1
第一章 直角三角形的边角关系
1.1 锐角三角函数
第 1 课时 正 切
知识要点基础练
知识点 1 正切的意义
1.如图,已知在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB= 5,AC=2,则 tan A 的值为 (B)
A.2 B.1
2
C. 5
5 D.2 5
5
2.如图,在平面直角坐标系中,直线 OA 经过点 A(3,4),则 tan α 的值是 (D)
A.3
5 B.4
5
C.3
4 D.4
32
【变式拓展】(义乌中考)如图,点 A(t,3)在第一象限,OA 与 x 轴所夹的锐角为 α,tan α=3
2,
则 t 的值是 (C)
A.1 B.1.5
C.2 D.3
知识点 2 坡度(坡比)与坡角
3.(丽水中考)如图,河坝横断面迎水坡 AB 的坡比为 1∶ 3(坡比是坡面的铅直高度 BC 与水
平宽度 AC 之比),坝高 BC=3 m,则坡面 AB 的长度是 (B)
A.9 m B.6 m C.6 3 m D.3 3 m
4.甲坡面的坡度为 1∶3,乙坡面的坡度为 1∶4,则 甲 坡面比较陡.
知识点 3 求直角三角形的边长
5.如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=2,tan A=3,则 AB= 2 10 .
6.如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC 于点 D,若 tan B=2
3,求 BD∶CD 的值.
解:由条件知∠B=∠CAD,∴tan∠CAD=tan B=2
3,又 tan B=AD
BD,tan∠CAD=CD
AD,∴AD
BD·CD
AD = CD
BD = 4
9,∴
BD∶CD=9∶4.3
综合能力提升练
7.如图,在网格中,小正方形的边长均为 1,点 A,B,C 都在格点上,则∠ABC 的正切值是 (D)
A.2 B.2 5
5 C. 5
5 D.1
2
8.如图,延长 Rt△ABC 的斜边 AB 到点 D,使 BD=AB,连接 CD,若 tan∠BCD=1
3,则 tan A= (A)
A.3
2 B.1
C.1
3 D.2
3
9.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,则 tan A·tan B 的值一定 (D)
A.小于 1 B.不小于 1
C.大于 1 D.等于 1
10.(日照中考)如图,在 Rt△BAD 中,延长斜边 BD 到点 C,使 DC=1
2BD,连接 AC,若 tan B=5
3,则 tan
∠CAD 的值为 (D)
A. 3
3 B. 3
5 C.1
3 D.1
54
11.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点 D,若 CD∶AC=2∶3,则 tan ∠BCD 的值是 (A)
A.2 5
5 B.2
3 C.2 13
13 D. 2
13
12.(广州中考)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=15,tan A=15
8 ,则 AB= 17 .
13.如图,在边长相同的小正方形网格中,点 A,B,C,D 都在这些小正方形的顶点上,AB,CD 相交
于点 P,则AP
PB的值为 3 ,tan ∠APD 的值为 2 .
提示:取CD的中点E,连接BE,由正方形的性质得BE=DE,由BD∥AC得△BDP∽△ACP,所以AP
PB =
PC
DP = AC
BD=3,所以 DP=PE=1
2BE,所以 tan ∠APD=tan ∠BPE=2.
14.如图,四边形 ABCD,A1B1BA,…,A5B5B4A4 都是边长为 1 的小正方形.已知∠ACB=a,∠
A1CB1=a1,…,∠A5CB5=a5.求 tan a·tan a1+tan a1·tan a2+tan a2·tan a3+tan a3·tan
a4+tan a4·tan a5 的值.
解:根据锐角三角函数的定义,得 tan a=AB
BC=1,tan a1=A1B1
CB1
= 1
2,tan a2=A2B2
CB2
= 1
3,…,tan a5=A5B5
CB5
= 1
6,
则 tan a·tan a1+tan a1·tan a2+tan a2·tan a3+tan a3·tan a4+tan a4·tan a5
=1×1
2 + 1
2 × 1
3 + 1
3 × 1
4 + 1
4 × 1
5 + 1
5 × 1
65
=1-1
2 + 1
2 - 1
3 + 1
3 - 1
4 + 1
4 - 1
5 + 1
5 - 1
6
=1-1
6
=5
6.
15.(无锡中考)在如图的正方形方格纸中,每个小的四边形都是相同的正方形,点 A,B,C,D 都
在格点处,AB 与 CD 相交于点 O,求 tan∠BOD 的值.
解:平移 AB 到 A'B'交 CD 于点 O',连接 B'M,如图所示.
设每个小正方形的边长为 a,则 O'B'2=(2a)2+(4a)2=20a2,
O'M2=a2+a2=2a2,B'M2=(3a)2+(3a)2=18a2.
∴O'B'2=O'M2+B'M2,
∴△O'B'M 是直角三角形,此时 O'M= 2a,B'M=3 2a,
∴tan∠BOD=tan∠B'O'M=B'M
O'M = 3 2a
2a =3.
拓展探究突破练6
16.如图,在直角坐标系中放入矩形纸片ABCO.将纸片翻折后,点B恰好落在x轴上,记为点B',
折痕为 CE,已知 tan∠OB'C=3
4,CE=5 10,求点 E 的坐标.
解:在 Rt△B'OC 中,根据 tan∠OB'C= OC
OB' = 3
4,
设 OC=3x,则 OB'=4x,
由勾股定理得 B'C= OC2 + OB'2=5x,
根据矩形的性质可知 OA=BC=B'C=5x,
∴AB'=x,
由折叠的性质可证△B'OC∽△EAB',
∴OB'
AE = OC
AB' = B'C
B'E,即4x
AE = 3x
x = 5x
B'E,
∴AE=4
3x,B'E=5
3x,
在 Rt△B'CE 中,由勾股定理得
B'C2+B'E2=CE2,即(5x)2+(5
3x)2
=(5 10)2,
解得 x=3,
∴OA=5x=15,AE=4
3x=4,
∴点 E 的坐标为(15,4).
第 2 课时 正弦、余弦7
知识要点基础练
知识点 1 正弦的定义
1.在下列网格中,小正方形的边长均为 1,点 A,B,O 都在格点上,则∠A 的正弦值是 (C)
A.1
3 B.1
2 C. 5
5 D. 10
10
【变式拓展】在正方形网格中,△ABC 的位置如图所示,则 sin A 的值为 (D)
A.1
3 B.1
4
C.2 5
5 D. 10
10
2.如图,在△ABC 中,∠C=90°,BC=4 cm,AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D,且 CD∶DA=3∶5,则
sin A 的值是 (B)
A.4
5 B. 5
5 C.2 5
5 D.3
5
3.在△ABC 中,已知 AB=AC=1,BC= 2,则 sin B= 2
2 .
知识点 2 余弦的定义8
4.(连云港中考)在 Rt△ABC 中,∠C=90°,若 sin A= 5
13,则 cos A 的值是 (D)
A. 5
12 B. 8
13 C.2
3 D.12
13
5.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,cos B=4
5,则 AC∶BC∶AB= 3∶4∶5 .
知识点 3 正弦、余弦的简单应用
6.设 α 为锐角,且满足 sin α=3cos α,则 sin α·cos α 等于 (D)
A.1
6 B.1
5 C.2
9 D. 3
10
7.如图,在平面直角坐标系内,O是原点,点A的坐标是(10,0),点B在第一象限内,BO=5,sin∠
BOA=3
5.
(1)求点 B 的坐标;
(2)求 cos∠BAO 的值.
解:过点 B 作 BC⊥x 轴于点 C.
(1)由 sin∠BOA=3
5得BC
OB = 3
5,∴BC=3,
由勾股定理可得 OC=4,∴点 B 的坐标是(4,3).
(2)∵OC=4,∴AC=6,由勾股定理可得 AB=3 5,
∴cos∠BAO=AC
AB = 6
3 5 = 2 5
5 .
综合能力提升练
8.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AM 是 BC 边上的中线,sin ∠CAM=3
5,则 tan B 的值为 (B)9
A.3
2 B.2
3 C.5
6 D.4
3
9.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,BC=3,AC= 15,AB 的垂直平分线 ED 交 BC 的延长线于点
D,垂足为 E,连接 AD,则 sin ∠CAD= (A)
A.1
4 B.1
3 C. 15
4 D. 15
15
10.如图,在矩形 ABCD 中,AB=8,BC=12,E 是 BC 的中点,连接 AE,将△ABE 沿 AE 折叠,点 B 落在
点 F 处,连接 FC,则 sin∠ECF= (D)
A.3
4 B.4
3 C.3
5 D.4
5
11.(宜昌中考)△ABC 在网格中的位置如图所示(每个小正方形的边长为 1),AD⊥BC 于点 D,下
列四个选项中,错误的是 (C)
A.sin α=cos α B.tan C=2
C.sin β=cos β D.tan α=110
12.(杭州中考)在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=2BC,下列结论:①sin A= 3
2 ;②cos B=1
2;③tan A=
3
3 ;④tan B= 3,其中正确的是 ②③④ .(只需填上正确结论的序号)
13.如图,在△ABC 中,AB=9,BC=6,△ABC 的面积等于 9,求 sin B.
解:过点 C 作 CD⊥AB 于点 D,则由条件知1
2AB·CD=9,
∵AB=9,∴CD=2,
∴sin B=CD
BC = 2
6 = 1
3.
14.如图,在△ABC 中,AD 是 BC 边上的高,E 为 AC 的中点,BC=14,AD=12,sin B=4
5,求:
(1)线段 DC 的长;
(2)tan∠EDC 的值.
解:(1)在 Rt△ABD 中,sin B=AD
AB = 12
AB = 4
5,
∴AB=15.
∴BD= AB2 - AD2 = 152 - 122=9,
∴CD=BC-BD=14-9=5.
(2)在 Rt△ACD 中,E 为 AC 的中点,
∴ED=EC,
∴∠EDC=∠C,11
∴tan∠EDC=tan C=AD
DC = 12
5 .
15.如图,在正方形 ABCD 中,M 是 AD 的中点,BE=3AE,试求 sin ∠ECM 的值.
解:设 AE=x,则 BE=3x,BC=4x,AM=2x,CD=4x,
∴EC= (3x)2 + (4x)2=5x,
EM= x2 + (2x)2 = 5x,
CM= (2x)2 + (4x)2=2 5x,
∴EM2+CM2=EC2,
∴△CEM 是直角三角形,
∴sin ∠ECM=EM
EC = 5
5 .
拓展探究突破练
16.如图,在△ABC 中,AD 是 BC 边上的高,tan B=cos∠DAC.
(1)求证:AC=BD;
(2)若 sin C=12
13,BC=12,求 AD 的长.
解:(1)∵AD 是 BC 边上的高,12
∴△ABD 和△ACD 都是直角三角形,
∵tan B=cos∠DAC,
∴AD
BD = AD
AC,∴AC=BD.
(2)∵sin C=AD
AC = 12
13,
∴设 AD=12k,AC=13k,则 BD=13k,
由勾股定理可求得 CD= AC2 - AD2=5k,
∴BC=18k=12,解得 k=2
3,
∴AD=12k=8.
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