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勾股定理
一、选择题
1.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A. 1，2，3 B. 2，3，
4 C. 3，4，
5 D. 4，5，6
2.若一个直角三角形的三边长分别为 a,b,c，且 a2=9,b2=16 则 c2 为（ ）
A. 25 B. 7
C. 7 或
25 D. 9 或 16
3.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=2，点 D 在 BC 上，∠ADC=2∠B，AD= ，则 BC 的长为（ ）
A. ﹣1 B.
+1 C. ﹣
1 D. +1
4.已知一个菱形的周长是 ，两条对角线的比是 4：3，则这个菱形的面积是（ ）
A. B.
C.
D.
5.下列结沦中，错误的有（ ）
①Rt△ABC 中，已知两边分别为 3 和 4，则第三边的长为 5；
②三角形的三边分别为 a、b、c ， 若 a2+b2=c2 ， 则∠A=90°；
③若△ABC 中，∠A：∠B：∠C=1：5：6，则这个三角形是一个直角三角形；
④若（x﹣y）2+M=（x+y）2 成立，则 M=4xy ．
A. 0 个
B. 1 个2
C. 2 个
D. 3 个
6.如图，在平面直角坐标系中，点 A 在第一象限，⊙A 与轴相切于 B，与轴交于 C（0，1），D（0，4）两
点，则点 A 的坐标是 （ ）
A. B.
C.
D.
7.如图，一圆柱高 8cm，底面半径为 cm，一只蚂蚁从点 A 爬到点 B 处吃食，要爬行的最短路程是
（ ）
A. 6cm
B. 8cm
C. 10cm D. 12cm
8.在△ABC 中，若三边 BC ,CA,AB 满足 BC：CA：AB=5：12：13，则 cosB=（ ）
A. B.
C.
D. 3
9.如图，以 AB 为直径的⊙O 与弦 CD 相交于点 E，且 AC=2，AE= ，CE=1．则 的长是（ ）
A. B.
C.
D.
10.如图所示，A 是斜边长为 m 的等腰直角三角形，B ， C ， D 都是正方形。则 A，B，C，D 的面积的和
等于 ( )
A. B.
C.
D.
11.已知 x、y 为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以 x、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这
个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）
A. 5
B. 25
C. 7
D. 15
12.如图，已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2AD，点 E，F 分别是 AB，BC 边的中点，
连接 AF，CE 交于点 M，连接 BM 并延长交 CD 于点 N，连接 DE 交 AF 于点 P，则结论：①∠ABN=∠CBN；②DE4
∥BN；③△CDE 是等腰三角形；④EM：BE= ：3；⑤S△EPM= S 梯形 ABCD ， 正确的个数有（ ）
A. 5 个
B. 4 个
C. 3 个
D. 2 个
二、填空题
13.如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 P．若 CD=8，OP=3，则⊙O 的半径为________．
14.如图，已知 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，现将△ABC 进行折叠，使顶点 A、B 重合，则折
痕 DE=________ cm．
15.在 Rt△ACB 中，∠ACB=90°，点 D 在边 BC 上，连接 AD，以点 D 为顶点，AD 为一边作等边△ADE，连接
BE，若 BC=7，BE=4，∠CBE=60°，则∠EAB 的正切值为________．
5
16.如图，在四边形 ABCD 中，AB⊥BC，AD∥BC，∠BCD=120°，BC=2，AD=DC．P 为四边形 ABCD 边上的任意
一点，当∠BPC=30°时，CP 的长为________．
17.如图，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A，B，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是________．
18.将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为 15cm，高 8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面
的长度为 hcm，则 h 的取值范围是________
19.如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，E 是 AB 边上的一点，且 AE=3，点 Q 为对角线 AC 上的动点，则△
BEQ 周长的最小值为________．
20.如图，⊙P 内含于⊙O，⊙O 的弦 AB 切⊙P 于点 C，且 AB∥OP．若阴影部分的面积为 16π，则弦 AB 的
长为________．
三、解答题
21.如图，∠C=90°，AC=3，BC=4，AD=12，BD=13，试判断△ABD 的形状，并说明理由． 6
22.已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠B=90°，AB=BC=2，CD=3，AD=1，求∠DAB 的度数．
23.在 中， ， ， 三边的长分别为 ， ， ，求这个三角形的面积.
小明同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格（每个小正方形的边长为 1），再在网格中
画出格点△ABC 中，（即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图 1 所示，这样不需要△ABC 高，借
用网格就能计算出它的面积.
（1）△ABC 的面积为________ ；
（2）如果△MNP 三边的长分别为 ， ， ，请利用图 2 的正方形网格（每个小正方形的边长为
1）画出相应的格点△MNP，并直接写出△MNP 的面积. 7
24. 如图，AB 为⊙O 的直径，EF 切⊙O 于点 D，过点 B 作 BH⊥EF 于点 H，交⊙O 于点 C，连接 BD．
（1）求证：BD 平分∠ABH；
（2）如果 AB=12，BC=8，求圆心 O 到 BC 的距离．
25.我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形
为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称________，________；
（2）如图 1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你直接写出所有以格
点为顶点，OA、OB 为勾股边且有对角线相等的勾股四边形 OAMB 的顶点 M 的坐标．
（3）如图 2，将△ABC 绕顶点 B 按顺时针方向旋转 60°，得到△DBE，连接 AD、DC，∠DCB=30°．求证：
DC2+BC2=AC2 ， 即四边形 ABCD 是勾股四边形．
（4）若将图 2 中△ABC 绕顶点 B 按顺时针方向旋转 a 度（0°＜a＜90°），得到△DBE，连接 AD、DC，则∠
DCB=________°，四边形 ABCD 是勾股四边形． 8
参考答案
一、选择题
C C D B C C C C B A C B
二、填空题
13. 5
14. 1.875
15.
16. 2 或 2 或 4
17.
18. 7cm≤h≤16cm
19. 6
20. 8
三、解答题
21. 解：△ABD 为直角三角形．理由如下： ∵在△ABC 中，∠C=90°，
∴AB2=CB2+AC2=42+32=52 ，
∴在△ABD 中，AB2+AD2=52+122=132 ，
∴AB2+AD2=BD2 ，
∴△ABD 为直角三角形．
22. 解：∵∠B=90°，AB=BC=2，
∴AC= =2 ，∠BAC=45°，
又∵CD=3，DA=1，
∴AC2+DA2=8+1=9，CD2=9，
∴AC2+DA2=CD2 ，
∴△ACD 是直角三角形，
∴∠CAD=90°，
∴∠DAB=45°+90°=135°．
故∠DAB 的度数为 135°． 9
23. （1）4.5
（2）解：
S△MNP=S 矩形 BMOA－S△BMP－S△MON－S△ANP= 15－1.5－2.5－4=7.
24 .（1）证明：连接 OD，
∵EF 是⊙O 的切线，
∴OD⊥EF，
又∵BH⊥EF，
∴OD∥BH，
∴∠ODB=∠DBH，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD
∴∠OBD=∠DBH，
即 BD 平分∠ABH
（2）解：过点 O 作 OG⊥BC 于点 G，则 BG=CG=4， 在 Rt△OBG 中，OG= = =
．10
25. （1）矩形；正方形
（2）解：如图 1 所示：M（3，4），M（4，3）；
（3）解:如图 2，连接 CE，
由旋转得：△ABC≌△DBE，
∴AC=DE，BC=BE，
∵∠CBE=60，
∴△CBE 为等边三角形，
∴BC=CE，∠BCE=60，
∵∠DCB=30，
∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=30°+60°=90°，
∴DC2+EC2=DE2 ，
∴DC2+BC2=AC2 ．
∴即四边形 ABCD 是勾股四边形．
（4）
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