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第七章 圆
第1课时 圆的基本性质
【备考演练】
一、选择题
1．(2017·张家界)如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO＝30°，则∠BOC的度数是( )
A．30° B．45° C．55° D．60°
第1题图 第2题图
2．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C＝25°，则∠BOD的度数是( )
A．25° B．30°
C．40° D．50°
3．如图，AB是⊙O的直径，∠AOC＝110°，则∠D＝( )
A．25°
B．35°
C．55°
D．70°
4．如图，AB为⊙O直径，已知∠DCB＝20°，则∠DBA为( )
A．50° B．20° C．60° D．70°
第4题图 第5题图
5．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是( )
A．AC＝AB B．∠C＝∠BOD
C．∠C＝∠B D．∠A＝∠BOD
二、填空题
1．如图，A、B、C是⊙O上的三个点，∠ABC＝25°，则∠AOC的度数是__________．
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第1题图 第2题图
2．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，∠BAC＝70°，则∠OCB＝__________．
3．如图，点O为所在圆的
圆心，∠BOC＝112°，点
D在BA的延长线上，AD
＝AC，则∠D＝
__________．
4．如图，已知点A(0，1)，B(0，－1)，以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则∠BAC等于 __________度．
第4题图 第5题图
5．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为(6，0)，⊙P的半径为，则点P的坐标为__________．
三、解答题
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，⊙O的半径为4，求AC的长．
2．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC.若∠BAC与∠BOC互补，求弦BC的长．
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3.如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直，垂足为E，以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F，D是CF延长线与⊙O的交点．若OE＝4，OF＝6，求⊙O的半径和CD的长．
四、能力提升
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，CD＝6，则BE＝__________．
第1题图 第2题图
2．如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为( )
A．4cm B．3cm C．5cm D．4cm
3．如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD.
(1)求证：BE＝CE；
(2)试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；
(3)若BC＝8，AD＝10，求CD的长．
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答案：
一、1.D 2.D 3.B 4.D 5.B
二、1.50° 2.20° 3.28° 4.60 5.(3，2)
三、1.解：连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，
∵∠AOC＝2∠B，且∠AOD＝∠COD＝∠AOC，∴∠COD＝∠B＝60°；
在Rt△COD中，OC＝4，∠COD＝60°，
∴CD＝OC＝2，∴AC＝2CD＝4.
2．解：过点O作OD⊥BC于D，则BC＝2BD，
∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，
∴∠BOC＝2∠A，∠BOC＋∠A＝180°，∴∠BOC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝(180°－∠BOC)＝30°，∵⊙O的半径为4，∴BD＝OB·cos∠OBC＝4×＝2，∴BC＝4.
3．解：∵OE⊥AB，∴∠OEF＝90°，
∵OC为小圆的直径，∴∠OFC＝90°，
而∠EOF＝∠FOC，∴Rt△OEF∽Rt△OFC，
∴OE∶OF＝OF∶OC，即4∶6＝6∶OC，
∴⊙O的半径OC＝9；
在Rt△OCF中，OF＝6，OC＝9，
∴CF＝＝3，
∵OF⊥CD，∴CF＝DF，∴CD＝2CF＝6.
四、1.4－ 解：如图，连接OC.
∵弦CD⊥AB于点E，CD＝6，
∴CE＝ED＝CD＝3.
∵在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，
CE＝3，OC＝4，
∴OE＝＝，
∴BE＝OB－OE＝4－.
故答案为4－.
2．解：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵∠CAD＝∠BAD(角平分线的性质)，∴＝，
∴∠DOB＝∠OAC＝2∠BAD，又OA＝OD
∴△AOF≌△OED，∴OE＝AF＝AC＝3cm，
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在Rt△DOE中，DE＝＝4cm，
在Rt△ADE中，AD＝＝4cm.
故选A.
3．(1)证明：∵AD是直径，∴∠ABD＝∠ACD＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD，∴∠BAD＝∠CAD，
∵AB＝AC，∴BE＝CE；
(2)四边形BFCD是菱形．
证明：∵AD是直径，BE＝CE，∴AD⊥BC，
∵CF∥BD，∴∠FCE＝∠DBE，
在△BED和△CEF中，
∴△BED≌△CEF，∴CF＝BD，∴四边形BFCD是平行四边形，∵∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD，
∴四边形BFCD是菱形；
(3)解：∵AD⊥BC，∴∠AEC＝∠CED.
又∵∠CAD＝∠CBD＝∠BCD，
∴△ACE∽△CDE，∴＝.
∴CE2＝DE·AE，设DE＝x，∵BC＝8，AD＝10，
∴42＝x(10－x)，解得：x＝2或x＝8(舍去)
在Rt△CED中，CD＝＝＝2.
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