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第五单元 四边形
第二十三课时 矩形、菱形、正方形
基础达标训练
1. 下列性质中菱形不一定具有的性质是( )
A. 对角线互相平分
B. 对角线互相垂直
C. 对角线相等
D. 既是轴对称图形又是中心对称图形
2.(2017 上海)已知平行四边形 ABCD，AC、BD 是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断
这个平行四边形为矩形的是( )
A. ∠BAC＝∠DCA B. ∠BAC＝∠DAC
C. ∠BAC＝∠ABD D. ∠BAC＝∠ADB
3. (2017 河南)如图，在▱ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，添加下列条件不能判定▱ABCD
是菱形的只有( )
第 3 题图
A. AC⊥BD
B. AB＝BC
C. AC＝BD
D. ∠1＝∠2
4. (2017 广安)下列说法：
①四边相等的四边形一定是菱形
②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形2
③对角线相等的四边形一定是矩形
④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分
其中正确的个数为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
5. (2017 兰州)如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，∠ADB＝30°，AB＝4，则 OC
＝( )
A. 5 B. 4 C. 3.5 D. 3
第 5 题图 第 6 题图
6. 如图，在△ABC 中，点 E、D、F 分别在边 AB、BC、CA 上，且 DE∥CA，DF∥BA.下列四个
判断中，不正确的是( )
A. 四边形 AEDF 是平行四边形
B. 如果∠BAC＝90°，那么四边形 AEDF 是矩形
C. 如果 AD 平分∠BAC，那么四边形 AEDF 是菱形
D. 如果 AD⊥BC 且 AB＝AC，那么四边形 AEDF 是正方形
7. (2017 淮安)如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB＝3，点 E 在边 BC 上，将△ABE 沿直线 AE 折
叠，点 B 恰好落在对角线 AC 上的点 F 处，若∠EAC＝ECA，则 AC 的长是( )
A. 3 3 B. 6 C. 4 D. 5
3
第 7 题图 第 8 题图
8. (2017 泸州)如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是边 BC 的中点，AE⊥BD，垂足为 F，则 tan∠BDE
的值是( )
A.
2
4 B.
1
4 C.
1
3 D.
2
3
9. 关注教学文化(2017 丽水)我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦
图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图①所示，在图②中，若正方形ABCD 的边长为 14，正方
形 IJKL 的边长为 2，且 IJ∥AB，则正方形 EFGH 的边长为________．
第 9 题图
10. (2017 徐州)如图，矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝3，点 Q 在对角线 AC 上，且 AQ＝AD，连
接 DQ 并延长，与边 BC 交于点 P，则线段 AP＝________．
第 10 题图 第 11 题图
11. (2017 十堰)如图，菱形 ABCD 中，AC，BD 交于点 O，DE⊥BC 于点 E，连接 OE，若∠ABC＝
140°，则∠OED＝________．
第 12 题图4
12. (2017 怀化)如图，在菱形 ABCD 中，∠ABC＝120°，AB＝10 cm，点 P 是这个菱形内部或
边上的一点，若以 P，B，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则 P，A(P，A 两点不重合)两点
间的最短距离为________cm.
第 13 题图
13. (6 分)(2017 岳阳)求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写
出证明过程．
已 知 ： 如 图 ， 在 ▱ABCD 中 ， 对 角 线 AC ， BD 交 于 点 O ， ___________ ． 求 证 ：
________________________________________________________________.
14. (8 分)(2017 邵阳)如图所示，已知平行四边形 ABCD，对角线 AC，BD 相交于点 O，∠OBC
＝∠OCB.
(1)求证：平行四边形 ABCD 是矩形；
(2)请添加一个条件使矩形 ABCD 为正方形．
第 14 题图
15. (8 分)(2017 盐城)如图，矩形 ABCD 中，∠ABD、∠CDB 的平分线 BE、DF 分别交边 AD、BC
于点 E、F.
(1)求证：四边形 BEDF 为平行四边形；
(2)当∠ABE 为多少度时，四边形 BEDF 是菱形？请说明理由．5
第 15 题图
16. (8 分)(2017 南雅中学第七次阶段检测)如图，四边形 ABCD 是边长为 6 的正方形，点 G
是 BC 延长线上一点，连接 AG，BE⊥AG 于点 E，DF⊥AG 于点 F.
(1)证明：△ABE≌△DAF；
(2)若∠AGB＝30°，求 EF 的长．
第 16 题图
17. (8 分)(2017 鄂州)如图，将矩形 ABCD 沿对角线 AC 翻折，点 B 落在点 F 处，FC 交 AD 于
E.
(1)求证：△AFE≌△CDE；
(2)若 AB＝4，BC＝8，求图中阴影部分的面积．
第 17 题图
能力提升训练
1. (2017 芙蓉区二十九中模拟)如图是用 4 个全等的直角三角形与 1 个小正方形镶嵌而成的
正方形图案，已知大正方形面积为 49，小正方形面积为 4，若用 x，y 表示直角三角形的两
直角边(x>y)，下列四个说法：①x2＋y2＝49；②x－y＝2；③2xy＋4＝49；④x＋y＝9.其中
说法正确的是( )6
A. ①② B. ①②③
C. ①②④ D. ①②③④
第 1 题图
2. (2017 安徽)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝5，AD＝3.动点 P 满足 S△PAB＝
1
3S 矩形 ABCD，则点 P
到 A，B 两点距离之和 PA＋PB 的最小值为( )
A. 29 B. 34 C. 5 2 D. 41
第 2 题图 第 3 题图
3. (2017 青竹湖湘一二模)如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB＝6，BC＝10，点 E 在 CD 上，将△BCE
沿 BE 折叠，点 C 恰落在边 AD 上的点 F 处，点 G 在 AF 上，将△ABG 沿 BG 折叠，点 A 恰落在
线段 BF 上的点 H 处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG＝
3
2S△FGH；④AG
＋DF＝FG.其中正确的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.(2017 江西)已知点 A(0，4)，B(7，0)，C(7，4)，连接 AC，BC 得到矩形 AOBC，点 D 在边
AC 上，将边 OA 沿 OD 折叠，点 A 的对应点为 A′，若点 A′到矩形较长两对边的距离之比为
1∶3，则点 A′的坐标为________．
5. (2017 绍兴)如图为某城市部分街道示意图，四边形 ABCD 为正方形，点 G 在对角线 BD 上，
GE⊥CD，GF⊥BC，AD＝1500 m，小敏行走的路线为 B→A→G→E，小聪行走的路线为7
B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为 3100 m，则小聪行走的路程为________m.
第 5 题图
6. (9 分)(2017 广州)如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，△COD 关于 CD 的对称
图形为△CED.
(1)求证：四边形 OCED 是菱形；
(2)连接 AE，若 AB＝6 cm，BC＝ 5 cm.
①求 sin∠EAD 的值；
②若点 P 为线段 AE 上一动点(不与点 A 重合)，连接 OP.一动点 Q 从点 O 出发，以 1 cm/s 的
速度沿线段 OP 匀速运动到点 P，再以 1.5 cm/s 的速度沿线段 PA 匀速运动到点 A，到达点 A
后停止运动．当点 Q 沿上述路线运动到点 A 所需要的时间最短时，求 AP 的长和点 Q 走完全
程所需的时间．
第 6 题图
拓展培优训练
1.(2016 长郡教育集团第二届澄池杯)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝8，BC＝12，点 E 是 BC 的
中点，连接 AE，将△ABE 沿 AE 折叠，点 B 落在点 F 处，连接 FC，则 sin∠ECF＝( )
A.
3
4 B.
4
3 C.
3
5 D.
4
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第 1 题图 第 2 题图
2. (2016 长郡教育集团第二届澄池杯)如图，边长为 1 的正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交
于点 O.有直角∠MPN，使直角顶点 P 与点 O 重合，直角边 PM、PN 分别与 OA、OB 重合，然后
逆时针旋转∠MPN，旋转角为 θ(0°
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