2018中考数学复习第20课时相似三角形测试.doc

1 第四单元 三角形 第二十课时 相似三角形 基础达标训练 1. (2017 重庆 A 卷)若△ABC∽△DEF，相似比为 3∶2，则对应高的比为(　　) A. 3∶2　　　 B. 3∶5　　　 C. 9∶4　　　 D. 4∶9 2. (2017 连云港)如图，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝1∶2，则下列等式一定成立的是(　　) 第 2 题图 A. BC DF＝ 1 2 B. ∠A的度数 ∠D的度数＝ 1 2 C. △ ABC的面积 △ DEF的面积＝ 1 2 D. △ ABC的周长 △ DEF的周长＝ 1 2 3. (2017 枣庄)如图，在△ABC 中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝5，将△ABC 沿图示中的虚线剪 开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(　　) 4. (2017 杭州)如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，DE∥BC. 若 BD＝2AD，则 (　　) 　 第 4 题图2 A. AD AB＝ 1 2 B. AE EC＝ 1 2 C. AD EC＝ 1 2 D. DE BC＝ 1 2 5. (2017 恩施州)如图，在△ABC 中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD∶BD＝5∶3，CF＝6，则 DE 的长为(　　) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 第 5 题图 第 6 题图 6. 如图，在等边△ABC 中，D、E、F 分别是 BC、AC、AB 上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC， 则△DEF 与△ABC 的面积之比为(　　) A. 1∶3 B. 2∶3 C. 3∶2 D. 3∶3 7.(2017 眉山)“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸， 问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以 由图获得，则井深为(　　) A. 1.25 尺 B. 57.5 尺 C. 6.25 尺 D. 56.5 尺 第 7 题图　　 第 8 题图 8. (2017 临沂)已知 AB∥CD，AD 与 BC 相交于点 O.若 BO OC＝ 2 3，AD＝10，则 AO＝________． 9. (2017 益阳模拟)如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点 A，在近岸取点 B，C，D，使得 AB⊥BC，CD⊥BC，点 E 在 BC 上，并且点 A、E、D 在同一条直线上．若测得 BE3 ＝20 m，EC＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度 AB 为________． 第 9 题图 　10. (2017 随州)在△ABC 中，AB＝6，AC＝5，点 D 在边 AB 上，且 AD＝2，点 E 在边 AC 上， 当 AE＝________时，以 A、D、E 为顶点的三角形与△ABC 相似． 　　 第 11 题图 11. (2017 潍坊)如图，在△ABC 中，AB≠AC，D、E 分别为 AB、AC 上的点，AC＝3AD，AB＝ 3AE，点 F 为 BC 边上一点，添加一个条件：__________．可以使得△FDB 与△ADE 相似．(只 需写出一个) 12. (2017 甘肃省卷)如图，一张三角形纸片 ABC，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm.现将纸 片折叠：使点 A 与点 B 重合，那么折痕长等于________cm. 第 12 题图　 第 13 题图 13. (2017 宁夏)在△ABC 中，AB＝6，点 D 是 AB 的中点，过点 D 作 DE∥BC，交 AC 于点 E，4 点 M 在 DE 上，且 ME＝ 1 3DM.当 AM⊥BM 时，则 BC 的长为________． 14.(8 分)(2017 杭州)如图，在锐角三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 AC，AB 上，AG⊥BC 于 点 G，AF⊥DE 于点 F，∠EAF＝∠GAC. (1)求证：△ADE∽△ABC； (2)若 AD＝3，AB＝5，求 AF AG的值． 第 14 题图 15. (8 分)如图，△ABC 为锐角三角形，AD 是 BC 边上的高，正方形 EFGH 的一边 FG 在 BC 上， 顶点 E、H 分别在 AB、AC 上，已知 BC＝40 cm，AD＝30 cm. (1)求证：△AEH∽△ABC； (2)求这个正方形的边长与面积． 第 15 题图 16. (8 分)(2017 长沙中考模拟卷四)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为 D，点 E、F 分别是 AC、BC 边上的点，且 CE＝ 1 3AC，BF＝ 1 3BC. (1)求证：∠EDF＝90°； (2)若 BC＝6，AB＝4 3，求 DE 的长．5 第 16 题图 能力提升训练 1. (2017 泰安)如图，正方形 ABCD 中，M 为 BC 上一点，ME⊥AM，ME 交 AD 的延长线于点 E. 若 AB＝12，BM＝5，则 DE 的长为(　　) A. 18 B. 109 5 C. 96 5 D. 25 3 第 1 题图 第 2 题图 2. (2017 东营)如图，在正方形 ABCD 中，△BPC 是等边三角形，BP、CP 的延长线分别交 AD 于点 E、F，连接 BD、DP，BD 与 CF 相交于点 H.给出下列结论： ①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2＝PH·PC. 其中正确的是(　　) A. ①②③④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④ 3. (9 分)(2017 常德)如图，直角△ABC 中，∠BAC＝90°，D 在 BC 上，连接 AD，作 BF⊥AD 分别交 AD 于 E，AC 于 F. (1)如图①，若 BD＝BA，求证：△ABE≌△DBE； (2)如图②，若 BD＝4DC，取 AB 的中点 G，连接 CG 交 AD 于 M， 求证：①GM＝2MC；　②AG2＝AF·AC.6 第 3 题图 4. (9 分)(2017 安徽)已知正方形 ABCD，点 M 为边 AB 的中点． (1)如图①，点 G 为线段 CM 上的一点，且∠AGB＝90°，延长 AG，BG 分别与边 BC，CD 交于 点 E，F. ①求证：BE＝CF； ②求证：BE2＝BC·CE. (2)如图②，在边 BC 上取一点 E，满足 BE2＝BC·CE，连接 AE 交 CM 于点 G，连接 BG 并延长 交 CD 于点 F，求 tan∠CBF 的值． 第 4 题图 答案 1. A　2. D　3. C　4. B　 5. C　【解析】∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∵∠ADE＝∠EFC，∴∠B＝∠EFC，∴EF∥AB，∴ 四边形 DEFB 为平行四边形，∴DB＝EF，DE＝BF，又∵ AD DB＝ 5 3，∴ EF AB＝ 3 8，又∵EF∥AB，∴ CF BC＝ EF AB，即 6 6＋BF＝ 3 8，∴BF＝10，∴DE＝BF＝10. 6. A　【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴∠B＝∠C＝∠A＝60°，∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥ BC，∴∠AFE＝∠CED＝∠BDF＝90°，∴∠BFD＝∠CDE＝∠AEF＝30°，∴∠DFE＝∠FED＝∠ EDF＝60°， BD BF＝ 1 2，∴△DEF 是等边三角形，∴BD∶DF＝1∶ 3①，BD∶AB＝1∶3②，△DEF7 ∽△ABC，①÷②＝ AB DF＝ 3，∴DF∶AB＝1∶ 3，∴△DEF 的面积与△ABC 的面积之比等于 1∶ 3. 7. B　【解析】设井深 x 尺，则 AD＝(x＋5)尺，∵BC∥DE，∴ 0.4 5 ＝ 5 x＋5，解得 x＝57.5， 经检验 x＝57.5 是原分式方程的根，∴井深为 57.5 尺． 8. 4　【解析】∵AB∥CD，∴ OA OD＝ OB OC＝ 2 3，∴OA＝ 2 5AD，∵AD＝10，∴OA＝ 2 5×10＝4. 9. 40 m　【解析】∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴AB∥CD，∴∠BAE＝∠D，又∵∠AEB＝∠DEC，∴△ ABE∽△DCE，∴ AB CD＝ BE CE，解得 AB＝ CD·BE CE ＝ 20 × 20 10 ＝40 m. 10. 5 3或 12 5 　【解析】根据题意，分两种情况：如解图①，∵∠A＝∠A，∴当 AD AB＝ AE AC时，△ADE ∽△ABC，∴ 2 6＝ AE 5 ，解得 AE＝ 5 3；如解图②，∵∠A＝∠A，∴当 AD AC＝ AE AB时，△ADE∽△ACB，∴ 2 5＝ AE 6 ，解得 AE＝ 12 5 . 11. DF∥AC　【解析】∵AC＝3AD，AB＝3AE，∴ AD AC＝ AE AB ，∵∠A 为公共角，∴△ADE 与△ACB 相似，原问题转化为，使△DFB 相似△ACB，则 DF∥AC 即可． 12. 15 4 　【解析】如解图，折痕为 MN，在 Rt△ABC 中，AB＝ 62＋82＝10，由折叠性质得： AM＝BM＝5，∵∠A＝∠A，∠AMN＝∠C＝90°，∴△AMN∽△ACB，∴ AM AC＝ MN CB，∴MN＝ AM·CB AC ＝ 5 × 6 8 ＝ 15 4 . 第 12 题解图 13. 8　【解析】∵AM⊥BM，∴∠AMB＝90°，在 Rt△ABM 中，∵D 是 AB 的中点，∴DM＝ 1 2AB8 ＝3，∵ME＝ 1 3DM，∴ME＝1，DE＝4，又∵DE∥BC，∴DE 是三角形的中位线，∴BC＝8. 14. (1)证明：∵在△ABC 中，AG⊥BC 于点 G，AF⊥DE 于点 F， ∴∠AFE＝∠AGC＝90°， 在△AEF 和△ACG 中， ∵∠AFE＝∠AGC，∠EAF＝∠GAC， ∴△AEF∽△ACG， ∴∠AEF＝∠C， 在△ADE 和△ABC 中， ∵∠AED＝∠C，∠EAD＝∠CAB， ∴△ADE∽△ABC； (2)解：由(1)知△ADE∽△ABC， ∴ AD AB＝ AE AC＝ 3 5， 又∵△AEF∽△ACG， ∴ AF AG＝ AE AC＝ 3 5. 15. (1)证明：∵四边形 EHGF 为正方形， ∴EH∥BC， ∴∠AHE＝∠ACB， 在△AEH 和△ABC 中， ∠AHE＝∠ACB，∠EAH＝∠BAC， ∴△AEH∽△ABC； (2)解：设正方形边长为 x cm，如解图，设 AD 与 EH 交于 P 点，则 AP＝AD－PD＝(30－x) cm， 由(1)得△AEH∽△ABC，9 第 15 题解图 ∴ AP AD＝ EH BC， 即 30－x 30 ＝ x 40，解得 x＝ 120 7 ， ∴正方形面积为( 120 7 )2＝ 14400 49 cm2， 故正方形的边长为 120 7 cm，面积为 14400 49 cm2. 16. (1)证明：∵∠ACB＝∠CDB＝90°，∠B＝∠B， ∴△ACB∽△CDB， ∴ AC CD＝ BC BD，即 AC BC＝ CD BD，∴ EC BF＝ CD BD， 又∵∠ACD＝∠CBD， ∴△EDC∽△FDB， ∴∠EDC＝∠FDB， ∵∠EDF＝∠EDC＋∠CDF＝∠FDB＋∠CDF＝∠CDB＝90°， ∴∠EDF＝90°； (2)解：∵BC＝6，AB＝4 3， ∴AC＝2 3，CE＝ 2 3 3 ，CF＝4，CD＝3，BD＝3 3， 由(1)得，△EDC∽△FDB， ∴ ED DF＝ CD BD＝ 3 3 ， 又∵∠EDF＝90°，EF＝ CE2＋CF2＝ 2 39 3 ， ∴DE＝ 39 3 . 能力提升训练 1. B　【解析】∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠B＝90°，AD＝AB＝12，AD∥BC，∵AB＝12， BM＝5，由勾股定理得 AM＝13，∵AD∥BC，∴∠EAM＝∠AMB，∵∠AME＝∠B＝90°，∴△EAM10 ∽△AMB，∴ AE AM＝ AM BM，即 DE＋12 13 ＝ 13 5 ，解得 DE＝ 109 5 . 2. C　【解析】∵△BPC 是等边三角形，∴∠CBP＝60°，∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠CBA ＝∠A＝90°，∴∠ABE＝30°，在 Rt△ABE 中可得 BE＝2AE，①正确；∵△BPC 是等边三角 形，∴∠CBP＝∠BPC＝∠PCB＝60°，BC＝CP，∵四边形 ABCD 是正方形，∴BD 平分∠ABC，∴∠ CBD＝45°，∴∠HBP＝∠CBP－∠CBD＝15°，∵AD∥BC，∴∠DFP＝∠BCP＝60°＝∠BPH.∵ CD＝BC，∴CD＝CP，∵∠PCD＝∠BCD－∠BCP＝30°，∴∠CDP＝ 1 2(180°－∠DCP)＝75°，∴∠ FDP＝15°＝∠PBH，∴△FDP∽△PBH，故②正确；∵∠PDB＝∠BDF－∠FDP＝45°－15°＝ 30°≠∠DFP，∴△PDF 与△PDB 不相似，故③错误；∵∠PDH＝30°＝∠DCP，∠CPD＝∠ DPH，∴△CPD∽△DPH，∴ CP DP＝ DP PH，即 DP2＝CP·PH，故④正确． 3. (1)证明：∵BF⊥AD， ∴∠BEA＝∠BED＝90°， 在 Rt△ABE 和 Rt△DBE 中， {BA＝BD BE＝BE， ∴Rt△ABE≌Rt△DBE(HL)； (2)证明：①如解图，取 BD 的中点 H，连接 GH， 第 3 题解图 ∵G 是 BA 的中点， ∴AD∥GH， 即 MD∥GH， ∴ GM MC＝ HD DC ， ∵BD＝2HD，BD＝4DC， ∴HD＝2DC，11 ∴GM＝2MC； ②如解图，过点 C 作 CK⊥AC 交 AD 的延长线于点 K， ∴∠ACK＝90°， 又∵∠BAC＝90°， ∴∠ACK＋∠BAC＝180°， ∴AB∥CK， ∴△AGM∽△KCM， ∴ AG KC＝ GM CM＝2， ∴CK＝ 1 2AG， 又∵AB＝2AG， ∴AB·CK＝2AG· 1 2AG＝AG2， ∵AB∥CK， ∴∠KAB＝∠AKC， ∵∠ABF＋∠KAB＝90°，∠AKC＋∠CAK＝90°， ∴∠ABF＝∠CAK， ∴△ABF∽△CAK， ∴ AF CK＝ AB AC， ∴AF·AC＝AB·CK， ∴AG2＝AF·AC. 4. (1)①证明：∵四边形 ABCD 为正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCF＝90°. 又∵∠AGB＝90°， ∴∠BAE＋∠ABG＝90°， ∵∠ABG＋∠CBF＝90°， ∴∠BAE＝∠CBF，12 ∴△ABE≌△BCF(ASA)， ∴BE＝CF； ②证明：∵∠AGB＝90°，点 M 为 AB 的中点， ∴MG＝MA＝MB， ∴∠GAM＝∠AGM， 又∵∠CGE＝∠AGM， ∴∠CGE＝∠ECG＝∠GCB， ∴△CGE∽△CBG， ∴ CE CG＝ CG CB，即 CG2＝BC·CE， 由∠CFG＝∠GBM＝∠BGM＝∠CGF，得 CF＝CG， 由①知，BE＝CF， ∴BE＝CG， ∴BE2＝BC·CE； 第 4 题解图 (2)解：如解图，延长 AE，DC 交于点 N， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB∥CD， ∴∠N＝∠EAB， 又∠CEN＝∠BEA， ∴△CEN∽△BEA， 故 CE BE＝ CN BA，即 BE·CN＝AB·CE， ∵AB＝BC，BE2＝BC·CE，13 ∴CN＝BE， 由 AB∥DN 知， CN AM＝ CG GM＝ CF MB， 又 AM＝MB， ∴FC＝CN＝BE， 假设正方形边长为 1， 设 BE＝x，则由 BE2＝BC·CE， 得 x2＝1·(1－x)， 解得 x1＝ 5－1 2 ，x2＝ － 5－1 2 (舍去)， ∴ BE BC＝ 5－1 2 ， ∴tan∠CBF＝ FC BC＝ BE BC＝ 5－1 2 .