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3.4 圆周角和圆心角的关系
第 1 课时 圆周角定理及其推论
知识要点基础练
知识点 1 圆周角的概念
1.下列图形中的角是圆周角的有 (B)
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个
知识点 2 圆周角定理
2.如图所示,边长为 1 的小正方形构成的网格中,半径为 1 的☉O 的圆心 O 在格点上,则∠AED
的正切值等于 (D)
A. 5
5 B.2 5
5
C.2 D.1
2
3.如图,AB 为☉O 的直径,C,D 为☉O 上的两点,若 AB=14,BC=7,则∠BDC 的度数是 (B)
A.15° B.30° C.45° D.60°
4.如图,AB 是☉O 的一条弦,OD⊥AB,垂足为 C,交☉O 于点 D,点 E 在☉O 上.2
(1)若∠AOD=52°,求∠DEB 的度数;
(2)若 OC=3,OA=5,求 AB 的长.
解:(1)∵OD⊥AB,∴AD = DB,
∴∠DEB=1
2∠AOD=1
2×52°=26°.
(2)∵OD⊥AB,∴AC=BC,△AOC 为直角三角形,
∵OC=3,OA=5,
∴AC= OA2 - OC2 = 52 - 32=4,
∴AB=2AC=8.
知识点 3 推论 1 与推论 2
5.(徐州中考)如图,点 A,B,C 在☉O 上,∠AOB=72°,则∠ACB 等于 (D)
A.28° B.54°
C.18° D.36°3
【变式拓展】(青岛中考)如图,点A,B,C,D 在☉O 上,∠AOC=140°,B 是AC的中点,则∠D 的度
数是 (D)
A.70° B.55°
C.35.5° D.35°
6.如图,点 A,B,C,D 在☉O 上,四边形 OABC 是平行四边形,则∠D 的度数是 (C)
A.45° B.50° C.60° D.65°
7.如图,☉O是等腰三角形ABC的外接圆,AB=AC,∠A=45°,BD为☉O的直径,BD=2 2,连接 CD,
则∠D= 45 °,BC= 2 .
综合能力提升练
8.(衢州中考)如图,点 A,B,C 在☉O 上,∠ACB=35°,则∠AOB 的度数是 (B)
A.75° B.70°
C.65° D.35°
9.如图,AB 是☉O 的弦,OD⊥AB 于点 D,交☉O 于点 E,则下列说法错误的是 (D)4
A.AD=BD B.∠ACB=∠AOE
C.AE = BE D.OD=DE
10.如图,AB 是☉O 的直径,AD=DE,AE 与 BD 交于点 C,则图中与∠BCE 相等的角有 (D)
A.2 个 B.3 个
C.4 个 D.5 个
11.(苏州中考)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=56°.以 BC 为直径的☉O 交 AB 于点 D.E
是☉O上一点,且CE = CD,连接OE.过点E作EF⊥OE,交AC的延长线于点F,则∠F的度数为(C)
A.92° B.108° C.112° D.124°
12.如图,AB 是半圆 O 的直径,半径 OC⊥AB,连接 AC,∠CAB 的平分线 AD 交 OC 于点 E,交BC于
点 D,连接 CD,OD,以下三个结论:①AC∥OD;②AC=2CD;③线段 CD 是 CE 与 CO 的比例中项.其中
正确结论的序号是 (B)
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③5
13.(株洲中考)如图,已知 AM 为☉O 的直径,直线 BC 经过点 M,且 AB=AC,∠BAM=∠CAM,线段 AB
和 AC 分别交☉O 于点 D,E,∠BMD=40°,则∠EOM= 80° .
14.(常州中考)如图,四边形 ABCD 内接于☉O,AB 为☉O 的直径,C 为BD的中点,若∠DAB=40°,
则∠ABC= 70° .
15.如图,△ABC 是☉O 的内接三角形,C 是优弧 AB 上一点(点 C 不与点 A,B 重合),设∠
OAB=α,∠C=β.
(1)当 α=35°时,求 β 的度数;
(2)猜想 α 与 β 之间的关系,并给予证明.
解:(1)连接 OB.
∵OA=OB,∴∠OBA=∠OAB=35°,
∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=110°,
∴β=1
2∠AOB=55°.
(2)α 与 β 之间的关系是 α+β=90°.
理由:∵OA=OB,∴∠OBA=∠OAB=α,
∴∠AOB=180°-2α,
∴β=1
2∠AOB=1
2(180°-2α)=90°-α,6
∴α+β=90°.
16.如图,过圆上 A,B 两点作一直线,点 M 在圆上,点 P 在圆外,且点 M,P 在 AB 同侧,∠AMB=50°,
设∠APB=x.
(1)当点 P 移动时,求 x 的变化范围,并说明理由;
(2)当点 P 移至圆内时,x 有什么变化?(直接写出结果)
解:(1)设 BP 交☉O 于点 C,连接 AC,
∵∠ACB=∠AMB,∠ACB>∠P,
∴∠AMB>∠P,即 50°>x,
∴0°2∠ABC,即 α>2β.12
拓展探究突破练
16.如图,☉O 的内接四边形 ABCD 的两组对边的延长线分别交于点 E,F.
(1)若∠E=∠F 时,求证:∠ADC=∠ABC;
(2)若∠E=∠F=42°时,求∠A 的度数;
(3)若∠E=α,∠F=β,且 α≠β.请你用含有 α,β 的代数式表示∠A 的大小.
解:(1)∵∠DCE=∠BCF,∠E=∠F,
又∵∠ADC=∠E+∠DCE,∠ABC=∠F+∠BCF,
∴∠ADC=∠ABC.
(2)由(1)知∠ADC=∠ABC,
∵四边形 ABCD 内接于☉O,
∴∠ADC+∠ABC=180°.∴∠ADC=90°.
在 Rt△ADF 中,∠A=90°-∠F=90°-42°=48°.
(3)连接 EF.
∵四边形 ABCD 为圆的内接四边形,
∴∠ECD=∠A.
∵∠ECD=∠CEF+∠CFE,
∴∠A=∠CEF+∠CFE.
∵∠A+∠CEF+∠CFE+∠DEC+∠BFC=180°,
∴2∠A+α+β=180°,
∴∠A=90°-α + β
2 .
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