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第五章 四边形
第1课时 多边形与平行四边形
【备考演练】
一、选择题
1．已知一个正多边形的每个外角等于60°，则这个正多边形是( )
A．正五边形 B．正六边形
C．正七边形 D．正八边形
2．从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成6个三角形，则n的值是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
3．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C的坐标是( )
A．(3，7) B．(5，3)
C．(7，3) D．(8，2)
第3题图 第4题图
4．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是( )
A．8 B．9 C．10 D．11
5．如图，△ABC中，∠ABC＝∠BAC，D是AB的中点，EC∥AB，DE∥BC，AC与DE交于点O.下列结论中，不一定成立的是( )
A．AC＝DE
B．AB＝AC
C．AD＝EC
D．OA＝OE
二．填空题
1．如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则▱ABCD的周长是__________．
第1题图 第2题图
2．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使得四边形ABCD是平行四边形，应添加的条件是__________________(只填写一个条件，不使用图形以外的字母和线段)．
3．如图，P为平行四边形
ABCD边AD上一点，E、
F分别为PB、PC的中点，
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△PEF、△PDC、△PAB
的面积分别为S、S1、S2，
若S＝2，则S1＋S2＝__________．
4．若平行四边形中两个内角的度数比为1∶2，则其中较大的内角是__________度．
三、解答题
1．已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AC上，且AE＝CF.求证：四边形BEDF是平行四边形．
2．如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF.
(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；
(2)若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DE的长．
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3．(2016·永州) 如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.
(1)求证：BE＝CD；
(2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．
四、能力提升
1．平行四边形ABCD中，各点的坐标分别是A(0，0)，B(2，0)，C(0，1)则点D的坐标是__________．
2．在△OAB中，∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，OB＝8.以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E.
(1)求证：四边形ABCE是平行四边形；
(2)如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点
C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．
图1 图2
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答案：
一、1.B 2.C 3.C 4.C 5.B
二、1.20
2．AB＝CD或AD∥BC或∠A＝∠C或∠B＝∠D或∠A＋∠B＝180°或∠C＋∠D＝180°等．
3．8 4.120
三、1.证明：如图，连接BD设对角线交于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵AE＝CF，OA－AE＝OC－CF，∴OE＝OF.∴四边形BEDF是平行四边形．
2．证明：(1)在▱ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC.
∵F是AD的中点，∴DF＝AD.又∵CE＝BC，∴DF＝CE，且DF∥CE，∴四边形CEDF是平行四边形；
(2)解：如图，过点D作DH⊥BE于点H.
在▱ABCD中，∵∠B＝60°，∴∠DCE＝60°.
∵AB＝4，∴CD＝AB＝4，∴CH＝CD＝2，DH＝2.在▱CEDF中，CE＝DF＝AD＝3，则EH＝1.∴在Rt△DHE中，根据勾股定理知DE＝＝ .
3．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，∴∠AEB＝∠DAE，
∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝CD；
(2)解：∵AB＝BE，∠BEA＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝4，∵BF⊥AE，∴AF＝EF＝2，
∴BF＝＝＝2，
∵AD∥BC，∴∠D＝∠ECF，∠DAF＝∠E，
在△ADF和△ECF中，，
∴△ADF≌△ECF(AAS)，
∴△ADF的面积＝△ECF的面积，
∴平行四边形ABCD的面积＝△ABE的面积＝AE·BF＝×4×2＝4 .
四、1.(－2，1)，(2，1)，(2，－1)提示：平面内不在同一直线上的三点构造平行四边形时，
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第四个顶点有三种可能性，可借助画图，平行四边形的判定，分类讨论决定．
2．(1)证明：∵Rt△OAB中，D为OB的中点，
∴AD＝OB，OD＝BD＝OB∴DO＝DA，
∴∠DAO＝∠DOA＝30°，∠EOA＝90°，
∴∠AEO＝60°，又∵△OBC为等边三角形，
∴∠BCO＝∠AEO＝60°，∴BC∥AE，
∵∠BAO＝∠COA＝90°，∴CO∥AB，
∴四边形ABCE是平行四边形；
(2)解：设OG＝x，由折叠可得：AG＝GC＝8－x，在Rt△ABO中，∵∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，BO＝8，∴AO＝BO·cos30°＝8×＝4，
在Rt△OAG中，OG2＋OA2＝AG2，x2＋(4)2＝(8－x)2，解得：x＝1，∴OG＝1.
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