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第五章 四边形
第3课时 特殊的平行四边形（2）
【备考演练】
一、选择题
1．正方形四边中点的连线围成的四边形(最准确的说法)一定是( )
A．矩形 B．菱形
C．正方形 D．平行四边形
2．矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是( )
A．邻边相等 B．四个角都是直角
C．对角线相等 D．对角线互相平分
3．下列性质中，正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．四个角都是直角
4．下列条件之一能使菱形ABCD是正方形的为( )
①AC⊥BD ②∠BAD＝90°
③AB＝BC ④AC＝BD
A．①③ B．②③
C．②④ D．①②③
5．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP度数是( )
A．45° B．22.5°
C．67.5° D．75°
第5题图 第6题图
6．如图，在边长为1的正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，P是BC边上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，则PE＋PF＝( )
A. B. C. D.
二、填空题
1．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离AE、CF分别是1cm、2cm，则线段EF的长为__________cm.
第1题图 第2题图
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2．如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为__________．
3．如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点．当△ABC满足__________条件时，四边形DAEF是正方形．
第3题图 第4题图
4．正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3，按如图放置，其中点A1、A2、A3在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3在直线y＝－x＋2上，则点A3的坐标为__________．
三、解答题
1．如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是了AB、AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G，求证：AF＝BE.
2．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE＝CF，连接AF、CE交于点G.求证：AF＝EC.
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3．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别是AC、AB、BC的中点．求证：CE与DF相等且互相平分．
4.如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF＝AE.
(1)求证：BF＝DE；
(2)当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变)，问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．
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四、能力提升
1．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是__________．
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2.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点(点E不与端点A，C重合)，且AE＝CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO＝OD，连接DE，DF，GE，GF.
(1)求证：四边形EDFG是正方形；
(2)当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值．
3．如图，已知在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交DC于E，DF⊥BC，交AE于G，且DF＝AD.
(1)若∠C＝60°，AB＝2，求EC的长；
(2)求证：CD＝DG＋FC.
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答案：
一、1.C 2.D 3.A 4.C 5.B 6.B
二、1.3 2. 3.AB＝AC，∠A＝90° 4.(，0)
三、1.证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠CBE＝90°，
∵BF⊥CE，∴∠BCE＋∠CBG＝90°，
∵∠ABF＋∠CBG＝90°，∴∠BCE＝∠ABF，
在△BCE和△ABF中，，
∴△BCE≌△ABF(ASA)，∴BE＝AF.
2．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADF＝∠CDE＝90°，AD＝CD.
∵AE＝CF，∴DE＝DF，
在△ADF和△CDE中，
∴△ADF≌△CDE(SAS)，∴AF＝EC.
3．证明：连接DE、EF，如图所示．
∵D、E、F分别是AC、AB、BC的中点，
∴DE、EF为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，EF∥AC，
∴四边形CDEF为平行四边形．
∵∠ACB＝90°，∴平行四边形CDEF为矩形，
∴CE与DF相等且互相平分．
4．(1)证明：∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵AF⊥AC，∴∠EAF＝90°，∴∠BAF＝∠EAD，
在△ADE和△ABF中，
∴△ADE≌△ABF(SAS)，∴BF＝DE；
(2)解：当点E运动到AC的中点时四边形AFBE是正方形，
理由：∵点E运动到AC的中点，AB＝BC，
∴BE⊥AC，BE＝AE＝AC，
∵AF＝AE，∴BE＝AF＝AE，
又∵BE⊥AC，∠FAE＝∠BEC＝90°，
∴BE∥AF，∵BE＝AF，
∴四边形AFBE是平行四边形，
∵∠FAE＝90°，AF＝AE，
∴四边形AFBE是正方形．
四、1. 解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，
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∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°，
延长AD交EF于M，连接AC、CF，
则AM＝BC＋CE＝1＋3＝4，FM＝EF－AB＝3－1＝2，∠AMF＝90°，
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，
∴∠ACD＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°，
∵H为AF的中点，∴CH＝AF，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：
AF＝＝＝2，
∴CH＝，故答案为：.
2．(1)证明：连接CD，如图1所示．
图1
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴∠A＝∠DCF＝45°，AD＝CD.
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF(SAS)，
∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF.
∵∠ADE＋∠EDC＝90°，
∴∠EDC＋∠CDF＝∠EDF＝90°，
∴△EDF为等腰直角三角形．
∵O为EF的中点，GO＝OD，
∴GD⊥EF，且GD＝2OD＝EF，
∴四边形EDFG是正方形；
(2)解：过点D作DE′⊥AC于E′，如图2所示．
图2
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，∴DE′＝BC＝2，AB＝4，点E′为AC的中点，∴2≤DE＜2(点E与点E′重合时取等号)．∴4≤S四边形EDFG＝DE2＜8.
∴当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4.
3．(1)解：∵在▱ABCD中，AB＝DC＝2，∠C＝60°，DF⊥BC，∴DF＝DC·sin60°＝2×＝，∵DF＝AD.∴AD＝DF＝，∵AB∥CD，AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE＝∠AED，∴AD＝DE＝，∴EC＝DC－DE＝2－.
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AD＝BC，AB∥DC，AD∥BC，∴∠ABC＋∠
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C＝180°.把△DFC沿射线DA方向平移，平移距离为AD，则DC与AB重合，记平移后的三角形为△ABH，则∠AHB＝∠DFC＝90°，∠ABH＝∠C，AH＝DF，HB＝FC，∵∠ABH＋∠ABC＝∠C＋∠ABC＝180°，∴F，B，H三点共线，∴BF＋HB＝BF＋FC，∴FH＝BC＝AD＝DF＝AH.∴四边形AHFD为正方形．∴∠ADF＝90°，AH∥DF.把△ADG绕点A顺时针旋转90°，则AD与AH重合，
∠DAG＝∠HAI，∠DGA＝∠HIA，∠AHI＝∠ADG＝90°，∴∠AHB＋∠AHI＝∠AHB＋∠ADG＝180°，
∴I，H，B三点共线．∵AE平分∠BAD，∴∠BAG＝∠DAG，∴∠HAB＋∠BAG＝∠HAB＋∠DAG＝∠HAB＋∠HAI.即∠HAG＝∠IAB.∵AH∥DF，∴∠HAG＝∠DGA，∴∠BIA＝∠DGA＝∠BAI.
∴AB＝IB.∵IB＝IH＋HB＝DG＋FC，
∴CD＝AB＝DG＋FC.
(2)提示：在CB的延长线上截取BH＝CF，HI＝DG，连结AH、AI.
证明△AHB≌△DFC和△AIH≌△AGD，然后证明∠I＝∠IAB.
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