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第二单元 方程（组）与不等式（组）
第八课时 一元二次方程及其应用
基础达标训练
1. (2017 广东省卷)如果 2 是方程 x2－3x＋k＝0 的一个根，则常数 k 的值为( )
A. 1 B. 2 C. －1 D. －2
2. (2017 舟山)用配方法解方程 x2＋2x－1＝0 时 ，配方结果正确的是( )
A. (x＋2)2＝2 B. (x＋1)2＝2
C. (x＋2)2＝3 D. (x＋1)2＝3
3. (2017 扬州)一元二次方程 x2－7x－2＝0 的实数根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 不能确定
4. (2017 江西)已知一元二次方程 2x2－5x＋1＝0 的两个根为 x 1、x2，下列结论正确的是
( )
A. x2＋x2＝－
5
2 B. x1·x2＝1
C. x1，x2 都是有理数 D. x1，x2 都是正数
5. (2017 呼和浩特)关于 x 的一元二次方程 x2＋(a2－2a)x＋a－1＝0 的两个实数根互为相反
数，则 a 的值为( )
A. 2 B. 0 C. 1 D. 2 或 0
6. (2017 绵阳)关于 x 的方程 2x2＋mx＋n＝0 的两个根是－2 和 1，则 nm 的值为( )
A. －8 B. 8 C. 16 D. －16
7. (2017 杭州)某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014 年为 10.8 万人次，2016 年为
16.8 万人次．设参观人次的平均年增长率为 x，则( )
A. 10.8(1＋x)＝16.82
B. 16.8(1－x)＝10.8
C. 10.8(1＋x)2＝16.8
D. 10.8[(1＋x)＋(1＋x)2]＝16.8
8. (2017 兰州)王叔叔从市场上买了一块长 80 cm，宽 70 cm 的矩形铁皮，
第 8 题图
准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为 x cm 的正方形后，
剩余的部分刚好能围成一个底面积为 3000 cm2 的无盖长方体工具箱，根据题意可列方程为
( )
A. (80－x)(70－x)＝3000
B. 80×70－4x2＝3000
C. (80－2x)(70－2x)＝3000
D. 80×70－4x2－(70＋80)x＝3000
9. (2017 德州)方程 3x(x－1)＝2(x－1)的根为________．
10. (2017 菏泽)关于 x 的一元二次方程(k－1)x2＋6x＋k2－k＝0 的一个根是 0，则 k 的值是
________．
11. (2017 甘肃省卷)若关于 x 的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0 有实数根，则 k 的取值
范围是________．
12. (2017 南京)已知关于 x 的方程 x2＋px＋q＝0 的两根为－3 和－1，则 p＝________，q＝
________．
13. (5 分)(2017 丽水)解方程：(x－3)(x－1)＝3.
14. (5 分)(2017 兰州)解方程：2x2－4x－1＝0.
3
15. (8 分)(2017 黄冈)已知关于 x 的一元二次方程 x2＋(2k＋1)x＋k2＝0①有两个不相等的
实数根．
(1)求 k 的取值范围；
(2)设方程①的两个实数根分别为 x1，x2，当 k＝1，求 x21＋x 22的值．
16. 关注国家政策(8 分)(2017 烟台)今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，
开设了“足球大课间”活动．现需要购进 100 个某品牌的足球供学生使用，经调查，该品牌
足球 2015 年单价为 200 元，2017 年单价为 162 元．
(1)求 2015 年到 2017 年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；
(2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案：
试问去哪个商场购买足球更优惠？
15. (8 分)(2017 黄冈)已知关于 x 的一元二次方程 x2＋(2k＋1)x＋k2＝0①有两个不相等的
实数根．
(1)求 k 的取值范围；
(2)设方程①的两个实数根分别为 x1，x2，当 k＝1，求 x21＋x 22的值．4
16. (8 分)(2017 烟台)今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足
球大课间”活动．现需要购进 100 个某品牌的足球供学生使用，经调查，该品牌足球 2015
年单价为 200 元，2017 年单价为 162 元．
(1)求 2015 年到 2017 年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；
(2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案：
试问去哪个商场购买足球更优惠？
1. (2017 温州)我们知道方程 x2＋2x－3＝0 的解是 x1＝1，x2＝－3.现给出另一个方程
(2x＋3)2＋2(2x＋3)－3＝0，它的解是( )
A. x1＝1，x2＝3 B. x1＝1，x2＝－3
C. x1＝－1，x2＝3 D. x1＝－1，x2＝－3
2. 定义：如果一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足 a＋b＋c＝0，那么我们称这个
方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足 a－b＋c＝0，那么我们
称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐方程”又是“美好”方程，
则下列结论正确的是( )
A. 方程有两个相等的实数根
B. 方程有一根等于 0
C. 方程两根之和等于 0
D. 方程两根之积等于 0
3. (6 分)(2017 湘潭)由多项式乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到5
左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：
x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．
示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)
(1)尝试：分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋____)(x＋____)；
(2)应用：请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.
4. (8 分)(2017 杭州)在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为 1 时，它的
另一边长为 3.
(1)设矩形的相邻两边长分别为 x，y；
①求 y 关于 x 的函数表达式；
②当 y≥3 时，求 x 的取值范围；
(2)圆圆说其中有一个矩形的周长为 6，方方说有一个矩形的周长为 10.你认为圆圆和方方的
说法对吗？为什么？
5. (8 分)(2017 麓山国际实验学校三模)已知，关于 x 的一元二次方程 m2x2＋(2m＋1)x＋1＝
0 的两个实数根为 x1、x2.
(1)若方程的一个根是－1，求 m 的值；
(2)若 y＝(x1＋2)(x2＋2)，试求出 y 与 m 的函数关系式以及 m 的取值范围．6
拓展培优训练
1. 已知 b2－4ac 是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个实数根，则 ab 的取值范围为
( )
A. ab≥
1
8 B. ab≤
1
8 C. ab≥
1
4 D. ab≤
1
4
2. (9 分)已知关于 x 的一元二次方程(6－k)(9－k)x2－(117－15k)x＋54＝0 的两个根均为
整数，求所有满足条件的实数 k 的值．
答案
1. B 2. B 3. A 4. D
5. B 【解析】∵方程两根互为相反数，∴x1＋x2＝2a－a2＝0，故 a＝2 或 0，当 a＝2 时，
方程为 x2＋1＝0 根的判别式 b2－4ac＝－4＜0，方程无实数解，不合题意，舍去，故 a 的
值为 0.
6. C 【解析】∵方程 2x2＋mx＋n＝0 的两根分别为－2，1，由根与系数关系可知－
m
2＝－
1，
n
2＝－2，解得 m＝2，n＝－4，∴nm＝(－4)2＝16.
7. C 【解析】∵设平均年增长率为 x，2014 年为 10.8 万人次，则 2015 年为 10.8(1＋x)
万人次，2016 年为 10.8(1＋x)2 万人次，∴根据题意得，10.8(1＋x)2＝16.8.
8.C 【解析】无盖长方体工具箱底面矩形的长为(80－2x)cm，宽为(70－2x)cm，∴面积为
(80－2x)(70－2x)＝3000.
9. x1＝
2
3，x2＝1
10. 0 【解析】根据一元二次方程可得，k－1≠0，即 k≠1，将 x＝0 代入原方程得 k2－k＝
0，即 k(k－1)＝0，解得 k＝0 或 k＝1，∵k≠1，∴k＝0.
11. k≤5 且 k≠1 【 解 析 】 ∵ 一 元 二 次 方 程 (k － 1)x2 ＋ 4x ＋ 1 ＝ 0 有 实 数 根 ， ∴
{k－1 ≠ 0
b2－4ac ≥ 0，即{k ≠ 1
16－4（k－1） ≥ 0，解得 k≤5 且 k≠1.7
12. 4，3
13. 解：去括号，得 x2－4x＋3＝3，
移项合并，得 x2－4x＝0，
因式分解，得 x(x－4)＝0，
解得 x1＝0，x2＝4.
14. 解：化简，得 x2－2x＝
1
2，
配方，得(x－1)2＝
3
2，
解得 x1＝1－
6
2 ，x2＝1＋
6
2 .
15. 解：(1)∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴b2－4ac＝(2k＋1)2－4×1×k2＞0，
解得 k>－
1
4；
(2)当 k＝1 时，有 x2＋3x＋1＝0，
∵x1，x2 是方程的根，
∴x1＋x2＝－3，x1x2＝1，
∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝7.
16. 解：(1)设足球单价平均每年降低的百分率为 x，依题意得：
200(1－x)2＝162，
解得 x1＝1.9(舍去)，x2＝0.1＝10%，
答：足球单价平均每年降低的百分率为 10%；
(2)B 商场更优惠，理由如下：
∵A 商场买十送一，
∴可以买 91 个足球，送 9 个足球，正好 100 个，所需钱数为 162×91＝14742(元)，
∵B 商场全场九折，
∴所需钱数为 162×0.9×100＝14580(元)，
∴去 B 商场购买更优惠．8
能力提升训练
1. D 【解析】令 y＝2x＋3，则原方程变形为 y2＋2y－3＝0，解得 y1＝1，y2＝－3，∴2x＋
3＝1 或 2x＋3＝－3，解得 x1＝－1，x2＝－3.
2. C 【解析】∵把 x＝1 代入方程 ax2＋bx＋c＝0，得 a＋b＋c＝0，把 x＝－1 代入方程 ax2
＋bx＋c＝0，得 a－b＋c＝0，∴方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个根 x1＝1 和 x2＝－1，∴x1
＋x2＝0.
3. 解：(1)2，4(或 4，2)；
(2)x2－3x－4＝(x－4)(x＋1)＝0，
解得 x1＝4，x2＝－1.
4. 解：(1)①由题意得，1×3＝xy，
∴y 关于 x 的函数表达式为 y＝
3
x(x>0)；
②∵已知 y≥3，
∴
3
x≥3，即 x≤1，
∴0
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