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第二章 方程与不等式
第 3课时 一元二次方程
【备考演练】
一、选择题
1．方程x(x－1)＝2的解是( )
A．x＝－1 B．x＝－2
C．x1＝1，x2＝－2 D．x1＝－1，x2＝2
2．用配方法解方程 x2＋4x＋1＝0，配方后的方程是( )
A．(x＋2)2＝3 B．(x－2)2＝3
C．(x－2)2＝5 D．(x＋2)2＝5
3．一元二次方程x2＋x＋＝0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定根的情况
4．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是( )
A．5个 B．6个
C．7个 D．8个
二、填空题
1．一元二次方程x2－2x＝0的解是 __________.
2．已知x＝－2是方程x2＋mx－6＝0的一个根，则方程的另一个根是__________．
3. 用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形．设矩形的一边长为xcm，则可列方程为______________________．
4．某企业五月份的利润是25万元，预计七月份的利润将达到36万元．设平均月增长率为x，根据题意所列方程是____________________．
5．已知x1、x2是方程2x2＋14x－16＝0的两实数根，那么＋的值为____________．
三、解答题
1．解方程：x2－10x＋9＝0
2．已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0.
(1)当m＝3时，判断方程的根的情况；
(2)当m＝－3时，求方程的根．
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3．已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0
(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；
(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
4．某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均的每年增长的百分率为x.
(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为______________万元．
(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x.
5．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是多少？
6．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
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四、能力提升
(2017·深圳) 一个矩形周长为56厘米．
(1)当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少？
(2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．
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答案：
一、1.D 2.A 3.B 4.C
二、1.x1＝2，x2＝0 2.3 3.x(20－x)＝64
4．25(1＋x)2＝36 5.－
三、1.x1＝9或x2＝1
2．解：(1)当m＝3时，b2－4ac＝22－4×1×3＝－8＜0.∴原方程没有实数根．
(2)当m＝－3时， x2＋2x－3＝0，(x＋3)(x－1)＝0, ∴x1＝－3, x2＝1.
3．解：(1)将x＝1代入方程x2＋ax＋a－2＝0得，1＋a＋a－2＝0，解得，a＝；
方程为x2＋x－＝0，即2x2＋x－3＝0，
设另一根为x1，则1·x1＝－，x1＝－.
(2)∵Δ＝a2－4(a－2)＝a2－4a＋8＝a2－4a＋4＋4＝(a－2)2＋4>0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
4．解：(1)由题意，得第3年的可变成本为：
2．6(1＋x)2，故答案为：2.6(1＋x)2；
(2)由题意，得4＋2.6(1＋x)2＝7.146，
解得：x1＝0.1，x2＝－2.1(不合题意，舍去)．
答：可变成本平均每年增长的百分率为10%.
5．解：设原正方形空地的边长是xm，
根据题意，得(x－3)(x－2)＝20，
化简，得x2－5x－14＝0，
解得x1＝7，x2＝－2(不合题意，舍去)．
∴原正方形空地的边长是7m.
6．解：(1)△ABC是等腰三角形；
理由：∵x＝－1是方程的根，
∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a－c)＝0，
∴a＋c－2b＋a－c＝0, ∴a－b＝0，
∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形；
(2)∵方程有两个相等的实数根，
∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，
∴4b2－4a2＋4c2＝0，
∴a2＝b2＋c2，
∴△ABC是直角三角形；
(3)当△ABC是等边三角形时，
∴a＝b＝c
∴(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，
可整理为：
2ax2＋2ax＝0，∴x2＋x＝0，
解得：x1＝0，x2＝－1.
四、1.解：(1)设矩形的长为x厘米，则另一边长为(28－x)厘米，依题意有x(28－x)＝180，解得x1＝10(舍去)，x2＝18，28－x＝28－18＝10.故长为18厘米，宽为10厘米；
(2)设矩形的长为x厘米，则宽为(28－x)厘米，依题意有x(28－x)＝200，即x2－28x＋200＝0，则Δ＝282－4×200＝784－800＜0，原方程无解，故不能围成一个面积为200平方厘米的矩形．
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