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第三单元 函数
第十五课时 二次函数的综合性问题
类型一 与函数有关的阅读理解题
1. (10 分)(2018 原创)如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的点 A、C 分别在 x 轴、y
轴上，点 B 在第一象限，且 OA＝3.定义：在正方形 OABC 的边上及内部且横纵坐标均为整数
的点称为好点．
(1)若一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象经过的好点最多，求此一次函数的解析式；
(2)若反比例函数 y＝
m
x(x＞0)的图象正好经过点(1，3)，求反比例函数图象上方和图象下方
好点个数比；
(3)二次函数 y＝a1x2＋b1x＋c1 的图象经过 O、A 两点，顶点为 D(h，t)．若其图象与 x 轴围
成的图形中，恰好有 4 个好点(不含边界)，求 t 的取值范围．
第 1 题图
2. (10 分)(2017 南雅中学月考)如图，点 P(x，y1)与 Q(x，y2)分别是两个函数图象 C1 与 C2
上的任意一点，当 a≤x≤b 时，有－1≤y1－y2≤1 成立，则称这两个函数在 a≤x≤b 上是“相
邻函数”，否则称它们在a≤x≤b 上是“非相邻函数”．
(1)判断函数 y＝－2x＋3 与 y＝－x＋2 在 0≤x≤2 上是否为“相邻函数”，并说明理由；
(2)若函数 y＝
a
x与 y＝－2x＋4 在 1≤x≤2 上是“相邻函数”，直接写出a 的最大值与最小值；
(3)若函数 y＝x2－(2a－1)x 与 y＝x－2 在 1≤x≤2 上是“相邻函数”，求a 的取值范围．2
第 2 题图
类型二 二次函数与几何综合题
3. (10 分)(2017 广东省卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝－x2＋ax＋b 交 x 轴于
A(1，0)，B(3，0)两点，点 P 是抛物线上在第一象限内的一点，直线 BP 与 y 轴相交于点 C.
(1)求抛物线 y＝－x2＋ax＋b 的解析式；
(2)当点 P 是线段 BC 的中点时，求点 P 的坐标；
(3)若(2)的条件下，求 sin∠OCB 的值．
第 3 题图
4. (10 分)(2017 湘潭)已知抛物线的解析式为 y＝－
1
20x2＋bx＋5.
(1)当自变量 x≥2 时，函数值 y 随 x 的增大而减少，求 b 的取值范围；
(2)如图，若抛物线的图象经过点 A(2，5)，与x 轴交于点 C，抛物线的对称轴与 x 轴交于点
B.
①求抛物线的解析式；
②在抛物线上是否存在点 P，使得∠PAB＝∠ABC？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请
说明理由．
第 4 题图
5. (10 分)(2017 眉山)如图，抛物线 y＝ax2＋bx－2 与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C
点，已知 A(3，0)，且 M(1，－
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3)是抛物线上另一点．3
(1)求 a，b 的值；
(2)连接 AC，设点 P 是 y 轴上任一点，若以 P，A，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，求
P 点的坐标；
(3)若点 N 是 x 轴正半轴上且在抛物线内的一动点(不与 O、A 重合)，过点 N 作 NH∥AC 交抛
物线的对称轴于 H 点，设 ON＝t，△ONH 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式．
第 5 题图
6. (10 分)(2017 湘西州)如图，已知抛物线 y＝－
3
3 x2＋bx＋ 3与 x 轴交于 A，B 两点，
与 y 轴交于点 C，其中点 A 的坐标为(－3，0)．
(1)求 b 的值及点 B 的坐标；
(2)试判断△ABC 的形状，并说明理由；
(3)一动点 P 从点 A 出发，以每秒 2 个单位的速度向点 B 运动，同时动点 Q 从点 B 出发，以
每秒 1 个单位的速度向点 C 运动(当点 P 运动到点 B 时，点 Q 随之停止运动)，设运动时间为
t 秒，当 t 为何值时△PBQ 与△ABC 相似？
第 6 题图
答案
1. 解：(1)当一次函数的图象正好经过正方形 OABC 的对角线时，则经过的好点最多，
∵正方形 OABC 中 OA＝3，点 B 在第一象限，点 A、C 分别在 x 轴和 y 轴上，4
∴点 A(3，0)，点 B(3，3)，点 C(0，3)，
∴对角线 OB 所在直线解析式为 y＝x，
对角线 AC 所在直线解析式为 y＝－x＋3，
∴当一次函数的图像经过的好点最多时，其解析式为 y＝x 或 y＝－x＋3；
(2)∵点(1，3)在反比例函数的图像上，
∴m＝3×1＝3，
即反比例函数为 y＝
3
x，
又当 x＝3 时，y＝1，
当 x＝2 时，y＝1.5，
如解图①，在图象下方的好点有(0，0)，(1，0)，(2，0)，(3，0)，(0，1)，(1，1)，(2，
1)，(0，2)，(1，2)，(0，3)，共有 10 个，
第 1 题解图①
在图象上方的好点有(2，2)(2，3)，(3，2)，(3，3)，共 4 个，
∴反比例函数图象上方和图像下方的好点个数比为 2∶5；
(3)当 a＞0 时，抛物线开口向上，抛物线与 x 轴所围图形中不存在好点，此时不合题意；
当 a＜0 时，
∵抛物线过点 O、A，
∴抛物线对称轴为 x＝
3
2，
由此设抛物线的解析式为 y＝a(x－
3
2)2＋t，5
∵抛物线过点 O(0，0)，
∴a(0－
3
2)2＋t＝0，
如解图②，当抛物线过点 M(1，2)时，代入得 a(1－
3
2)2＋t＝2，
第 1 题解图②
解得 t＝
9
4，
如解图③，当抛物线过点 N(1，3)时，代入得 a(1－
3
2)2＋t＝3，
第 1 题解图③
解得 t＝
27
8 ，
结合解图可知，当抛物线与 x 轴围成图形中好点恰好有 4 个，则
9
4
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