 2a C. 3a D.
4 3
3 a
第 6 题图 第 7 题图
7. 如图，在△ABC 中，D 是 BC 上一点，AB＝AD，E、F 分别是 AC、BD 的中点，EF＝2，则 AC
的长是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
第 8 题图
8. (2017 滨州)如图，在△ABC 中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点 D 是 CB 延长线上的一点，且
BD＝BA，则 tan∠DAC 的值为( )
A. 2＋ 3 B. 2 3 C. 3＋ 3 D. 3 3
9. 关注数学文化(2017 荆州)《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，来折抵
地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10 尺)，一阵风将竹
子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部 6 尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折
断处离地面的高度为 x 尺，则可列方程为( )
A. x2－6＝(10－x)2 B. x2－62＝(10－x)2
C. x2＋6＝(10－x)2 D. x2＋62＝(10－x)23
10. (2017 丽水)等腰三角形的一个内角为 100°，则顶角的度数是________．
11. (2017 淮安)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D，E 分别是 AB，AC 的中点，点 F
是 AD 的中点，若 AB＝8，则 EF＝________．
第 11 题图 第 12 题图
12. (2017 益阳)如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝36°，DE 是线段 AC 的垂直平分线，
若 BE＝a，AE＝b，则用含 a、b 的代数式表示△ABC 的周长为________．
13. (2017 绥化)在等腰△ABC 中，AD⊥BC 交直线 BC 于点 D，若 AD＝
1
2BC，则△ABC 的顶角的
度数为________．
14. (2017 淄博)在边长为 4 的等边三角形 ABC 中，D 为 BC 边上的任意一点，过点 D 分别作
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，则 DE＋DF＝________．
15.在△ABC 中，BC＝2，AB＝2 3，AC＝b，且关于 x 的方程 x2－4x＋b＝0 有两个相等的实
数根，则 AC 边上的中线长为________．
16. (2017 常德)如图，已知 Rt△ABE 中，∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D 是线段 AE 上
的 一 动 点 ， 过 D 作 CD 交 BE 于 C ， 并 使 得 ∠CDE ＝ 30° ， 则 CD 长 度 的 取 值 范 围 是
________．
第 16 题图 第 17 题图 4
17. 如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，点 D 为 AC 的中点，点 E，F 分别
是线段 AB，CB 上的动点，且∠EDF＝90°，若 ED 的长为 m，则△BEF 的周长是________(用
含 m 的代数式表示)．
18. (6 分)(2017 北京)如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D.
求证：AD＝BC.
第 18 题图
19. (8 分)在△ABC 中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC 的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过
程．
第 19 题图
能力提升训练
1. (2017 海南)已知△ABC 的三边长分别为 4、4、6，在△ABC 所在平面内画一条直线，将△ABC
分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可能( )条．
A. 3 B. 4 C. 5 D. 65
第 2 题图
2. (2017 台州)如图，已知等腰三角形 ABC，AB＝AC. 若以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，
交腰 AC 于点 E，则下列结论一定正确的是( )
A. AE＝EC B. AE＝BE
C. ∠EBC＝∠BAC D. ∠EBC＝∠ABE
3. 如图，△ABC 是等边三角形，BD 平分∠ABC，点 E 在 BC 的延长线上，且 CE＝1，∠E＝
30°，则 BC＝________．
第 3 题图 第 4 题图
4. (2017 杭州)如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点 D 在边 AC 上，AD
＝5，DE⊥BC 于点 E，连接 AE，则△ABE 的面积等于________．
5. 若点 P 是△ABC 内一点，且它到三角形三个顶点的距离之和最小，则 P 点叫△ABC 的费马
点(Fermat point)．
已经证明：在三个内角均小于 120°的△ABC 中，当∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°时，P 就
是△ABC 的费马点．若点 P 是腰长为 2的等腰直角三角形 DEF 的费马点，则 PD＋PE＋PF＝
________．
拓展培优训练
1. (2017 杭州)如图，在△ABC 中，AB＝AC，BC＝12，E 为 AC 边的中点，6
第 1 题图
线段 BE 的垂直平分线交边 BC 于点 D. 设 BD＝x，tan∠ACB＝y，则( )
A. x－y2＝3
B. 2x－y2＝9
C. 3x－y2＝15
D. 4x－y2＝21
2. 已知等腰三角形顶角为 36°，则底与腰的比值等于________．
答案
1. C 【解析】当 3 为底边时，其它两边都为 7，3、7、7 可以构成三角形，周长为 17；当
3 为腰时，其他两边为 3 和 7，∵3＋3＝6＜7，∴不能构成三角形，故舍去，∴该等腰三角
形的周长为 17.
2. B 【解析】设∠C＝x，∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠C＝x，∴∠ADB＝2x，∵AB＝BD，∴∠BAD
＝∠ADB＝2x，∴∠B＝180°－4x，∵BA＝AC，∴∠B＝∠C，∴180°－4x＝x，解得 x＝
36°，∴∠B＝∠C＝36°.
3. B 【解析】∵∠A＝30°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝75°，又∵l 为 AB 的垂直平分线，∴
DB＝DA，∴∠DBA＝∠A＝30°，∴∠CBD＝∠CBA－∠DBA＝75°－30°＝45°.7
第 4 题解图
4. D 【解析】如解图，过点 B 作 BC⊥AO 于点 C，∵△AOB 是等边三角形，∴OC＝
1
2AO＝1，∴
在 Rt△BOC 中，BC＝ OB2－OC2＝ 3，∴B 点的坐标为(1， 3)．
5. A 【解析】∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝
1
2(180°－∠A)＝72°，∵BD，CE
是角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝
1
2∠ABC＝36°，∠ACE＝∠ECB＝36°，∴∠A＝∠ABD＝∠
ACE，∠DBC＝∠ECB，∴∠BDC＝180°－∠ACB－∠DBC＝180°－72°－36°＝72°，同理∠
BEC＝72°，∴∠BDC＝∠ACB，∠BEC＝∠EBC，∴∠EOB＝180°－∠BEC－∠EBD＝180°－72°
－36°＝72°，同理∠ DOC＝72°，∴∠BEO＝∠BOE，∠CDO＝∠COD，即等腰三角形有△
OBC，△ADB，△AEC，△BEC，△BDC，△ABC，△EBO，△DCO，共 8 个．
6.B 【解析】在 Rt△CDE 中，CD＝DE＝a，∴DE＝ CD2＋DE2＝ a2＋a2＝ 2a，∵点 E 为
Rt△ACB 斜边 AB 的中点，∴CE＝AE＝BE＝
1
2AB，∴AB＝2CE＝2 2a.
第 7 题解图
7. B 【解析】如解图，连接 AF，∵AB＝AD，F 是 BD 的中点，∴AF⊥BD，∵在 Rt△ACF 中，∠
AFC＝90°，E 是 AC 的中点，EF＝2，∴AC＝2EF＝4.
8. A 【解析】设 AC＝x，∵AC⊥BC，∠ABC＝30°，∴AB＝2x，BC＝ 3x，∵AB＝BD，∴BD
＝2x，∴CD＝BC＋BD＝(2＋ 3)x，∵tan∠DAC＝
CD
AC，∴tan∠DAC＝
（2＋ 3）x
x ＝2＋ 3.8
第 9 题解图
9. D 【解析】如解图，在直角三角形 ABC 中，利用勾股定理，列方程为 x2＋62＝(10－
x)2.
10.100° 【解析】由三角形内角和定理可知，若等腰三角形的一个内角为 100°，则这个
内角为顶角，此时两底角均为 40°，即该三角形顶角的度数是 100°.
11. 2 【解析】在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D 是 AB 的中点，∴CD＝
1
2AB＝4，∵点 E
是 AC 的中点，点 F 是 AD 的中点，∴EF 是△ADC 的中位线，∴EF＝
1
2CD＝2.
12. 2a＋3b 【解析】∵在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∵DE
垂直平分 AC，∴CE＝AE，∠ECA＝∠A＝36°，∴∠BEC＝∠A＋∠ECA＝72°，∴∠BEC＝∠
B，∴CE＝BC＝b，∴△ABC 的周长为 AB＋AC＋BC＝2AB＋BC＝2(a＋b)＋b＝2a＋3b.
13. 30°，90°或 150° 【解析】如解图，
第 13 题解图
解图①中△ABC 是等腰直角三角形，∴顶角是 90°，解图②中 AC＝BC，在直角三角形 ADC
中，AD＝
1
2AC，∴∠ACD＝30°，∴∠ACB＝180°－∠ACD＝150°，解图③中，AC＝BC，在直
角三角形 ADC 中，AD＝
1
2AC，∴∠ACD＝30°，综上所述，△ABC 顶角的度数分别是 30°，90
°或 150°.
14. 2 3 【解析】假设点 D 与点 B 重合，可得 DE＋DF 为等边三角形 AC 边上的高，再由等9
边三角形的边长为 4，根据勾股定理得 AC 边上的高为 2 3.
15. 2 【解析】∵方程 x2－4x＋b＝0 有两个相等的实数根，∴Δ＝16－4b＝0，解得 b＝
4，又∵BC＝2，AB＝2 3，AC＝b＝4，∴AB2＋BC2＝(2 3)2＋22＝42＝AC2，∴∠B＝90°，∴
AC 边上的中线长为 2.
第 16 题解图
16. 0
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