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第五章 四边形
第2课时 特殊的平行四边形（1）
【备考演练】
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一、选择题
1．下列判断错误的是( )
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．四条边都相等的四边形是菱形
D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
2．(2017·临沂)在△ABC中，点D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是( )
A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形
B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形
D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
第2题图 第3题图
3．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP＋FP的最小值为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知：菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC交BC于点E，AD＝6cm，则OE的长为 ( )
A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm
第4题图 第5题图
5．如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE＝5，BF＝3，则CD的长是 ( )
A．7 B．8 C．9 D．10
二、填空题
1．如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件____________，使ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)
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第1题图 第2题图
2．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF.若菱形ABCD的边长为2cm，∠A＝120°，则EF＝________cm.
3．(2017·宜宾)在菱形ABCD中，若AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的面积是__________．
4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点，AB＝10cm，则CD的长为________cm.
第4题图 第5题图
5．如图，O为矩形ABCD的中心，M为BC边上一点，N为DC边上一点，ON⊥OM，若AB＝6，AD＝4，设OM＝x，ON＝y，则y与x的函数关系式为____________________．
6．(2017·衢州)如图，从边长为(a＋3)的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形(不重叠无缝隙)，则拼成的长方形的另一边长是__________．
三、解答题
1．(2017·徐州)如图，在▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC.
(1)求证：四边形BECD是平行四边形；
(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝__________°时，四边形BECD是矩形．
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2.(2017·宁夏)在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM.将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形．
3．如图，在矩形ABCD中．点O在边AB上，∠AOC＝∠BOD.求证：AO＝OB.
4．(2017·衢州中考改编题)如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，求DF的长．
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5.如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接BM，DN.
(1)求证：四边形BMDN是菱形；
(2)若AB＝4，AD＝8，求MD
的长．
6．如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1、BC1分别交于点E、F.
(1)求证：△BCF≌△BA1D.
(2)当∠C＝α度时，判定四边形A1BCE的形状并说明理由．
7.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD、CE.
(1)求证：△ACD≌△EDC；
(2)若点D是BC中点，说明四边形ADCE是矩形．
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四、能力提升
1．(2017·哈尔滨)如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E.若DE＝DC＝1，AE＝2EM，则BM的长为
__________．
第1题图 第2题图
2．(2017安徽)如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD
＝3，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA＋PB的最小值为( )
A. B. C．5 D.
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答案：
一、1.D 2.D 3.C 4.C 5.C
二、1.OA＝OC或AD＝BC或AD∥BC或AB＝BC等
2. 3.24 4.5 5.y＝x 6.a＋6
三、1.(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝CD，∴∠OEB＝∠ODC，
又∵O为BC的中点，∴BO＝CO，在△BOE和△COD中，，∴△BOE≌△COD(AAS)；∴OE＝OD，∴四边形BECD是平行四边形；
(2)解：若∠A＝50°，则当∠BOD＝100°时，四边形BECD是矩形．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD＝∠A＝50°，∵∠BOD＝∠BCD＋∠ODC，∴∠ODC＝100°－50°＝50°＝∠BCD，∴OC＝OD，∵BO＝CO，OD＝OE，∴DE＝BC，∵四边形BECD是平行四边形，∴四边形BECD是矩形；故答案为：100.
2．证明：∵AB∥DM，∴∠BAM＝∠AMD，∵△ADC是由△ABC翻折得到，∴∠CAB＝∠CAD，AB＝AD，BM＝DM，∴∠DAM＝∠AMD，∴DA＝DM＝AB＝BM，∴四边形ABMD是菱形．
3．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC，∵∠AOC＝∠BOD，∴∠AOC－∠DOC＝∠BOD－∠DOC，∴∠AOD＝∠BOC，在△AOD和△BOC中，，∴△AOD≌△BOC，∴AO＝OB.
4．解：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置，∴AE＝AB，∠E＝∠B＝90°，又∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，∴AE＝DC，而∠AFE＝∠DFC，∵在△AEF与△CDF中，，∴△AEF≌△CDF(AAS)，
∴EF＝DF；∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝6，CD＝AB＝4，∵Rt△AEF≌Rt△CDF，∴FC＝FA，设FA＝x，则FC＝x，FD＝6－x，在Rt△CDF中，CF2＝CD2＋DF2，即x2＝42＋(6－x)2，解得x＝，则FD＝6－x＝.
5．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠MDO＝∠NBO.∵MN是BD的垂直平分线，∴OB＝OD，又∵∠MOD＝∠BON，∴△MOD≌△NOB，∴MD＝BN.又∵MD∥BN，∴四边形BMDN是平行四边形，∵MN⊥BD，∴平行四边形BMDN是菱形．
(2)解：∵四边形BMDN是菱形，∴MB＝MD，设MD长为x，则MB＝DM＝x，在Rt△AMB中，BM2＝AM2＋AB2即x2＝(8－x)2＋42，解得：x＝5.答：MD长为5.
6．(1)证明：∵△ABC是等腰三角形，∴AB＝BC，∠A＝∠C，∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，∴A1B＝AB＝BC，∠A＝∠A1＝∠C，∠A1BD＝∠CBC1，
在△BCF与△BA1D中，，
∴△BCF≌△BA1D；
(2)解：四边形A1BCE是菱形，∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，
∴∠A1＝∠A，∵∠ADE＝∠A1DB，∴∠AED＝∠A1BD＝α，∴∠DEC＝180°－α，∵∠C＝α，
∴∠A1＝α，∴∠A1BC＝360°－∠A1－∠C－∠A1EC＝180°－α，∴∠A1＝∠C，∠A1BC＝∠A1EC，∴
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四边形A1BCE是平行四边形，又A1B＝BC，∴四边形A1BCE是菱形．
7．证明：(1)∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB∥DE，AB＝DE.∠B＝∠EDC.
又∵AB＝AC，∴AC＝DE，∠B＝∠ACB，
∴∠EDC＝∠ACD.∵在△ADC和△ECD中，
，∴△ADC≌△ECD(SAS)；
(2)∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD∥AE，BD＝AE，∴AE∥CD，
∵点D是BC中点，∴BD＝CD，∴AE＝CD，
∴四边形ADCE是平行四边形；
在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形．
四、1.(提示)由AAS证明△ABM≌△DEA，得出AM＝AD，证出BC＝AD＝3EM，连接DM，由HL证明Rt△DEM≌Rt△DCM，得出EM＝CM，因此BC＝3CM，设EM＝CM＝x，则BM＝2x，AM＝BC＝3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
2．D 解：设△ABP中AB边上的高是h.
∵S△PAB＝S矩形ABCD，∴AB·h＝AB·AD，∴h＝AD＝2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE就是所求的最短距离．
在Rt△ABE中，∵AB＝5，AE＝2＋2＝4，
∴BE＝＝＝，
即PA＋PB的最小值为.
故选D.
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