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1.5 三角函数的应用
知识要点基础练
知识点 1 方向角问题
1.如图,一艘轮船位于灯塔 P 的北偏东 60°方向,与灯塔 P 的距离为 30 海里的 A 处,轮船沿
正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔 P 的南偏东 30°方向上的 B 处,则此时轮船所在的
位置 B 处与灯塔 P 之间的距离为 30 3 海里.
2.(苏州中考)如图,在一笔直的沿湖道路 l 上有 A,B 两个游船码头,观光岛屿 C 在码头 A 北偏
东 60°的方向,在码头 B 北偏西 45°的方向,AC=4 km.游客小张准备从观光岛屿 C 乘船沿 CA
回到码头 A 或沿 CB 回到码头 B,设开往码头 A,B 的游船速度分别为 v1,v2,若回到 A,B 所用时
间相等,则v1
v2
= 2 .(结果保留根号)
3.如图,港口 A 在观测站 O 的正东方向,OA=4 km,某船从港口 A 出发,沿北偏东 15°方向航行
一段距离后到达 B 处,此时从观测站 O 处测得该船位于北偏东 60°的方向,求该船航行的距
离(即 AB 的长).
解:过点 A 作 AD⊥OB 于点 D.
在 Rt△AOD 中,∵∠ADO=90°,∠AOD=30°,OA=4 km,2
∴AD=1
2OA=2 km.
在 Rt△ABD 中,∵∠ADB=90°,∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°,
∴BD=AD=2 km,∴AB= 2AD=2 2 km,
即该船航行的距离(即 AB 的长)为 2 2 km.
知识点 2 测量高度与宽度
4.如图所示,某办公大楼正前方有一根高度为 15 米的旗杆 ED,从办公楼顶端 A 测得旗杆顶端
E 的俯角 α 是 45°,旗杆底端 D 到大楼前梯坎底边的距离 DC 是 20 米,梯坎坡长 BC 是 12 米,
梯坎坡度 i=1∶ 3,则大楼 AB 的高度约为(参考数据: 2≈1.41, 3≈1.73, 6≈2.45)(D)
A.30.6 米 B.32.1 米 C.37.9 米 D.39.4 米
5.(邵阳中考)如图所示,运载火箭从地面L处垂直向上发射,当火箭到达A点时,从位于地面R
处的雷达测得 AR 的距离是 40 km,仰角是 30°,n 秒后,火箭到达 B 点,此时仰角是 45°,则火
箭在这 n 秒中上升的高度是 20 3-20 km.(保留准确值)
【变式拓展】如图,在两建筑物之间有一旗杆,高 15 米,从 A 点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑
物的墙角 C 点,且俯角 α 为 60°,又从 A 点测得 D 点的俯角 β 为 30°,若旗杆底点 G 为 BC
的中点,则矮建筑物的高 CD 为 (A)
A.20 米 B.10 3米3
C.15 3米 D.5 6米
6.(义乌中考)如图,从地面上的点 A 看一山坡上的电线杆 PQ,测得杆顶端点 P 的仰角是 45°,
向前走6 m 到达 B点,测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°.(参考数据: 3
≈1.7, 2≈1.4)
(1)求∠BPQ 的度数;
(2)求该电线杆 PQ 的高度.(结果精确到 1 m)
解:延长 PQ 交直线 AB 于点 E.
(1)在 Rt△BPE 中,
∠BPQ=90°-60°=30°.
(2)设 PE=x m.
在 Rt△APE 中,∠A=45°,则 AE=PE=x m.
在 Rt△BPE 中,∠PBE=60°,BE= 3
3 PE= 3
3 x m,
∵AB=AE-BE=6 m,∴x- 3
3 x=6,
解得 x=9+3 3.则 BE=(3 3+3) m.
在 Rt△BEQ 中,QE= 3
3 BE= 3
3 (3 3+3)=(3+ 3) m.
∴PQ=PE-QE=9+3 3-(3+ 3)=6+2 3≈9 m.
答:电线杆 PQ 的高度约 9 m.
综合能力提升练4
7.(宜昌中考)如图,要测量小河两岸相对的两点P,A 的距离,可以在小河边取 PA 的垂线 PB 上
的一点 C,测得 PC=100 米,∠PCA=35°,则小河宽 PA 等于 (C)
A.100sin 35°米 B.100sin 55°米
C.100tan 35°米 D.100tan 55°米
8.如图,学校环保社成员想测量斜坡 CD 旁一棵树 AB 的高度,他们先在点 C 处测得树顶 B 的仰
角为 60°,然后在坡顶 D 测得树顶 B 的仰角为 30°,已知斜坡 CD 的长度为 20 m,DE 的长为 10
m,则树 AB 的高度是 30 m.
9.(海南中考)为做好防汛工作,防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固,专家提供的
方案是水坝加高 2 米(即 CD=2 米),背水坡 DE 的坡度 i=1∶1(即 DB∶EB=1∶1),如图所示,已
知 AE=4 米,∠EAC=130°,求水坝原来的高度 BC.(参考数据:sin 50°≈0.77,cos
50°≈0.64,tan 50°≈1.2)
解:设 BC=x 米,
在 Rt△ABC 中,∠CAB=180°-∠EAC=50°,
AB= BC
tan50° ≈ BC
1.2 = 5
6x.
在 Rt△EBD 中,∵i=DB∶EB=1∶1,∴BD=EB,
∴CD+BC=AE+AB,即 2+x=4+5
6x,
解得 x=12,∴BC=12.
答:水坝原来的高度为 12 米.5
10.(舟山中考)太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一,老张准备把自家屋顶改建成光伏
瓦面,改建前屋顶截面△ABC 如图 2 所示,BC=10 米,∠ABC=∠ACB=36°,改建后顶点 D 在 BA 的
延长线上,且∠BDC=90°,求改建后南屋面边沿增加部分 AD 的长.(结果精确到 0.1 米)
(参考数据:sin 18°≈0.31,cos 18°≈0.95,tan 18°≈0.32,sin 36°≈0.59,cos
36°≈0.81,tan 36°≈0.73)
解:∵∠BDC=90°,BC=10,sin B=CD
BC,∴CD=BC·sin B≈10×0.59=5.9.
在 Rt△BCD 中,∠BCD=90°-∠B=90°-36°=54°,
∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=54°-36°=18°.
在 Rt△ACD 中,tan∠ACD=AD
CD,
∴AD=CD·tan∠ACD≈5.9×0.32=1.888≈1.9.
答:改建后南屋面边沿增加部分 AD 的长约为 1.9 米.
拓展探究突破练
11.(达州中考)如图,信号塔PQ 坐落在坡度 i=1∶2 的山坡上,其正前方直立着一块警示牌.当
太阳光线与水平线成 60°角时,测得信号塔 PQ 落在斜坡上的影子 QN 长为 2 5米,落在警示
牌上的影子 MN 长为 3 米,求信号塔 PQ 的高.(结果保留根号)
解:作 MF⊥PQ 于点 F,QE⊥MN 于点 E,则四边形 EMFQ 是矩形.
在 Rt△QEN 中,设 EN=x,则 EQ=2x,
∵QN2=EN2+QE2,∴20=5x2,解得 x=2(-2 舍去),
∴EN=2,EQ=MF=4,
∵MN=3,∴FQ=EM=1,6
在 Rt△PFM 中,PF=FM·tan 60°=4 3,
∴PQ=PF+FQ=4 3+1.
答:信号塔 PQ 的高为(4 3+1)米.
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