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第七章 圆
第3课时 与圆有关的计算
【备考演练】
一、选择题
1．已知圆的半径是3，则该圆的内接正方边形的面积为( )
A．9π B．18π D．9 D．18
2．小红要过生日了，为了筹备生日聚会，准备自己动手用纸板制作一个底面半径为9cm，母线长为30cm的圆锥形生日礼帽，则这个圆锥形礼帽的侧面积为( )
A．270πcm2 B．540πcm2
C．135πcm2 D．216πcm2
3．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC＝120°，OC＝3，则的长为( )
A．π B．2π D．3π D．5π
第3题图 第4题图
4．如图，在扇形AOB中∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为( )
A．2π－4 B．4π－8
C．2π－8 D．4π－4
二、填空题
1．圆锥的侧面积为6πcm2，底面圆的半径为2cm，则这个圆锥的母线长为__________cm.
2．一个底面直径是80cm，母线长为90cm的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为__________．
3．(2017·白银)如图，在△ABC
中，∠ACB＝90°，AC＝1，
AB＝2，以点A为圆心、AC
的长为半径画弧，交AB边
于点D，则弧CD的长等于
__________．(结果保留π)
4．如图，从半径为9cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为__________cm.
第4题图 第5题图
5．如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则阴影部分面积是__________．(结果保留π)
三、解答题
1．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，
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半径OA＝6.将扇形OAB沿过点B的直线折叠．点O恰好落在弧AB上点D处，折痕交OA于点C，求整个阴影部分的周长和面积．
2．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD.
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积
(结果保留π)．
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3.(2017·淮安)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是边AC上一点，以O为圆心，OA为半径的圆分别交AB，AC于点E，D，在BC的延长线上取点F，使得BF＝EF，EF与AC交于点G.
(1)试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若OA＝2，∠A＝30°，求图中阴影部分的面积．
四、能力提升
(2017·长沙)如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，＝.
(1)求证：OA＝OB；
(2)已知AB＝4，OA＝4，求阴影部分的面积．
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答案：
一、1.D 2.A 3.B
4．A 解：连接OC，∵在扇形AOB中∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，∴∠COD＝45°，
∴OC＝＝4，
∴阴影部分的面积＝扇形BOC的面积－三角形ODC的面积＝×π×42－×(2)2＝2π－4.故选：A.
二、1.3 2.160° 3. 4.3
5．2π 解：根据题意得，S阴影部分＝S扇形BAD－S半圆BA，
∵S扇形BAD＝＝4π，S半圆BA＝π·22＝2π，∴S阴影部分＝4π－2π＝2π.
故答案：2π.
三、1.解：连接OD.
∵OB＝OD，OB＝BD，∴△ODB是等边三角形∠DBO＝60°.∴∠OBC＝∠CBD＝30°.
在Rt△OCB中，OC＝OBtan30°＝2.
∴S△OBC＝OC·OB＝×2×6＝6
∴S阴影部分＝S扇形AOB－2S△OBC＝π·36－2×6＝9π－12 由图可知，CD＝OC，DB＝OB.
L阴影部分＝L＋AC＋CD＋DB＝2×6＋3π＝12＋3π
2．(1)证明：∵⊙O切BC于D，∴OD⊥BC，
∵AC⊥BC，∴AC∥OD，∴∠CAD＝∠ADO，
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，
∴∠OAD＝∠CAD，即AD平分∠CAB；
(2)设EO与AD交于点M，连接ED.
∵∠BAC＝60°，OA＝OE，
∴△AEO是等边三角形，
∴AE＝OA，∠AOE＝60°，∴AE＝AO＝OD，
又由(1)知，AC∥OD即AE∥OD，
∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DOM，
∠EOD＝60°，∴S△AEM＝S△DOM，
∴S阴影＝S扇形EOD＝＝.
3．解：(1)连接OE，∵OA＝OE，∴∠A＝∠AEO，∵BF＝EF，∴∠B＝∠BEF，∵∠ACB＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°，∴∠AEO＋∠BEF＝90°，
∴∠OEG＝90°，∴EF是⊙O的切线；
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(2)∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°，∵∠A＝30°，∴∠EOD＝60°，∴∠EGO＝30°，∵AO＝2，∴OE＝2，∴EG＝2，∴阴影部分的面积＝×2×2－＝2－π.
四、解：(1)连接OC，
∵AB与⊙O相切于点C∴∠ACO＝90°，由于＝，∴∠AOC＝∠BOC，∴∠A＝∠B，∴OA＝OB；
(2)由(1)可知：△OAB是等腰三角形，∴BC＝AB＝2，∴sin∠COB＝＝，∴∠COB＝60°，∴∠B＝30°，∴OC＝OB＝2，
∴扇形OCE的面积为：＝，
△OCB的面积为：×2×2＝2
∴S阴影＝2－π .
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