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圆
一、选择题
1.下列说法正确的是( )
A. 顶点在圆上的角是圆周角
B. 两边都和圆相交
的角是圆周角
C. 圆心角是圆周角的 2 倍
D. 圆周
角度数等于它所对圆心角度数的一半
【答案】D
2.如图,已知圆心角∠BOC=120°,则圆周角∠BAC 的大小是( )
A. 60°
B. 80°
C. 100°
D. 120°
【答案】A
3.已知圆锥的底面半径为 1cm,母线长为 3cm,则其全面积为( )
A. π B.
3π C.
4π D.
7π
【答案】C 2
4.如图,小明为检验 M、N、P、Q 四点是否共圆,用尺规分别作了 MN、MQ 的垂直平分线交于点 O,则 M、
N、P、Q 四点中,不一定在以 O 为圆心,OM 为半径的圆上的点是( )
A. 点 M B. 点
N C. 点
P D. 点 Q
【答案】C
5.如图,从一块直径是 8m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 90°的扇形,将剪下的扇形围成一个圆锥,圆
锥的高是( )m.
A. 4
B. 5 C.
D. 2
【答案】C
6.如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AD 与 BC 的延长线交于点 E,BA 与 CD 的延长线交于点 F,∠
DCE=80°,∠F=25°,则∠E 的度数为( )
A.55° B.50° C.45° D.40°
【答案】C
7.已知⊙O 的半径为 3,△ABC 内接于⊙O,AB=3 ,AC=3 ,D 是⊙O 上一点,且 AD=3,则 CD 的长应是
( ) 3
A. 3 B.
6 C.
D. 3
或 6
【答案】D
8.如图,⊙O 是△ABC 的内切圆,D,E,F 是切点,∠A=50°,∠C=60°,则∠DOE=( )
A. 70° B. 110
° C. 120°
D. 130°
【答案】B
9.如图,AB 是⊙O 的直径,C,D 为圆上两点,∠AOC =130°,则∠D 等于( )
A. 25° B.
30° C. 35°
D. 50°
【答案】A
10.如图,AB 是⊙O 的直径,AB=4,D、C 在⊙O 上,AD∥OC,∠DAB=60°,连接 AC,则 AC=( )
A. 4 B.
C. 4
D.
【答案】C
11.如图,在□ABCD 中,BD=4,将□ABCD 绕其对称中心 O 旋转 90°,则点 D 经过的路径长为
( )
A. 4π B
. 3π C.
2π D.
π
【答案】D
12.如图 CD 是⊙O 的直径,CD=10,点 A 在⊙O 上,∠ACD=30°,B 为 的中点,P 是直径 CD 上一动点,
则 PA+PB 的最小值为( )
A. 5 B.
C. 5
D.
【答案】A
二、填空题
13.已知⊙O 的半径为 3cm,圆心 O 到直线 l 的距离是 2m,则直线 l 与⊙O 的位置关系是________.
【答案】相交
14.如果扇形的圆心角为 120°,半径为 3cm,那么扇形的面积是________ . 5
【答案】3π
15.一个底面直径是 80 cm,母线长为 90 cm 的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为________
【答案】160
16.如图,已知⊙P 的半径为 2,圆心 P 在抛物线 y= x2﹣1 上运动,当⊙P 与 x 轴相切时,圆心 P 的坐标
为________ .
【答案】( ,2)或(﹣ ,2)
17.小杨用一个半径为 36cm、面积为 324πcm2 的扇形纸板制作一个圆锥形的玩具帽(接缝的重合部分忽略
不计),则帽子的底面半径为________ cm.
【答案】9
18.如图,AB 是⊙O 的直径,C,D 是⊙O 上两点,∠BAC=40°,则∠D 的度数为________度.
【答案】130
19.(2017•宜宾)如图,⊙O 的内接正五边形 ABCDE 的对角线 AD 与 BE 相交于点 G,AE=2,则 EG 的长是
________.
【答案】 ﹣1
三、解答题 6
20.如图,圆 O 与四边形 ABCD 四边都相切,试讨论四边形 ABCD 边与边之间有何关系.
【答案】解:∵圆 O 与四边形 ABCD 四边都相切,
∴AG=AH,DF=CF,BE=BH,CE=CF,
∴AG+DG+CE+BE=AH+DF+CF+BH,
∴AD+BC=AB+CD,
即四边形 ABCD 的对边的和相等.
21.如图,BC 是⊙O 的直径,A 是⊙O 上一点,过点 C 作⊙O 的切线,交 BA 的延长线于点 D,取 CD 的中点
E,AE 的延长线与 BC 的延长线交于点 P。
(1)求证:AP 是⊙O 的切线;
(2)若 OC=CP,AB=3 , 求 CD 的长。
【答案】(1)证明:如图,连结 AO,AC.
∵BC 是⊙O 的直径,
∴∠BAC=∠CAD=90°.
∵E 是 CD 的中点,
.
∴∠ECA=∠EAC.
,
∴∠OAC=∠OCA.7
∵CD 是⊙O 的切线,
∴CD⊥OC.
∴∠ECA+∠OCA=90°.
∴∠EAC+∠OAC=90°.
即∠OAP=90°
∴OA⊥AP.
∵A 是⊙O 上一点,
∴AP 是⊙O 的切线.
(2)解:由(1)知 OA⊥AP.
在 Rt△OAP 中,∵∠OAP=90°,OC=CP=OA,即 OP=2OA,
.
∴∠P=30°.
∴∠AOP=60°.
∵OC=OA,
∴∠ACO=60°.
在 Rt△BAC 中,∵∠BAC=90°,AB= , ∠ACO=60°,
.
又∵在 Rt△ACD 中,∠CAD=90°,∠ACD=90°-∠ACO=30°,
.
22.如图,点 D 是线段 BC 的中点,分别以点 B,C 为圆心,BC 长为半径画弧,两弧相交于点 A,连接 AB,
AC,AD,点 E 为 AD 上一点,连接 BE,CE.
(1)求证:BE=CE;
(2)以点 E 为圆心,ED 长为半径画弧,分别交 BE,CE 于点 F,G.若 BC=4,EB 平分∠ABC,求图中阴影
部分(扇形)的面积.8
【答案】(1)证明:∵点 D 是线段 BC 的中点,
∴BD=CD,
∵AB=AC=BC,
∴△ABC 为等边三角形,
∴AD 为 BC 的垂直平分线,
∴BE=CE;
(2)解:∵EB=EC,
∴∠EBC=∠ECB=30°,
∴∠BEC=120°,
在 Rt△BDE 中,BD=BC=2,∠EBD=30°,
∴ED= BD= ,∠FEG=120°,
∴阴影部分(扇形)的面积= =π.
23.如图,点 C 在以 AB 为直径的半圆 O 上,以点 A 为旋转中心,以∠β(0°<β<90°)为旋转角度将 B
旋转到点 D,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E,交 AC 于点 F,过点 C 作圆 O 的切线交 DE 于点 G。
(1)求证:∠GCA=∠OCB;
(2)设∠ABC=m°,求∠DFC 的值;
(3)当 G 为 DF 的中点时,请探究∠β 与∠ABC 的关系,并说明理由。
【答案】(1)证明:如图:
∵AB 为⊙O 的直角,
∴∠ACB=90°,即∠1+∠3=90°,9
∵GC 为⊙O 的切线,
∴OC⊥CG,
∴∠OCG=90°,即∠3+∠GCA=90°,
∴∠1=∠GCA,
即∠GCA=∠OCB;
(2)∵∠ACB=90°,
∴∠ABC+∠BAC=90°,
∵DE⊥AB,
∴∠AEF=90°,
∴∠AFE+∠EAF=90°,
∴∠AFE=∠ABC=m°,
∴∠DFC=∠AFE=m°;
(3)∠β=180°-2∠ABC.理由如下:
∵∠GCA=∠1,∠DFC=∠ABC,
而∠1=∠ABC,
∴∠GCF=∠GFC,
∴GF=GC,
∵G 为 DF 的中点,
∴GD=GF,
∴GD=GC,
∴∠2=∠4,
∴∠2+∠GCF= ×180°=90°,即∠DCF=90°,
而∠ACB=90°,
∴点 B、C、D 共线,
∵以点 A 为旋转中心,以∠β(0°<β<90°)为旋转角度将 B 旋转到点 D,
∴AD=AB,∠BAD=β,
∴∠ABD=∠ADB,
∴β+2∠ABC=180°,
即 β=180°-2∠ABC. 10
24.如图,在平面直角坐标系中,圆 M 经过原点 O,且与 x 轴、y 轴分别相交于 A(﹣8,0),B(0,﹣6)
两点.
(1)求出直线 AB 的函数解析式;
(2)若有一抛物线的对称轴平行于 y 轴且经过点 M,顶点 C 在圆 M 上,开口向下,且经过点 B,求此抛物
线的函数解析式;
(3)设(2)中的抛物线交 x 轴于 D、E 两点,在抛物线上是否存在点 P,使得 S△PDE= S△ABC?若存在,
请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)解:设直线 AB 的函数解析式为 y=kx+b,
把 A(﹣8,0),B(0,﹣6)代入得 ,解得 ,
所以直线 AB 的解析式为 y=﹣ x﹣6
(2)解:在 Rt△AOB 中,AB= =10,
∵∠AOB=90°,
∴AB 为⊙M 的直径,
∴点 M 为 AB 的中点,M(﹣4,﹣3),
∵MC∥y 轴,MC=5,
∴C(﹣4,2),
设抛物线的解析式为 y=a(x+4)2+2,
把 B(0,﹣6)代入得 16a+2=﹣6,解得 a=﹣ ,
∴抛物线的解析式为 y=﹣ (x+4)2+2,即 y=﹣ x2﹣4x﹣6
(3)解:存在.
当 y=0 时,﹣ (x+4)2+2=0,解得 x1=﹣2,x2=﹣4,
∴D(﹣6,0),E(﹣2,0),11
S△ABC=S△ACM+S△BCM= •8•CM=20,
设 P(t,﹣ t2﹣4t﹣6),
∵S△PDE= S△ABC ,
∴ •(﹣2+6)•|﹣ t2﹣4t﹣6|= •20,
即|﹣ t2﹣4t﹣6|=1,
当﹣ t2﹣4t﹣6=1,解得 t1=﹣4+ ,t2=﹣4﹣ ,此时 P 点坐标为(﹣4+ ,1)或(﹣4﹣
,0)
当﹣ t2﹣4t﹣6=﹣1,解得 t1=﹣4+,t2=﹣4﹣ ;此时 P 点坐标为(﹣4+ ,﹣1)或(﹣4﹣
,0)
综上所述,P 点坐标为(﹣4+ ,1)或(﹣4﹣ ,0)或(﹣4+ ,﹣1)或(﹣4﹣ ,0)时,
使得 S△PDE= S△ABC .