1
第六单元 圆
第二十四课时 圆的基本性质
基础达标训练
1. (2017 兰州)如图，在⊙O 中，AB︵
＝BC︵
，点 D 在⊙O 上，∠CDB＝25°，则∠AOB＝( )
A. 45° B. 50° C. 55° D. 60°
第 1 题图 第 2 题图
2. (2017 长郡教育集团二模)如图，A、D是⊙O 上的两个点，BC 是直径．若∠D＝32°，则∠OAC
＝( )
A. 64° B. 55° C. 72° D. 58°
3. (2017 泸州)如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，若 AB＝8，AE＝1，则弦 CD 的长
是( )
A. 7 B. 2 7 C. 6 D. 8
第 3 题图 第 4 题图
4. (2017 周南中学一模)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2，则弦 BC
的长为( )
A. 3 B. 3 C. 2 3 D. 4
5. (2017 宜昌)如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AC 平分∠BAD，则下列结论正确的是( )
A. AB＝AD B. BC＝CD
C. AB︵
＝AD︵
D. ∠BCA＝∠DCA2
第 5 题图 第 6 题图
6. (2017 广州)如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB⊥CD，垂足为 E，连接 CO，AD，∠BAD
＝20°，则下列说法中正确的是( )
A. AD＝2OB B. CE＝EO
C. ∠OCE＝40° D. ∠BOC＝2∠BAD
7. (2017 广安)如图，AB 是⊙O 的直径，且经过弦 CD 的中点 H，已知 cos∠CDB＝
4
5，BD＝5，
则 OH 的长度为( )
A.
2
3 B.
5
6 C. 1 D.
7
6
第 7 题图 第 8 题图
8. (2017 金华)如图，在半径为 13 cm 的圆形铁片上切下一块高为 8 cm 的弓形铁片，则弓形
弦 AB 的长为( )
A. 10 cm B. 16 cm C. 24 cm D. 26 cm
9. (2017 重庆 B 卷)如图，OA，OC 是⊙O 的半径，点 B 在⊙O 上，连接 AB，BC. 若∠ABC＝
40°，则∠AOC＝________度．
第 9 题图 第 10 题图
10. (2017 青竹湖湘一二模)如图，A，B，C三点都在⊙O 上，点 D 是 AB 延长线上一点，∠AOC3
＝140°，则∠CBD＝________度．
11. (2017 大连)如图，在⊙O 中，弦 AB＝8 cm，OC⊥AB，垂足为 C，OC＝3 cm，则⊙O 的半
径为________cm.
第 11 题图 第 12 题图
12. (2017 长沙中考模拟卷三)如图，⊙O 的半径为 4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接 OB、
OC. 若∠BAC 与∠BOC 互补，则弦 BC 的长为________．
13. (8 分)(2017 麓山国际实验学校一模)如图，在⊙O 中，直径 CD⊥弦 AB 于 E，AM⊥BC 于
M，交 CD 于 N，连接 AD.
(1)求证：AD＝AN；
(2)若 AB＝4 2，ON＝1，求⊙O 的半径．
第 13 题图
能力提升训练
1. (2017 麓山国际实验学校三模)在半径等于 5 cm 的圆内有长为 5 3 cm 的弦，则此弦所对
的圆周角为( )
A. 120° B. 30°或 120°
C. 60° D. 60°或 120°
2.(2017 长沙中考模拟卷四)如图，点 D(0，3)、O(0，0)，C(4，0)在⊙A 上，BD 是⊙A 的一
条弦，则 sin∠OBD 的值为( )
A.
1
2 B.
3
4 C.
4
5 D.
3
54
第 2 题图 第 3 题图
3.(2017 云南)如图，B、C 是⊙A 上的两点，AB 的垂直平分线与⊙A 交于 E、F 两点，与线段
AC 交于 D 点，若∠BFC＝20°，则∠DBC＝( )
A. 30° B. 29° C. 28° D. 20°
4. (人教九上 P122 第(3)题改编)如图，PA、PB 分别与⊙O 相切于 A、B 两点，若∠P＝80°，
则∠C＝( )
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
第 4 题图 第 5 题图
5. (2017 荆州)如图，A、B、C 是⊙O 上的三点，且四边形 OABC 是菱形．若点 D 是圆上异于
A、B、C 的另一点，则∠ADC 的度数是________．
6. (9 分)已知 AB 是半径为 1 的圆 O 直径，C 是圆上一点，D 是 BC 延长线上一点，过 D 点的
直线交 AC 于 E 点，交 AB 于 F 点，且△AEF 为等边三角形．
(1)求证：△DFB 是等腰三角形；
(2)若 DA＝ 7AF，求证：CF⊥AB.
第 6 题图5
拓展培优训练
1. (10 分)如图，已知 AB 为⊙O 的直径，C 为圆周上一点，D 为线段
OB 内一点(不是端点)，满足 CD⊥AB，DE⊥CO，垂足为 E，若 CE＝10，
且 AD 与 DB 的长均为正整数，求线段 AD 的长．
第 1 题图
答案
1. B 【解析】如解图，连接 OC.∵∠BOC 和∠CDB 分别为BC︵
所对的圆心角和圆周角，∴∠BOC
＝2∠CDB＝50°，∵AB︵
＝BC︵
，∴∠AOB＝∠BOC＝50°.
第 1 题解图
2. D 【解析】∵BC 是直径，∠D＝32°，∴∠B＝∠D＝32°，∠BAC＝90°.∵OA＝OB，∴∠
BAO＝∠B＝32°，∴∠OAC＝∠BAC－∠BAO＝90°－32°＝58°.
3.B 【解析】连接 OC，则 OC＝4，OE＝3，在 Rt△OCE 中，CE＝ OC2－OE2＝ 42－32＝
7.∵AB⊥CD，∴CD＝2CE＝2 7.
第 3 题解图
4. C 【解析】根据圆周角定理可知：∠C＝
1
2∠AOB＝30°，∴在等腰三角形 ABC 中，
1
2BC＝6
AC×cos30°＝2×
3
2 ＝ 3，∴BC＝2 3.
5. B 【解析】∵AC 平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∵∠BAC 与∠CAD 分别为BC︵
与CD︵
所对的圆
周角，∴BC︵
＝CD︵
，∴BC＝CD；∵∠B 与∠D 不一定相等，∠B＋∠BCA＋∠BAC＝180°，∠D＋∠
DCA＋∠DAC＝180°，∴∠BCA 与∠DCA 不一定相等，∴AB︵
与AD︵
不一定相等，∴AB 与 AD 不一
定相等．
6. D 【解析】∵AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的非直径的弦，∴AD
＜AB＝2OB，故 A 错误；如解图，连接 OD，∵AB⊥CD，∴∠CEO＝90°，∠
COE＝∠BOD＝2∠BAD＝ 40°，∴∠OCE＝50°，∴∠COE≠∠OCE，∴CE
≠EO，故 B 错误；由选项 B 知，∠OCE＝50°≠40°，故 C 错误；由
选项 B 知，∠BOC＝2∠BAD，故 D 正确．
7. D 【解析】如解图，连接 OD，∵AB 是⊙O 的直径，点 H 是 CD
的中点，∴由垂径定理可知：AB⊥CD，∵在 Rt△BDH 中，cos∠CDB＝
4
5，BD＝5，∴DH＝4，∴BH＝ BD2－DH2＝ 52－42＝3，设 OH＝x，则 OD
＝OB＝x＋3，在 Rt△ODH 中，OD2＝OH2＋DH2，∴(x＋3)2＝x2＋42，
解得 x＝
7
6，即 OH＝
7
6.
8. C 【解析】设弓形高为 CD，则 DC 的延长线过点 O，且 OC⊥AB，∵
半径为 13，∴OB＝OD＝13，∵弓形高为 8，∴CD＝8，在 Rt△ OBC 中，
根 据 勾 股 定 理 得 OC2 ＋ BC2 ＝ OB2 ， ∴ BC ＝ OB2－OC2＝
132－（13－8）2＝12，由垂径定理得 AB＝2BC＝24 cm.
9. 80
10. 70 【解析】设点 E 是优弧AC︵
(不与 A，C 重合)上的一点，连接 AE、CE，∵∠AOC
＝140°，∴∠AEC＝70°，∴∠ABC＝180°－∠AEC＝110°，∴∠CBD＝70°.7
11. 5 【解析】如解图，连接 OA，由垂径定理可知 AC＝BC＝
1
2AB＝4，在 Rt△AOC 中，AC＝
4，OC＝3，则由勾股定理可得 OA＝5，即⊙O 的半径为 5 cm.
12. 4 3 【解析】如解图，作 OD⊥BC 于点 D.由题意可得，根据“同
弧所对的圆心角等于圆周角的两倍”可得∠BOC＝2∠BAC，又∵∠BAC 与
∠BOC 互补，∴∠BAC＋∠BOC＝3 ∠BAC＝180° ，∴∠BAC＝60°，∠BOC
＝120°，又∵OB＝OC＝4，∴∠OBC＝∠OCB＝
180°－120°
2 ＝30°，∴BD＝
BO·cos30°＝4×
3
2 ＝2 3.由垂径定理可得，BC＝2BD＝4 3.
13. (1)证明：∵∠BAD 与∠BCD 是同弧所对的圆周角，
∴∠BAD＝∠BCD，
∵AE⊥CD，AM⊥BC，
∴∠AMC＝∠AED＝∠AEN＝90°，
∵∠ANE＝∠CNM，
∴∠BCD＝∠BAM，
∴∠BAM＝∠BAD，
在△ANE 与△ADE 中，
{∠BAM＝∠BAD
AE＝AE
∠AEN＝∠AED
，
∴△ANE≌△ADE(ASA)，
∴AD＝AN；
(2)解：∵AB＝4 2，AE⊥CD，
∴AE＝2 2，
又∵ON＝1，
∴设 NE＝x，则 OE＝x－1，NE＝ED＝x，r＝OD＝OE＋ED＝2x－1，
连接 AO，则 AO＝OD＝2x－1，8
∵在 Rt△AOE 中，AE2＋OE2＝AO2，AE＝2 2，OE＝x－1，AO＝2x－1，
∴(2 2)2＋(x－1)2＝(2x－1)2，
解得 x＝2，
∴r＝2x－1＝3，
即⊙O 的半径为 3.
能力提升训练
1. D 【解析】如解图，连接 OA，OB，在优弧AB︵
上任取一点 E，连接 AE，BE，在劣弧AB︵
上任
取一点 F ，连接 AF ，BF ，过 O 作 OD ⊥AB ，则 D 为 AB 的中
点，∵AB ＝5 3，∴AD ＝BD ＝
5 3
2 ，又∵OA＝OB＝5，OD⊥AB，∴
OD 平分∠AOB，即∠AOD＝∠BOD＝
1
2∠AOB，∵在 Rt△AOD 中，sin∠
AOD＝
AD
OA＝
5 3
2
5 ＝
3
2 ，∴∠AOD＝60°，∴∠AOB＝120°，又圆
心角∠AOB 与圆周角∠AEB 所对的弧都为AB︵
，∴∠AEB＝
1
2∠AOB＝60°，∵四边形 AEBF 为⊙O 的
内接四边形，∴∠AFB＋∠AEB＝180°，∴∠AFB＝180°－∠AEB ＝120°，则此弦所对的圆
周角为 60°或 120°.
2. D 【解析】如解图，连接 CD，在 Rt△OCD 中，OD＝3，OC＝4，根据勾股定理可得 CD＝
OD2＋OC2＝ 32＋42＝5，∴在 Rt△OCD 中，sin∠OCD＝
OD
DC＝
3
5.根据“同弧所对的圆周角相
等”可得出∠OBD＝∠OCD，∴sin∠OBD＝sin∠OCD＝
3
5.
3. A 【解析】∵BC︵
所对的圆周角是∠BFC，所对圆心角是∠A，∠
BFC＝20°，∴∠A＝2∠BFC＝40°，∵EF 是 AB 的垂直平分线，
且点 D 在 EF 上，∴DB＝DA，∴∠ABD＝∠A＝40°，∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝
180°－∠A
2 ＝70°，∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝70°－40°＝30°.9
4. A 【解析】如解图，连接 AO、BO，∵PA、PB分别与⊙O 相
切于 A、B 两点，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，又∵∠P＝80°，∴
∠AOB＝360°－90°－90°－80°＝100°，由圆周角定理得
∠C＝
1
2∠AOB＝50°.
5. 60°或 120° 【解析】当 D 为优弧AC︵
上一点时，∵∠
ADC＝
1
2∠AOC＝
1
2∠ABC，∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝120°，∠ADC＝60°；当 D 为劣
弧AC︵
上一点时，∠ADC＝∠ABC＝120°.综上，∠ADC＝60°或 120°.
6. 证明：(1)∵AB 为圆 O 的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵△AEF 是等边三角形，
∴∠EAF＝∠EFA＝60°，
∴在 Rt△ABC 中，∠ABC＝30°，
∴∠FDB＝∠EFA－∠ABC＝30°，
∴∠FBD＝∠FDB，
∴FB＝FD，
∴△DFB 是等腰三角形；
(2)设 AF＝a，则 AD＝ 7a，AE＝EF＝a，
如解图，连接 OC，则△AOC 是等边三角形，
由题意得，DF＝BF＝2－a，
∴DE＝DF－EF＝2－a－a＝2－2a，CE＝1－a，
∵在 Rt△ADC 中，DC＝ AD2－AC2＝ 7a2－1，10
∴在 Rt△DCE 中，tan∠CDE＝tan30°＝
CE
DC＝
1－a
7a2－1＝
3
3 ，
解得：a1＝－2(舍去)，a2＝
1
2，
在等边△AOC 中，OA＝1，
∴AF＝
1
2＝
1
2OA，则根据等边三角形的性质可得 CF⊥OA，即 CF⊥AB.
拓展培优训练
1. 解：如解图，连接 AC，BC，则∠ACB＝90°，
又∵CD⊥AB，DE⊥CO，
∴Rt△CDE∽Rt△COD，
Rt△ACD∽Rt△CBD，
∴CE·CO＝CD2，
CD2＝AD·BD，
∴CE·CO＝AD·BD，
设 AD＝a，DB＝b，a，b 为正整数，则 CO＝
a＋b
2 ，
又∵CE＝10，
∴10·
a＋b
2 ＝ab，
整理得：(a－5)(b－5)＝25，
∵a＞b，
∴a－5＞b－5＞0，
得 a－5＝25，b－5＝1；
∴a＝30，
∴AD＝30.
微信/支付宝扫码支付