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3.8 圆内接正多边形
知识要点基础练
知识点 1 正多边形与圆
1.以下说法正确的是 (C)
A.每个内角都是 120°的六边形一定是正六边形
B.正 n 边形的对称轴不一定有 n 条
C.正 n 边形的每一个外角度数等于它的中心角度数
D.正多边形一定既是轴对称图形,又是中心对称图形
2.小颖同学在手工制作中,把一个边长为 12 cm 的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上,若
三角形的三个顶点恰好都在这个圆上,则圆的半径为 (B)
A.2 3 cm B.4 3 cm
C.6 3 cm D.8 3 cm
3.如图所示,正六边形 ABCDEF 内接于☉O,则∠ADB 的度数是 (C)
A.60° B.45° C.30° D.22.5°
知识点 2 正多边形的性质
4.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是 (A)
A. 6
2 B.3
4 C. 6
3 D.4
3
【变式拓展】以半径为 1 的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长为三边作三角形,则(B)
A.这个三角形是等腰三角形
B.这个三角形是直角三角形2
C.这个三角形是锐角三角形
D.不能构成三角形
5.如图,在☉O 中,OA=AB,OC⊥AB,则下列结论正确的是 (D)
①弦AB的长等于圆内接正六边形的边长;②弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长;③AC =
BC;④∠BAC=30°.
A.①②④ B.①③④
C.②③④ D.①②③
6.(贵阳中考)如图,正六边形ABCDEF 内接于☉O,☉O 的半径为 6,则这个正六边形的边心距 OM
的长为 3 3 .
7.图 1 是我们常见的地砖上的图案,其中包含了一种特殊的平面图形——正八边形.如图
2,AE是☉O的直径,用直尺和圆规作☉O的内接正八边形ABCDEFGH.(不写作法,保留作图痕迹)
解:如图所示,八边形 ABCDEFGH 即为所求.3
综合能力提升练
8.正六边形的两条平行边之间的距离为 1,则它的边长为 (D)
A. 3
6 B. 3
4 C.2 3
3 D. 3
3
9.(连云港中考)如图所示,一动点从半径为 2 的☉O 上的 A0 点出发,沿着射线 A0O 方向运动到
☉O 上的点 A1 处,再向左沿着与射线 A1O 夹角为 60°的方向运动到☉O 上的点 A2 处;接着又
从 A2 点出发,沿着射线 A2O 方向运动到☉O 上的点 A3 处,再向左沿着与射线 A3O 夹角为 60°
的方向运动到☉O 上的点 A4 处;…按此规律运动到点A2019 处,则点 A2019 与点 A0 间的距离是(C)
A.4 B.2 3
C.2 D.0
10.张萌取三个如图 1 所示的面积为 4 cm2 的钝角三角形按如图 2 所示的方式相连接,拼成了
一个正六边形,则拼成的正六边形的面积为 (C)
A.12 cm2 B.20 cm2
C.24 cm2 D.32 cm2
11.如图,正六边形 ABCDEF 中,AB=4,P 是 ED 的中点,连接 AP,则 AP 的长为 (C)
A.4 3 B.8
C.2 13 D.2 114
12.(株洲中考)如图,正五边形 ABCDE 和正三角形 AMN 都是☉O 的内接多边形,则∠BOM=
48° .
13.如图,若干个全等正五边形排成环状.图中所示的是前 3 个五边形,要完成这一圆环还需
7 个五边形.
14.如图,已知☉O 和☉O 上的一点 A.
(1)作☉O 的内接正方形 ABCD 和内接正六边形 AEFCGH;
(2)在(1)题的作图中,如果点 E 在AD上,求证:DE 是☉O 的内接正十二边形的一边.
解:(1)作法:
①作直径 AC;②作直径 BD⊥AC;③依次连接 A,B,C,D 四点,四边形 ABCD 即为☉O 的内接正方
形;④分别以 A,C 为圆心,OA 长为半径作弧,交☉O 于点 E,H,F,G;⑤顺次连接 A,E,F,C,G,H 各
点,六边形 AEFCGH 即为☉O 的内接正六边形.
(2)连接 OE,DE.
∵∠AOD=360°
4 =90°,∠AOE=360°
6 =60°,5
∴∠DOE=∠AOD-∠AOE=30°,
∴DE 为☉O 的内接正十二边形的一边.
拓展探究突破练
15.如图 1,2,3,4 分别是☉O 的内接正三角形、正四边形、正五边形、正 n 边形,点 M,N 分别
从点 B,C 开始以相同的速度在☉O 上逆时针运动.
(1)求图 1 中∠APN 的度数;
(2)图 2 中,∠APN 的度数是 90° ,图 3 中,∠APN 的度数是 108° ;
(3)试探索∠APN 的度数与正多边形边数 n 的关系.
解:(1)∵点 M,N 分别从点 B,C 开始以相同的速度在☉O 上逆时针运动,
∴BM = CN,则∠BAM=∠CBN,∴∠APN=∠ABP+∠BAM=∠ABP+∠CBN=∠ABC=60°.
(2)提示:在题图 2 中,∵点 M,N 分别从点 B,C 开始以相同的速度在☉O 上逆时针运动,
∴BM = CN,∴∠BAM=∠CBN.
又∵∠APN=∠ABN+∠BAM,
∴∠APN=∠ABN+∠CBN,即∠APN=∠ABC.
∵四边形 ABCD 是正四边形,
∴∠ABC=90°,∴∠APN=90°.
同理可得:在题图 3 中,∠APN=108°.
(3)由(1)(2)可知,∠APN=它所在的正多边形的内角度数,
由多边形内角和公式可知:正多边形的内角度数为(n - 2) × 180°
n (n≥3,且 n 为整数),
∴∠APN=(n - 2) × 180°
n .
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