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小专题(三) 二次函数的图象与性质
本专题包括二次函数的图象及性质的简单应用、二次函数图象上点的坐标特点、二次函
数图象的平移变换等内容,属于中考热点问题,熟练掌握二次函数的图象及性质、对称轴、顶
点坐标、二次函数的最值等知识点是解题的关键.
类型 1 二次函数的图象及应用
1.已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①a>0;②该函数的图象关于
直线 x=1 对称;③当 x=-1 或 x=3 时,函数 y 的值都等于 0.其中正确结论的个数是 (B)
A.3 B.2 C.1 D.0
2.一次函数 y=ax+b 与二次函数 y=ax2+bx+c 在同一坐标系中的图象可能是 (C)
3.如图,二次函数的图象经过(-2,-1),(1,1)两点,则下列关于此二次函数的说法正确的是(D)
A.y 的最大值小于 0
B.当 x=0 时,y 的值大于 1
C.当 x=-1 时,y 的值大于 1
D.当 x=-3 时,y 的值小于 0
类型 2 二次函数性质的应用2
4.(泸州中考)已知抛物线 y=1
4x2+1 具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点 F(0,2)的距离
与到 x 轴的距离始终相等.如图,点 M 的坐标为( 3,3),P 是抛物线 y=1
4x2+1 上一个动点,则
△PMF 周长的最小值是 (C)
A.3 B.4 C.5 D.6
提示:过点 M 作 ME⊥x 轴于点 E,交抛物线 y=1
4x2+1 于点 P,此时△PMF 周长最小.
5.如图,已知抛物线 y=-x2+mx+3 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C,点 B 的坐标为(3,0).
(1)求 m 的值及抛物线的顶点坐标;
(2)P 是抛物线对称轴 l 上的一个动点,当 PA+PC 的值最小时,求点 P 的坐标.
解:(1)把点(3,0)代入 y=-x2+mx+3,得 0=-32+3m+3,解得 m=2,
∴y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴顶点坐标为(1,4).
(2)连接 BC 交抛物线对称轴 l 于点 P,则此时 PA+PC 的值最小,
设直线 BC 的表达式为 y=kx+b,
∵直线 BC 经过点 C(0,3),点 B(3,0),∴3k+b=0,b=3,
解得 k=-1,b=3,
∴直线 BC 的表达式为 y=-x+3,
当 x=1 时,y=-1+3=2,
∴当 PA+PC 的值最小时,点 P 的坐标为(1,2).3
6.如图,已知二次函数 y=x2-2x-1 的图象的顶点为 A.二次函数 y=ax2+bx 的图象与 x 轴交于原
点 O 及另一点 C,它的顶点 B 在函数 y=x2-2x-1 的图象的对称轴上.
(1)求点 A 与点 C 的坐标;
(2)当四边形 AOBC 为菱形时,求函数 y=ax2+bx 的关系式.
解:(1)y=x2-2x-1=(x-1)2-2,∴点 A 的坐标为(1,-2).
∵抛物线 y=ax2+bx 的顶点 B 在函数 y=x2-2x-1 的图象的对称轴上.
∴B 点的横坐标为 1,则对称轴- b
2a=1,
∴b=-2a.
对于 y=ax2+bx,令 y=0,得 ax2+bx=0,解得 x1=0,x2=-b
a,则 x2=-b
a = 2a
a =2,即点 C 的坐标为(2,0).
(2)当四边形 AOBC 为菱形时,由菱形的对角线互相垂直平分,得 B 点坐标为(1,2),
则{b = -2a,
a + b = 2,解得{a = -2,
b = 4.
∴函数 y=ax2+bx 的关系式为 y=-2x2+4x.
类型 3 二次函数图象上点的坐标特点
7.如果抛物线 y=ax2+bx+c 过定点 M(1,1),则称此抛物线为定点抛物线.
(1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目:请你写出一条定点抛物线的一个表达式.小敏写出
了一个答案:y=2x2+3x-4,请你写出一个不同于小敏的答案;
(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题:已知定点抛物线 y=-x2+2bx+c+1,求该抛物线
顶点纵坐标的值最小时的表达式,请你解答.
解:(1)y=x2-2x+2.(答案不唯一)4
(2)∵定点抛物线的顶点坐标为(b,c+b2+1),且-1+2b+c+1=1,
∴c=1-2b,
∵顶点纵坐标 c+b2+1=2-2b+b2=(b-1)2+1,
∴当 b=1 时,c+b2+1 最小,即抛物线顶点纵坐标的值最小,此时 c=-1,
∴抛物线的表达式为 y=-x2+2x.
类型 4 二次函数图象的平移变换
8.(淄博中考)将二次函数 y=x2+2x-1 的图象沿 x 轴向右平移 2 个单位长度,得到的函数表达
式是 (D)
A.y=(x+3)2-2 B.y=(x+3)2+2
C.y=(x-1)2+2 D.y=(x-1)2-2
9.已知抛物线C1:y=5
9(x+2)2-5的顶点为 P,与x轴正半轴交于点B,抛物线C2 与抛物线C1 关于 x
轴对称,将抛物线 C2 向右平移,平移后的抛物线记为 C3,C3 的顶点为 M,当点 P,M 关于点 B 成中
心对称时,求 C3 的表达式.
解:点 P 的坐标为(-2,-5),
令 y=0,得5
9(x+2)2-5=0,解得 x1=1,x2=-5,
∴点 B 的坐标为(1,0),
∵点 P,M 关于点 B 对称,
∴点 M 的坐标为(4,5),
∵抛物线 C2 与抛物线 C1 关于 x 轴对称,抛物线 C2 向右平移得到 C3,
∴抛物线 C3 的表达式为 y=-5
9(x-4)2+5.5
10.如图所示的抛物线是由抛物线 y=-x2 经过平移而得到.这时抛物线过原点 O 和 x 轴正半轴
上一点 A,顶点为 P,∠OPA=90°.
(1)求抛物线的顶点 P 的坐标及抛物线的表达式;
(2)求如图所示的抛物线对应的二次函数在-1
2≤x≤1
2时的最大值和最小值.
解:(1)由题意可设 y=-(x-a)2+b(a>0),
∵抛物线过点(0,0),代入得 0=-a2+b,
∴b=a2,y=-(x-a)2+a2.
过点 P 作 PM⊥x 轴于点 M,则 OM=a,PM=a2.
∵P 是抛物线的顶点,∠OPA=90°,
∴PO=PA,
∴OM=AM=PM,
∴a2=a,解得 a=1 或 a=0(舍去),
∴点 P 的坐标为(1,1),
∴抛物线的表达式为 y=-(x-1)2+1=-x2+2x.
(2)∵抛物线的表达式为 y=-(x-1)2+1,
∴抛物线的对称轴是直线 x=1,
又∵抛物线开口向下,
∴当-1
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