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第六章 图形与变化
第3课时 尺规作图
【备考演练】
一、选择题
1．尺规作图是指( )
A．用直尺规范作图
B．用刻度尺和尺规作图
C．用没有刻度的直尺和圆规作图
D．直尺和圆规是作图工具
2．(2017·南宁)如图，△ABC中，AB＞AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是( )
A．∠DAE＝∠B
B．∠EAC＝∠C
C．AE∥BC
D．∠DAE＝∠EAC
3．(2017·宜昌)如图，在△AEF中，尺规作图如下：分别以点E，点F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，交EF于点O，连接AO，则下列结论正确的是( )
A．AO平分∠EAF B．AO垂直平分EF
C．GH垂直平分EF D．GH平分AF
第3题图 第4题图
4．(2017·河池)如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，若AD＝5，DE＝6，则AG的长是( )
A．6 B．8 C．10 D．12
二、填空题
1．(2017·河北)如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α
＝__________．
第1题图 第2题图
2．(2017·济宁)如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限内交于点P(a，b)，则a与b的数量关系是__________．
3．(2017·绍兴)以Rt△ABC的锐角顶点A为圆心，适当长为半径作弧，与边AB，AC各相交于一点，再分别以这两个交点为圆心，适当长为半径作弧，过两弧的交点与点A作直线，与边BC交于点D.若∠ADB＝60°，点D到AC的距离为2，则AB的长为__________．
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第3题图 第4题图
4．(2017·成都)如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，若DQ＝2QC，BC＝3，则平行四边形ABCD周长为__________．
三、解答题
1．如图，点E，F分别是锐角∠A两边上的点，AE＝AF，分别以点E，F为圆心，以AE的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接DE，DF.
(1)请你判断所画四边形的性状，并说明理由；
(2)连接EF，若AE＝8厘米，∠A＝60°，求线段EF的长．
2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
(1)根据要求用尺规作图：作斜边AB边上的高CD，垂足为D；(不写作法，只保留作图痕迹．)
(2)求CD的长．
3．已知△ABC中AB＝AC
(1)作图：在AC上有一点D，连接BD，并在BD的延长线上取点E，使AE＝AB，连AE，作∠EAC的 平分线AF，AF交DE 于点F(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)条件下，连接CF，求证：∠E＝∠ACF.
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4．如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．(要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论)
四、能力提升
1．(2017·青岛)已知：四边形ABCD.
求作：点P，使∠PCB＝∠B，且点P到边AD和CD的距离相等．
2．(2017·舟山)如图，已知△ABC，∠B＝40°.
(1)在图中，用尺规作出△ABC的内切圆O，并标出⊙O与边AB，BC，AC的切点D，E，F(保留痕迹，不必写作法)；
(2)连接EF，DF，求∠EFD的度数．
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答案：
一、1.C 2.D 3.C 4.B
二、1.56° 2.a＋b＝0 3.2 4.15
三、1.解：(1)菱形．理由：∵根据题意得：AE＝AF＝ED＝DF，∴四边形AEDF是菱形；
(2)连接EF，∵AE＝AF，∠A＝60°，
∴△EAF是等边三角形，∴EF＝AE＝8厘米．
2．解：(1)作图如答图所示，CD为所求；
(2)AB＝5，根据面积相等有，AB×CD＝AC×BC.所以CD＝
3．解：(1)如图所示
(2)∵AB＝AC，AE＝AB.
∴ AC＝AE
又AF平分∠EAC，
∴∠EAF＝∠CAF
∵AF＝AF，∴△EAF≌△CAF，∠E＝∠ACF.
4．解：如图所示：作CD的垂直平分线，∠AOB的角平分线的交点P即为所求．
四、1.解：作法：①作∠ADC的平分线DE，
②过C作CP1∥AB，交DE于点P1，
③以C为角的顶点作∠P2CB＝∠P1CB，
则点P1和P2就是所求作的点．
2．解：(1)如图1，⊙O即为所求．
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图1
(2)如图2，
图2
连接OD，OE，∴OD⊥AB，OE⊥BC，
∴∠ODB＝∠OEB＝90°，∵∠B＝40°，
∴∠DOE＝140°，∴∠EFD＝70°.
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