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圆的有关概念及性质
一、选择题
1.已知圆 O 的半径为 3，圆心 O 到直线 l 的距离为 5，则直线 l 和圆 O 的位置关系是（ ）
A. 相离 B. 相切
C. 相交
D. 以上均有可能
【答案】A
2.AB 为⊙O 的直径，点 C、D 在⊙O 上．若∠ABD=42°，则∠BCD 的度数是（ ）
A. 122°
B. 128°
C. 132° D. 138°
【答案】C
3.如图，在半径为 5 cm 的⊙O 中，圆心 O 到弦 AB 的距离为 3 cm，则弦 AB 的长是（ ）
A. 4 cm B. 6
cm C. 8
cm D. 10 cm
【答案】C
4.如图，A、B、C 是⊙O 上的三点，∠B=75°，则∠AOC 的度数是（ ）
2
A. 120°
B. 130°
C. 140° D. 150°
【答案】D
5.如图，⊙O 的直径 AB 与弦 CD 的延长线交于点 E，若 DE=OB， ∠AOC=84°，则∠E 等于( )
A. 42 °
B. 28°
C. 21°
D. 20°
【答案】B
6.若⊙P 的半径为 13，圆心 P 的坐标为（5, 12 )，则平面直角坐标系的原点 O 与⊙P 的位置关系是
（ )
A. 在⊙P 内 B. 在⊙P 上
C. 在⊙P 外
D. 无法确定
【答案】B
7.如图，AB 是圆 O 的直径，点 C 是半圆的中点，动点 P 在弦 BC 上，则∠PAB 可能为（ ）
A. 90° B.
50° C. 46°
D. 26°
【答案】D 3
8.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠ACO=45°，则∠B 的度数为（ ）
A. 30° B.
35° C. 40°
D. 45°
【答案】D
9.如图，四边形 ABCD 是圆内接四边形，E 是 BC 延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE 的大小是
A. 115°
B. l05°
C. 100°
D. 95°
【答案】B
10.如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，D，E，F 是切点，∠A=50°，∠C=60°，则∠DOE=（ ）
A. 70° B. 110
° C. 120°
D. 130°
【答案】B
11.已知四边形 ABCD 是梯形，且 AD∥BC，AD＜BC，又⊙O 与 AB、AD、CD 分别相切于点 E、F、G，圆心 O
在 BC 上，则 AB+CD 与 BC 的大小关系是（ ） 4
A. 大于 B. 等于
C. 小于
D. 不能确定
【答案】A
二、填空题
12.已知⊙O 的半径为 10cm，如果一条直线和圆心 O 的距离为 10cm，那么这条直线和这个圆的位置关系为
________ ．
【答案】相切
13.⊙O 的直径 AB 垂直弦 CD 于 P，且 P 是半径 OB 的中点，CD=6cm，则直径 AB 的长是________ cm．
【答案】4
14.如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 的半径为 2，∠B=135°，则 的长________．
【答案】π
15.如图，在⊙O 中， = ，若∠AOB=40°，则∠COD=________°．
【答案】40
16.如图，△ABC 内接于⊙O，AD 是⊙O 的直径，∠ABC=30°，则∠CAD=________度．
【答案】60 5
17.如图，CA⊥AB，DB⊥AB，已知 AC=2，AB=6，点 P 射线 BD 上一动点，以 CP 为直径作⊙O，点 P 运动时，
若⊙O 与线段 AB 有公共点，则 BP 最大值为 ________．
【答案】
18. 如图，CD 是⊙O 的直径，弦 AB⊥CD，垂足为点 M，AB=20，分别以 CM、DM 为直径作两个大小不同的 ⊙
O1 和⊙O2 ， 则图中阴影部分的面积为________（结果保留 π）．
【答案】50π
三、解答题
19.已知：如图，在圆 O 中，弦 AB，CD 交于点 E，AE=CE．求证：AB=CD．
【答案】证明：在△ADE 和△CBE 中， ，
∴△ADE≌△CBE，
∴BE=DE，
∵AE=CE，
∴AE+BE=CE+DE，
即 AB=CD 6
20.如图所示，在△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径作⊙O 交于 BC 于 D，DE⊥AC 于 E．
求证：DE 是⊙O 的切线．
【答案】证明：连接 OD，∵以 AB 为直径作⊙O 交于 BC 于 D，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴BD=DC，
∵AO=BO，
∴DO 是△ABC 的中位线，
∴DO∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE 是⊙O 的切线．
21.如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 H，点 G 在弧 BD 上，连接 AG，交 CD 于点 K，过点 G 的直线交 CD
延长线于点 E，交 AB 延长线于点 F，且 EG=EK．
（1）求证：EF 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为 13，CH=12，AC∥EF，求 OH 和 FG 的长． 7
【答案】解：（1）证明：连接 OG，
∵弦 CD⊥AB 于点 H，
∴∠AHK=90°，
∴∠HKA+∠KAH=90°，
∵EG=EK，
∴∠EGK=∠EKG，
∵∠HKA=∠GKE，
∴∠HAK+∠KGE=90°，
∵AO=GO，
∴∠OAG=∠OGA，
∴∠OGA+∠KGE=90°，
∴GO⊥EF，
∴EF 是⊙O 的切线；
（2）解：连接 CO，在 Rt△OHC 中，
∵CO=13，CH=12，
∴HO=5，
∴AH=8，
∵AC∥EF，
∴∠CAH=∠F，
∴tan∠CAH=tan∠F= ，
在 Rt△OGF 中，∵GO=13，
∴FG= ．
22.如图，在⊙O 中，OE 垂直于弦 AB，垂足为点 D，交⊙O 于点 C，∠EAC=∠CAB．
（1）求证：直线 AE 是⊙O 的切线；
（2）若 AB=8，sin∠E= ，求⊙O 的半径． 8
【答案】（1）证明：连接 OA，
∵OE 垂直于弦 AB，
∴∠OCA+∠CAD=90°，
∵CO=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∵∠EAC=∠CAB，
∴∠EAC+∠OAC=90°，
∴OA⊥AE，
即直线 AE 是⊙O 的切线．
（2）解：作 CF⊥AE 于 F，
∵∠EAC=∠CAB，
∴CF=CD，
∵AB=8，
∴AD=4，
∵sin∠E= ，
∴ ， = ，
∴AE= ，DE= ，
∴CF=2，
∴CD=2，
设⊙O 的半径 r，
在 Rt△AOD 中，OA2=OD2+AD2 ， 即 r2=（r﹣2）2+42 ，
解得 r=5．
∴⊙O 的半径为 5． 9
23.如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AD 是 BC 边上的中线，过点 D 作 BA 的平行线交 AC 于点 O，过点 A
作 BC 的平行线交 DO 的延长线于点 E，连接 CE．
（1）求证：四边形 ADCE 是菱形；
（2）作出△ABC 外接圆，不写作法，请指出圆心与半径；
（3）若 AO：BD= ：2，求证：点 E 在△ABC 的外接圆上．
【答案】（1）证明：∵DE∥AB，AE∥BC，
∴四边形 ADCE 是平行四边形，
∵∠BAC=90°，AD 是 BC 边上的中线，
∴AD= BC=CD，
∴四边形 ADCE 是菱形
（2）解：如图所示：圆心为点 D，AD、BD、CD 都为半径
（3）证明：∵四边形 ADCE 是菱形，
∴AC⊥DE，OD=OE，
∴∠AOD=90°，
∵AO：BD=3：2，
∴AO：AD=3：2，
即 sin∠ADO=3：2，
∴∠ADO=60°，
∴∠OAD=30°，
∴AD=2OD，
∴DE=DA，
∴点 E 在△ABC 的外接圆上 10
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