1
平行四边形
一、选择题
1.正方形四边中点的连线围成的四边形（最准确的说法）一定是（ ）
A. 矩形 B. 菱形
C. 正方形
D. 平行四边形
2.下列性质中，矩形不一定具有的是( )
A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直
C. 对边相等 D.
四个角都是直角
3. 若平面上 A、B 两点到直线 l 的距离分别为 m，n（m＞n），则线段 AB 的中点到 l 的距离为（ ）
A. m﹣n B.
C.
D. 或
4.如图，在△ABC 中，BD、CE 是△ABC 的中线，BD 与 CE 相交于点 O，点 F、G 分别是 BO、CO 的中点，连接
AO．若 AO=6cm，BC=8cm，则四边形 DEFG 的周长是（ ）
A. 14cm B. 18cm
C. 24cm
D. 28cm
5.如图，在▱ABCD 中，BE⊥AB 交对角线 AC 于点 E，若∠1=18°，则∠2=（ ）
2
A. 98° B. 102
° C. 108°
D. 118°
6.在矩形 ABCD 中，AB=1，AD= ，AF 平分∠DAB，过 C 点作 CE⊥BD 于 E，延长 AF、EC 交于点 H，下列结
论中：①AF=FH；②BO=BF；③CA=CH；④BE=3ED，正确的个数是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
7. 如图，矩形 ABCD 中，AD=2，AB=3，过点 A，C 作相距为 2 的平行线段 AE，CF，分别交 CD，AB 于点 E，
F，则 DE 的长是（ ）
A.
B.
C. 1
D.
8.如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 C 的直线 CE⊥AB，垂足为 E，若∠EAD=53°，则∠BCE 的度数为（）
3
A. 53°
B. 37°
C. 47°
D. 123°
9.如图，设正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，黑、白两个甲壳虫同时从 A 点出发，以相同的速度分别沿棱
向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是 AA1→A1D1→…，白甲壳虫爬行的路线是 AB→BB1→…，并且都遵循如下
规则：所爬行的第 n+2 与第 n 条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中 n 是正整数）．那么当黑、
白两个甲壳虫各爬行完第 2008 条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（ ）
A. 0
B. 1
C.
D.
10.已知正方形 ABCD 的边长是 10cm，△APQ 是等边三角形，点 P 在 BC 上，点 Q 在 CD 上，则 BP 的边长是
（ ）
A. cm B.
cm C.
cm D. cm
二、填空题
11.已知△ABC 的各边长度分别为 3cm，5cm，6cm，连结各边中点所构成的△DEF 的周长是________ cm．
12.如图，⊙O 的直径 AB=4，半径 OC⊥AB，D 为弧 BC 上一点，DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为 E、F．则
EF=________．4
13.如图，在圆 O 中，AB、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为 D、E，若 AC＝
2cm，则圆 O 的半径为________cm.
14.如图所示，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B=70°，∠C=40°，过点 D 作 DE∥AB 交 BC 于点 E，若 AD=3，
BC=10，则 CD 的长是________。
15.（2017•乌鲁木齐）如图，在菱形 ABCD 中，∠DAB=60°，AB=2，则菱形 ABCD 的面积为________．
16. 如图，设四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，以对角线 AC 为边作第二个正方形 ACEF、再以对角线 AE
为边作第三个正方形 AEGH，如此下去…．若正方形 ABCD 的边长记为 a1 ， 按上述方法所作的正方形的边
长依次为 a2 ， a3 ， a4 ， …，an ， 则 an=________．
17.在直线上按照如图所示方式放置面积为 S1、S2、S3 的三个正方形．若 S1=1、S2=3，则 S3=________．5
18.在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的位置如图所示，点 A 的坐标为（1，0），点 D 的坐标为（0，
3）．延长 CB 交 x 轴于点 A1 ， 作正方形 A1B1C1C；延长 C1B1 交 x 轴于点 A2 ， 作正方形 A2B2C2C1…，按
这样的规律进行下去，第 4 个正方形的边长为________．
三、解答题
19.如图，在三角形 ABC 中，AH 是高，正方形 DEFG 的顶点 D、G 分别在 AB、AC 上，EF 在 BC 上，设
BC=120，AH=80，求正方形的边长．
20.已知如图：在△ABC 中，AB、BC、CA 的中点分别是 E、F、G，AD 是高．求证：∠EDG=∠EFG．6
21.如图，AE 是正方形 ABCD 中∠BAC 的角平分线，AE 分别交 BD、BC 于点 F、E,AC 与 BD 交于点 O,求证：OF=
CE．
22.已知，如图，点 E、H 分别为▱ABCD 的边 AB 和 CD 延长线上一点，且 BE=DH，EH 分别交 BC、AD 于点 F、
G．求证：△AEG≌△CHF．
23. 如图，△ABC 为锐角三角形，AD 是 BC 边上的高，正方形 EFGH 的一边 FG 在 BC 上，顶点 E、H 分别在
AB、AC 上，已知 BC=40cm，AD=30cm．
（1）求证：△AEH∽△ABC；
（2）求这个正方形的边长与面积． 7
24.探究题
【问题情境】
如图 1，四边形 ABCD 是正方形，M 是 BC 边上的一点，E 是 CD 边的中点，AE 平分∠DAM．
（1）【探究展示】
直接写出 AM、AD、MC 三条线段的数量关系：________；
（2）【拓展延伸】
AM=DE+BM 是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）若四边形 ABCD 是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图 2，探究展示（1）、（2）中的结论是
否成立？请分别作出判断，不需要证明． 8
参考答案
一、选择题
C B D A C C D B C C
二、填空题
11. 7
12. 2
13.
14. 7
15. 2
16. （ ）n﹣1
17. 2
18.
三、解答题
19. 解：如下图所示： 设正方形的边长为 x
∵四边形 DEFG 是正方形，
∴DE=EF=FG=DG，DG∥EF，
∴△ADG∽△ABC，
∴
即：
解之得：x=48
即正方形的边长为 489
20. 证明：连接 EG，
∵E、F、G 分别是 AB、BC、CA 的中点，
∴EF 为△ABC 的中位线，EF= AC．
（三角形的中位线等于第三边的一半）
又∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，DG 为直角△ADC 斜边上的中线，
∴DG= AC．
（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
∴DG=EF．
同理 DE=FG，EG=GE，
∴△EFG≌△GDE（SSS）．
∴∠EDG=∠EFG．
21. 证明：取 AE 中点 P，连接 OP，
∵点 O 是 AC 中点，
∴OP 是△ACE 的中位线，
∴OP= CE，OP∥AD，
∴∠OPF=∠EAD=∠EAC+∠CAD=∠EAC+45°，
又∵∠OFP=∠ABD+∠BAE=∠BAE+45°，∠EAC=∠BAE，
∴∠OPF=∠OFP．
∴OP=OF．
∴OF= CE． 10
22. 证明：在▱ABCD 中，AB∥CD，AB=CD，∠A=∠C， ∴∠E=∠H，
∵BE=DH，
∴AE=CH，
在△AEG 与△CHF 中，
，
∴△AEG≌△CHF（ASA）．
23.（1）证明：证明：∵四边形 EFGH 是正方形， ∴EH∥BC，
∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，
∴△AEH∽△ABC
（2）解：如图 设 AD 与 EH 交于点 M． ∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，
∴四边形 EFDM 是矩形，
∴EF=DM，设正方形 EFGH 的边长为 x，
∵△AEH∽△ABC，
∴ ，
∴ ，
∴x= ，
∴正方形 EFGH 的边长为 cm，面积为 cm2
24. （1）AM=AD+MC
（2）AM=DE+BM 成立．
证明：过点 A 作 AF⊥AE，交 CB 的延长线于点 F，如图 1（2）所示．11
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB=AD，AB∥DC．
∵AF⊥AE，
∴∠FAE=90°．
∴∠FAB=90°﹣∠BAE=∠DAE．
在△ABF 和△ADE 中，
∴△ABF≌△ADE（ASA）．
∴BF=DE，∠F=∠AED．
∵AB∥DC，
∴∠AED=∠BAE．
∵∠FAB=∠EAD=∠EAM，
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM
=∠BAM+∠FAB
=∠FAM．
∴∠F=∠FAM．
∴AM=FM．
∴AM=FB+BM=DE+BM．
（3）①结论 AM=AD+MC 仍然成立．
证明：延长 AE、BC 交于点 P，如图 2（1），
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE=∠EPC．
∵AE 平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE．12
∴∠EPC=∠MAE．
∴MA=MP．
在△ADE 和△PCE 中，
∴△ADE≌△PCE（AAS）．
∴AD=PC．
∴MA=MP=PC+MC
=AD+MC．
②结论 AM=DE+BM 不成立．
证明：假设 AM=DE+BM 成立．
过点 A 作 AQ⊥AE，交 CB 的延长线于点 Q，如图 2（2）所示．
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB∥DC．
∵AQ⊥AE，
∴∠QAE=90°．
∴∠QAB=90°﹣∠BAE=∠DAE．
∴∠Q=90°﹣∠QAB
=90°﹣∠DAE
=∠AED．
∵AB∥DC，
∴∠AED=∠BAE．
∵∠QAB=∠EAD=∠EAM，
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM
=∠BAM+∠QAB
=∠QAM．13
∴∠Q=∠QAM．
∴AM=QM．
∴AM=QB+BM．
∵AM=DE+BM，
∴QB=DE．
在△ABQ 和△ADE 中，
∴△ABQ≌△ADE（AAS）．
∴AB=AD．
与条件“AB≠AD“矛盾，故假设不成立．
∴AM=DE+BM 不成立
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