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1.6 利用三角函数测高
知识要点基础练
知识点 测量对象的高度
1.(重庆中考)如图,AB 是一垂直于水平面的建筑物.某同学从建筑物底端 B 出发,先沿水平方
向向右行走 20 米到达点 C,再经过一段坡度(或坡比)为 i=1∶0.75、坡长为 10 米的斜坡 CD
到达点 D.然后再沿水平方向向右行走 40 米到达点 E(点 A,B,C,D,E 均在同一平面内).在 E 处
测得建筑物顶端 A 的仰角为 24°,则建筑物 AB 的高度约为(参考数据:sin 24°≈0.41,cos
24°≈0.91,tan 24°≈0.45) (A)
A.21.7 米 B.22.4 米 C.27.4 米 D.28.8 米
2.如图,某课外活动小组在测量旗杆高度的活动中,已测得仰角∠CAE=33°,AB=a,BD=b,则旗
杆 CD 的高为 btan 33°+a .
3.如图,CD 是一个高为 4 米的平台,AB 是与 CD 底部相平的一棵树,在平台顶 C 点测得树顶 A
点的仰角 α=30°,
从平台底部向树的方向水平前进 3 米到达点 E,在点 E 处测得树顶 A 点的仰角 β=60°,求树
高 AB.(结果保留根号)
解:作 CF⊥AB 于点 F,设 AF=x 米.2
在 Rt△ACF 中,tan ∠ACF=AF
CF,
则 CF= AF
tan∠ACF = x
tanα = x
tan30° = 3x 米.
在 Rt△ABE 中,tan ∠AEB=AB
BE,
则 BE= AB
tan∠AEB = AF + BF
tanβ = x + 4
tan60° = 3
3 (x+4)米.
∵DB-BE=DE,DB=CF,∴ 3x- 3
3 (x+4)=3,
解得 x=3 3 + 4
2 ,则 AB=3 3 + 4
2 +4=3 3 + 12
2 米.
答:树高 AB 为3 3 + 12
2 米.
综合能力提升练
4.某数学兴趣小组的同学进行测量大树 CD 高度的综合实践活动,如图,在点 A 处测得直立于
地面的大树顶端 C 的仰角为 36°,然后沿在同一剖面的斜坡 AB 行走 13 米至坡顶 B 处,然后
再沿水平方向行走 6 米至大树脚底点 D 处,斜面 AB 的坡度(或坡比)i=1∶2.4,那么大树 CD 的
高度约为 8.1 米.(参考数据:sin 36°≈0.59,cos 36°≈0.81,tan 36°≈0.73,结果精
确到 0.1 米)
5.如图,某人在山坡坡脚 A 处测得电视塔尖点 C 的仰角为 60°,沿山坡向上走到 P 处再测得
点 C 的仰角为 45°,已知 OA=100 米,山坡坡度(竖直高度与水平宽度的比)i=1∶2,且点 O,A,B
在同一条直线上.求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度.(测倾器高度忽略不
计,结果保留根号形式)3
解:作 PE⊥OB 于点 E,PF⊥CO 于点 F,
在 Rt△AOC 中,AO=100,∠CAO=60°,
∴CO=AO·tan 60°=100 3.
设 PE=x,
∵tan∠PAB=PE
AE = 1
2,∴AE=2x.
在 Rt△PCF 中,∠CPF=45°,CF=100 3-x,PF=OA+AE=100+2x,
∵PF=CF,
∴100+2x=100 3-x,解得 x=100( 3 - 1)
3 .
答:电视塔 OC 高为 100 3米,点 P 的铅直高度为100( 3 - 1)
3 米.
拓展探究突破练
6.(安徽中考)如图,游客在点 A 处坐缆车出发,沿 A-B-D 的路线可至山顶 D 处,假设 AB 和 BD
都是直线段,
且AB=BD=600 m,α=75°,β=45°,求DE的长.(参考数据:sin 75°≈0.97,cos 75°≈0.26,
2≈1.41)
解:在 Rt△ABC 中,∵AB=600 m,∠ABC=75°,
∴BC=AB·cos 75°≈600×0.26=156 m,
在 Rt△BDF 中,∵∠DBF=45°,
∴DF=BD·sin 45°=600× 2
2 ≈300×1.41=423 m,
∵四边形 BCEF 是矩形,
∴EF=BC=156 m,4
∴DE=DF+EF=423+156=579 m.
答:DE 的长为 579 m.
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