2018中考数学复习第26课时与圆有关的计算测试.doc

1 第六单元 圆 第 26 课时 与圆有关的计算 基础达标训练 1. (2017 株洲)下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是(　　) A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 2. (2017 南宁)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则劣弧BC︵ 的长等于(　　) A. 2π 3 　　　 B. π 3 　　　 C. 2 3π 3 　　　 D. 3π 3 第 2 题图　 第 3 题图 3. (2017 宁夏)圆锥的底面半径 r＝3，高 h＝4，则圆锥的侧面积是(　　) A. 12π B. 15π C. 24π D. 30π 4.(2017 麓山国际实验学校一模)如图，某数学兴趣小组将边长为 6 的正方形铁丝框 ABCD 变 形为以 A 为圆心，AB 为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形 DAB 的面积为(　　) 第 4 题图 A. 12 B. 14 C. 16 D. 36 5. (2017 沈阳)正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，正六边形的周长是 12，则⊙O 的半径是(　　) A. 3 B. 2 C. 2 2 D. 2 3 2 第 5 题图 第 6 题图 6. (2017 烟台)如图，▱ABCD 中，∠B＝70°，BC＝6，以 AD 为直径的⊙O 交 CD 于点 E，则DE︵ 的长为(　　) A. 1 3π B. 2 3π C. 7 6π D. 4 3π 7. (2017 宁波)如图，在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，BC＝2 2，以 BC 的中点 O 为圆心的圆分 别与 AB，AC 相切于 D，E 两点，则DE︵ 的长为(　　) A. π 4 B. π 2 C. π D. 2π 第 7 题图　　 第 8 题图 8. (2017 淄博)如图，半圆的直径 BC 恰与等腰直角三角形 ABC 的一条直角边完全重合，若 BC ＝4，则图中阴影部分的面积是(　　) A. 2＋π B. 2＋2π C. 4＋π D. 2＋4π 9. (2017 兰州)如图，正方形 ABCD 内接于半径为 2 的⊙O，则图中阴影部分的面积为(　　) A. π＋1 B. π＋2 C. π－1 D. π－2 第 9 题图　　 第 11 题图 10. (2017 哈尔滨)已知扇形的弧长为 4π，半径为 8，则此扇形的圆心角为__________度． 11. (2017 台州)如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 AB，AC 的夹角为 120°，AB 长为 30 厘米，则BC︵ 的长为________厘米(结果保留 π)． 12.关注传统文化(2017 长沙中考模拟卷二)打陀螺是一项古老的中国民间娱乐活动，在云南 的少数民族地区开展广泛，特别是在思茅地区有着悠久的历史传统，在思茅地区又以景谷县3 陀螺运动开展得最好，有着“陀螺之乡”的称号．已知木质陀螺的外观为圆锥形，测得该圆 锥的母线长为 6 cm，底面圆的半径为 3 cm，则该圆锥的全面积为________cm2. 13. (2017 安徽)如图，已知等边△ABC 的边长为 6，以 AB 为直径的⊙O 与边 AC，BC 分别交 于 D，E 两点，则劣弧DE︵ 的长为________． 第 13 题图 第 14 题图 14. (2017 湖南师大附中第一次联考)如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，⊙O 的半径为 3， 则图中阴影部分的面积是________． 15. 关注数学文化(2017 岳阳)我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，认为圆内接正 多边形边数无限增加时，周长就越接近圆周长，由此求得了圆周率π 的近似值．设半径为 r 的圆内接正 n 边形的周长为 L，圆的直径为 d，如图所示，当 n＝6 时，π≈ L d＝ 6r 2r＝3，那么 当 n＝12 时，π≈ L d＝________．(结果精确到 0.01，参考数据：sin15°＝cos75°≈0.259) 第 15 题图 能力提升训练 1. 如图，半径为 1 cm 的⊙O 中，AB 为⊙O 内接正九边形的一边，点 C、D 分别在优弧与劣弧 上．则下列结论：①S 扇形 AOB＝ 1 9πcm2；②lAB︵ ＝ 2 9πcm；③∠ACB＝20°；④∠ADB＝140°. 其中错误的有(　　) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个4 第 1 题图 第 2 题图 2. (2017 重庆 A 卷)如图，矩形 ABCD 的边 AB＝1，BE 平分∠ABC，交 AD 于点 E.若点 E 是 AD 的中点，以点 B 为圆心，BE 长为半径画弧，交 BC 于点 F，则图中阴影部分的面积是(　　) A. 2－ π 4 B. 3 2－ π 4 C. 2－ π 8 D. 3 2－ π 8 3. (2017 十堰)如图，已知圆柱的底面直径 BC＝ 6 π cm，高 AB＝3 cm，小虫在圆柱表面爬行， 从点 C 爬到点 A，然后再沿另一面爬回到点 C，则小虫爬行的最短路程为(　　) A. 3 2 cm B. 3 5 cm C. 6 5 cm D. 6 2 cm 第 3 题图 第 4 题图 4. (2017 山西)如图是某商品的标志图案．AC 与 BD 是⊙O 的两条直径，首尾顺次连接点 A， B，C，D，得到四边形 ABCD. 若 AC＝10 cm，∠BAC＝36°，则图中阴影部分的面积为(　　) A. 5π cm2 B. 10π cm2 C. 15π cm2 D. 20π cm2 5. (2017 上海)我们规定：一个正 n 边形(n 为整数，n≥4)的最短对角线与最长对角线长度 的比值叫做这个正 n 边形的“特征值”，记为λn，那么 λ6＝________． 6. (2017 云南)如图，边长为 4 的正方形 ABCD 外切于⊙O，切点分别为 E、F、G、H，则图中 阴影部分的面积为________． 第 6 题图5 7. (9 分)(2017 河北)如图，AB＝16，O 为 AB 中点，点 C 在线段 OB 上(不与点 O，B 重合)， 将 OC 绕点 O 逆时针旋转 270°后得到扇形 COD，AP，BQ 分别切优弧CD︵ 于点 P，Q，且点 P，Q 在 AB 异侧，连接 OP. (1)求证：AP＝BQ； (2)当 BQ＝4 3时，求QD︵ 的长(结果保留 π)； (3)若△APO 的外心在扇形 COD 的内部，求 OC 的取值范围． 第 7 题图 圆的相关证明与计算巩固集训 类型一　圆的基本性质 1. (8 分)(2017 南雅中学一模)如图，已知四边形 ABCD 内接于⊙O，连接 BD，∠BAD＝ 105°，∠DBC＝75°. (1)求证：BD＝CD； (2)若⊙O 的半径为 6，求BC︵ 的长． 第 1 题图6 2. (9 分)(2017 苏州)如图，已知△ABC 内接于⊙O，AB 是直径，点 D 在⊙O 上，OD∥BC，过 点 D 作 DE⊥AB，垂足为 E，连接 CD 交 OE 边于点 F. (1)求证：△DOE∽△ABC； (2)求证：∠ODF＝∠BDE； (3)连接 OC，设△DOE 的面积为 S1，四边形 BCOD 的面积为 S2，若 S1 S2＝ 2 7，求 sinA 的值． 第 2 题图 类型二　切线的相关证明与计算 3. (8 分)(2017 陕西)如图，已知⊙O 的半径为 5，PA 是⊙O 的一条切线，切点为 A，连接 PO 并延长，交⊙O 于点 B，过点 A 作 AC⊥PB 交⊙O 于点 C、交 PB 于点 D，连接 BC.当∠P＝30° 时， (1)求弦 AC 的长； (2)求证：BC∥PA. 第 3 题图 4. (8 分)(2017 山西)如图，△ABC 内接于⊙O，且 AB 为⊙O 的直径，OD⊥AB，与 AC 交于点 E，与过点 C 的⊙O 的切线交于点 D. (1)若 AC＝4，BC＝2，求 OE 的长； (2)试判断∠A 与∠CDE 的数量关系，并说明理由．7 第 4 题图 5. (8 分)(2017 湖南师大附中三模)如图，⊙O 为△ABD 的外接圆，AB为⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线． (1)求证：∠BAD＝∠DBC； (2)若⊙O 的半径为 3，BD⊥OC，交 OC 于点 E，且 BD＝BC，求 AD 的长． 第 5 题图 6. (8 分)(2017 枣庄)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，点 O 在 AB 上，以点 O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点 D，分别交 AC，AB 于点 E，F. (1)试判断直线 BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若 BD＝2 3，BF＝2，求阴影部分的面积(结果保留 π)． 第 6 题图 7. (9 分)(2017 达州)如图，△ABC 内接于⊙O，CD 平分∠ACB 交⊙O 于 D，过点 D 作 PQ∥AB 分别交 CA、CB 延长线于 P、Q，连接 BD. (1)求证：PQ 是⊙O 的切线； (2)求证：BD2＝AC·BQ； (3)若 AC、BQ 的长是关于 x 的方程 x＋ 4 x＝m 的两实根，且 tan∠PCD＝ 1 3，求⊙O 的半径．8 第 7 题图 8. (9 分)(2017 雅礼实验中学期中考试)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(8，0)，点 B(0，8)，动点C 在以半径为 4 的⊙O 上，连接 OC，过 O 点作 OD⊥OC，OD 与⊙O 相交于点 D(其 中点 C、O、D 按逆时针方向排列)，连接 AB. (1)当 OC∥AB 时，求∠BOC 的度数； (2)连接 AD，当 OC∥AD 时，求出点 C 的坐标； (3)在(2)的条件下，连接 BC，直线 BC 是否为⊙O 的切线？请作出判断，并说明理由． 第 8 题图 答案 1. A　【解析】内接正多边形的边数越少，则边就越长，所对的圆心角就越大． 2. A　【解析】如解图，连接 OB，OC，∵∠BAC＝30°，∴∠BOC＝2∠BAC＝60°，∴△BOC 为等边三角形，又∵BC＝2，∴OB＝OC＝BC＝2，∴lBC︵ ＝ 60 × π × 2 180 ＝ 2π 3 .9 3. B　【解析】由勾股定理得圆锥的母线长为 32＋42＝5，圆锥底面圆的周长为 2πr＝6 π，由圆锥侧面积公式 1 2rl＝ 1 2×5×6π＝15π. 4. D　【解析】由扇形面积计算公式 1 2rl＝ 1 2×6×(6＋6)＝36. 5.B　【解析】如解图，连接 OA，OB，∵∠AOB＝ 360° 6 ＝60°，OA＝OB，∴△AOB 是等边三 角形，∴OA＝AB＝ 12 6 ＝2. 6. B　【解析】如解图，连接 OE，∠OED＝∠ODE＝∠B ＝70°∴∠DOE＝40°，又已知圆的 半径 AO＝DO＝ 1 2AD＝ 1 2BC＝3，∴lDE︵ ＝ 40 180π×3＝ 2 3π. 7. B　【解析】如解图，连接 OE，OD，OA，∵AB，AC 为圆的切线，∴OE＝OD，OE⊥AC，OD ⊥AB，∴∠OEA＝∠ODA＝90°，∵∠A＝90°，∴∠DOE＝90°，∴四边形 ADOE 为正方形， 三角形 ABC 为等腰直角三角形，∴半径 r＝1，由弧长公式 l＝ nπr 180 可得 lDE︵ ＝ 90 180×π×1＝ π 2 . 8. A　【解析】如解图，连接 OD，把阴影部分的面积转化为△BOD 和扇形 COD 的面积的和，∵ BC＝4，∴OB＝OD＝OC＝2，∵Rt△ABC 中，AC＝CB，∴∠ABC＝45°，又∵∠BDO＝∠OBD＝ 45°，∴∠DOB＝90°，∠DOC＝90°，∴S 阴影＝ 1 2×2×2＋ 90π × 22 360 ＝2＋π. 9. D　【解析】如解图，连接 OA 和 OD，∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠AOD＝90°，∴S 阴影＝ S 扇形 OAD－S△AOD＝ 1 4×π×22－ 1 2×2×2＝π－2.10 10. 90　【解析】设扇形的圆心角为 n°，则 nπ × 8 180 ＝4π，解得 n＝90. 11. 20π　【解析】由弧长公式得，lBC︵ ＝ 120π × 30 180 ＝20π. 12. 27π　【解析】圆锥全面积＝π·32＋ 1 2·2π·3·6＝27π(cm2)． 13. π　【解析】在等边△ABC 中，∠A＝∠B＝60°，如解图，连接 OE、OD，OB＝OE＝OD＝ OA＝ 1 2AB＝ 1 2×6＝3，∴∠BOE＝∠AOD＝60°，∴∠DOE＝60°，∴lDE︵ ＝ 60π × 3 180 ＝π. 14. 3π　【解析】∵△ABC 为正三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，∵⊙ O 的半径为 3，∴S 阴影＝ 120 × π × 32 360 ＝3π. 15. 3.11　【解析】如解图，取BC︵ 的中点 A，连接 AB，则 AB 为圆内接正十二边形的边长， 过 O 作 OD⊥AB 于点 D.∴AB＝2BD，∵在 Rt△BOD 中，∠BOD＝ 360° 24 ＝15°，∴sin15°＝ BD r ≈0.259，∴BD≈0.259r，∴L≈0.259r·24＝6.216r，∴π≈ L d＝ 6.216r 2r ≈3.11. 能力提升训练 1. B　【解析】∵AB 为⊙O 内接正九边形的一边，∴∠AOB＝ 360° 9 ＝40°， ∴S 扇形 AOB＝ 40π × 12 360 ＝ 1 9π(cm2)，lAB︵ ＝ 40π × 1 180 ＝ 2 9π(cm)；∠ACB＝ 1 2∠AOB＝20°，∴ ①②③正确；∠ADB＝180°－20°＝160°，∴④错误，故选 B.11 2. B　【解析】∵BE 是∠ABC 的平分线，∴∠ABE＝∠EBF＝45°，∵四边形 ABCD 为矩形，∴ AE∥BF，∠A＝∠ABC＝90°，∴∠AEB＝∠EBF＝45°，∴∠AEB＝∠ABE，∴AE＝AB＝1，∵ 点 E 是 AD 的中点，∴AD＝2AE＝2，在 Rt△ABE 中，BE＝ 2，∴S 阴影＝1×2－ 1 2－ 45 × 2π 360 ＝ 3 2－ π 4 . 3. D　【解析】如解图，将圆柱体的侧面展开并连接 AC，∵圆柱的底面直径为 6 π，∴展开 图中的 BC＝ 1 2×π× 6 π＝3，∵高 AB＝3，∴在 Rt△ ABC 中，AC＝ BC2＋AB2＝ 32＋32＝ 3 2，∵两点之间线段最短，∴小虫从点 C 爬到点 A 的最短距离为 3 2 cm，同理可得小虫 再从点 A 沿另一面爬回点 C 的最短距离也是 3 2 cm，∴小虫爬行的最短距离为 6 2 cm. 4. B　【解析】∵AC 和 BD 是⊙O 的直径， ∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，∴四边 形 ABCD 是矩形，∴OA＝OB，∴∠BAC＝∠DBA＝36°，根据三角形的外角和定理得∠AOD＝∠ BOC＝∠OAB＋∠OBA＝72° ，∵矩形 ABCD 中 AC 和 BD 互相平分，∴OA＝ 1 2AC＝5，S 扇形 AOD＝ 72π × 52 360 ＝5π，∴S△AOB＝S△BOC＝S△COD＝S△AOD ，又∵S 阴影＝S 弓形 AD＋S△AOB＋S 弓形 BC ＋S △COD ＝S 弓形 AD＋S△AOD＋S 弓形 BC ＋S△BOC＝S 扇形 AOD＋S 扇形 BOC＝5π＋5π＝10π cm2. 5. 3 2 　【解析】如解图，正六边形 ABCDEF 中，对角线 BE、CF 交于点 O，连接 EC.易知 BE 是正六边形最长的对角线，EC 是正六边形最短的对角线，∵正六边形 ABCDEF 中∠BOC＝60°， OB＝OC＝OE＝OF，∴△OBC 是等边三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝∠BOC＝60°，∠OEC＝∠OCE，∵ ∠BOC＝∠OEC＋∠OCE，∴∠OEC＝∠OCE＝30°，∴∠BCE＝90°，∴△BEC 是直角三角形，∴ EC BE＝cos30°＝ 3 2 ，∴λ6＝ 3 2 .12 6. 2π＋4　【解析】如解图，连接 HF，∵正方形 ABCD 外切于⊙O，切点分别为 E，F，G， H，∴F，O，H 三点共线，根据题意得 FH＝AB＝4，∴S 阴影＝S 半圆＋S△FHG＝ 1 2·π·22＋ 1 2×4 ×2＝2π＋4. 7. (1)证明：如解图，连接 OQ， ∵AP，BQ 分别与CD︵ 相切于 P、Q， ∴OP⊥AP, OQ⊥BQ，即∠APO＝∠Q＝90°， 又∵OA＝OB，OP＝OQ， ∴Rt△APO≌Rt△BQO， ∴AP＝BQ； (2)解：∵BQ＝4 3，OB＝ 1 2AB＝8，∠Q＝90°， ∴Rt△BOQ 中，sin∠BOQ＝ BQ OB＝ 3 2 ， ∴∠BOQ＝60°， ∴OQ＝OB·cos∠BOQ＝8×cos60°＝4， 又∵∠COD＝270°，∠QOD＝∠COD－∠COQ， ∴QD︵ 的长为 （270－60）π × 4 180 ＝ 14π 3 ；13 (3)解：设点 M 为 Rt△APO 的外心，则 M 为 OA 的中点， ∴OM＝4， ∵点 M 在扇形内部，点 C 在 OB 上， ∴OC＞OM，OC＜OB， ∴4