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一元二次方程
一、选择题
1.已知一元二次方程 有一个根为 1，则 的值为（ ）
A. -2
B. 2
C. -4
D. 4
【答案】B
2.（2017•河南）一元二次方程 2x2﹣5x﹣2=0 的根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C.
只有一个实数根 D. 没有实数根
【答案】B
3.（2017•上海）下列方程中，没有实数根的是（ ）
A. x2﹣2x=0 B. x2﹣2x﹣
1=0 C. x2﹣
2x+1=0 D. x2﹣2x+2=0
【答案】D
4.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯 55 次，则参加酒会的人数为（ ）
A.9 人 B.10 人 C.11 人 D.12 人
【答案】C
5.某市从 2017 年开始大力发展“竹文化”旅游产业.据统计，该市 2017 年“竹文化”旅游收入约为 2 亿
元.预计 2019 年“竹文化”旅游输入将达到 2.88 亿元，据此估计该市 2018 年、2019 年“竹文化”旅游收
入的年平均增长率约为（ ）
A. B.
C.
D.
【答案】C
6.（2017·嘉兴）用配方法解方程 时，配方结果正确的是（ ） 2
A. B.
C.
D.
【答案】B
7.（2017•益阳）关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为 x1=1，x2=﹣1，那么下列结论一定
成立的是（ ）
A. b2﹣4ac＞0 B. b2﹣
4ac=0 C. b2﹣4ac＜
0 D. b2﹣4ac≤0
【答案】A
8.（2017•六盘水）三角形的两边 a、b 的夹角为 60°且满足方程 x2﹣3 x+4=0，则第三边的长是
（ ）
A. B. 2
C. 2
D. 3
【答案】A
9.（2017•荆门）在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，则下列
结论正确的是（ ）
A. a＜0，b＜0，c＞
0 B. ﹣
=1
C. a+b+c＜
0
D. 关于 x 的方程 x2+bx+c=﹣1 有两个不相等的实数根3
【答案】D
10.（2017•荆州）规定：如果关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是
另一个根的 2 倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论： ①方程 x2+2x﹣8=0 是倍根方程；
②若关于 x 的方程 x2+ax+2=0 是倍根方程，则 a=±3；
③若关于 x 的方程 ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，则抛物线 y=ax2﹣6ax+c 与 x 轴的公共点的坐标是
（2，0）和（4，0）；
④若点（m，n）在反比例函数 y= 的图象上，则关于 x 的方程 mx2+5x+n=0 是倍根方程．
上述结论中正确的有（ ）
A. ①② B. ③④
C. ②③
D. ②④
【答案】C
二、填空题
11.（2017•贵阳）方程（x﹣3）（x﹣9）=0 的根是________．
【答案】x1=3，x2=9
12.（2017•巴中）已知 x=1 是一元二次方程 x2+ax+b=0 的一个根，则 a2+2ab+b2 的值为________．
【答案】1
13.（2017•黑龙江）原价 100 元的某商品，连续两次降价后售价为 81 元，若每次降低的百分率相同，则
降低的百分率为________．
【答案】10%
14.（2017•镇江）已知实数 m 满足 m2﹣3m+1=0，则代数式 m2+ 的值等于________．
【答案】9
15.（2017•赤峰）如果关于 x 的方程 x2﹣4x+2m=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是________．
【答案】m＜2
16. 已知实数 m，n 满足 m﹣n2=1，则代数式 m2+2n2+4m﹣1 的最小值等于________．
【答案】4
17.已知 a>b>0,且 ，则 ________。
【答案】4
18.（2017•营口）若关于 x 的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围
是________．
【答案】k＞ 且 k≠1
三、解答题
19. 解方程：x2﹣2x=4．
【答案】解：配方 x2﹣2x+1=4+1
∴（x﹣1）2=5
∴x=1±
∴x1=1+ ，x2=1﹣
20.（2017•安顺）先化简，再求值：（x﹣1）÷（ ﹣1），其中 x 为方程 x2+3x+2=0 的根．
【答案】解：原式=（x﹣1）÷
=（x﹣1）÷
=（x﹣1）×
=﹣x﹣1．
由 x 为方程 x2+3x+2=0 的根，解得 x=﹣1 或 x=﹣2．
当 x=﹣1 时，原式无意义，所以 x=﹣1 舍去；
当 x=﹣2 时，原式=﹣（﹣2）﹣1=2﹣1=1
21.（2017•巴中）巴中市某楼盘准备以每平方米 5000 元的均价对外销售，由于有关部门关于房地产的新
政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每
平方米 4050 元的均价开盘销售，若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百分率．
【答案】解：设平均每次下调的百分率为 x，
根据题意得：5000（1﹣x）2=4050，
解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）．
答：平均每次下调的百分率为 10%
22.（2017•滨州）根据要求，解答下列问题：
（1）解答下列问题 ①方程 x2﹣2x+1=0 的解为________；
②方程 x2﹣3x+2=0 的解为________；5
③方程 x2﹣4x+3=0 的解为________；
…
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想： ①方程 x2﹣9x+8=0 的解为________；
②关于 x 的方程________的解为 x1=1，x2=n．
（3）请用配方法解方程 x2﹣9x+8=0，以验证猜想结论的正确性．
【答案】（1）x1=x2=1；x1=1，x2=2；x1=1，x2=3
（2）1、8；x2﹣（1+n）x+n=0
（3）x²-9x=-8 x²-9x+ =-8+
（x- ）²=
x- =
所以
所以猜想正确。
23.（2017·台州）在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根，比如对于方
程 ，操作步骤是：
第一步：根据方程系数特征，确定一对固定点 A（0，1），B（5，2）;
第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点 A，另一条直角边恒过点 B；
第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在 x 轴上点 C 处时，点 C 的横坐标 m 即为该方程的一个实
数根（如图 1）
第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在 x 轴上另一点 D 处时，点 D 的横坐标为 n 即为该方程的另
一个实数根。
（1）在图 2 中，按照“第四步“的操作方法作出点 D（请保留作出点 D 时直角三角板两条直角边的痕迹） 6
（2）结合图 1，请证明“第三步”操作得到的 m 就是方程 的一个实数根；
（3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置，若要以此方法找到一元二次方程
的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；
（4）实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地,当 ， ， ， 与 a，b，c 之间满足怎样的关
系时，点 P（ ， ），Q（ ， ）就是符合要求的一对固定点？
【答案】（1）解：如图 2 所示：
（2）证明：在图 1 中，过点 B 作 BD⊥x 轴，交 x 轴于点 D.
根据题意可证△AOC∽△CDB.
∴ .
∴ .
∴m（5-m）=2.
∴m2-5m+2=0.
∴m 是方程 x2-5x+2=0 的实数根.
（3）解：方程 ax2+bx+c=0（a≠0）可化为
x2+ x+ =0.
模仿研究小组作法可得：A（0，1），B（- ， ）或 A（0， ），B（- ，c）等.
（4）解：以图 3 为例：P（m1,n1）Q（m2,n2）,
设方程的根为 x，根据三角形相似可得. = .
上式可化为 x2-(m1+m2）x+m1m2+n1n2=0.
又 ax2+bx+c=0,
即 x2+ x+ =0.7
比较系数可得：m1+m2=- .
m1m2+n1n2= .
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